Янгиан - Википедия - Yangian

В теория представлений, а Янгиан является бесконечномерным Алгебра Хопфа, тип квантовая группа. Янгианцы впервые появились в физика в работе Людвиг Фаддеев и его школа в конце 1970-х - начале 1980-х гг. квантовый метод обратной задачи. Название Янгиан был представлен Владимир Дринфельд в 1985 году в честь C.N. Ян.

Первоначально они считались удобным инструментом для генерации решений квантовой Уравнение Янга – Бакстера.

Центр Янгиана можно описать как квантовый детерминант.

Описание

Для любых конечномерных полупростая алгебра Ли а, Дринфельд определил бесконечномерную Алгебра Хопфа Y(а), называется Янгиан из а. Эта алгебра Хопфа является деформацией универсальная обертывающая алгебра U(а[z]) алгебры Ли полиномиальных петель а заданные явными генераторами и отношениями. Отношения могут быть закодированы тождествами, включающими рациональное р-матрица. Заменив его тригонометрическим р-матрица, приходящаяся аффинные квантовые группы, определенные в той же статье Дринфельда.

В случае общая линейная алгебра Ли gl_N, янгиан допускает более простое описание в терминах одного тройной (или же RTT) связь по генераторам матриц работы Фаддеева и соавторов. Янгиан Y (gl_N) определяется как алгебра, порожденная элементами ${ displaystyle t_ {ij} ^ {(p)}}$ с 1 ≤ я, j ≤ N и п ≥ 0 при соблюдении соотношений

${ displaystyle [t_ {ij} ^ {(p + 1)}, t_ {kl} ^ {(q)}] - [t_ {ij} ^ {(p)}, t_ {kl} ^ {(q + 1)}] = - (t_ {kj} ^ {(p)} t_ {il} ^ {(q)} - t_ {kj} ^ {(q)} t_ {il} ^ {(p)}). }$

Определение ${ displaystyle t_ {ij} ^ {(- 1)} = delta _ {ij}}$, параметр

${ Displaystyle T (z) = сумма _ {p geq -1} t_ {ij} ^ {(p)} z ^ {- p + 1}}$

и представляя R-матрица р(z) = I + z⁻¹ п на C^N${ displaystyle otimes}$C^N,куда п является оператором перестановки тензорных множителей, указанные выше соотношения можно записать проще как тернарное соотношение:

${ Displaystyle Displaystyle {R_ {12} (zw) T_ {1} (z) T_ {2} (w) = T_ {2} (w) T_ {1} (z) R_ {12} (zw). }}$

Янгиан становится Алгебра Хопфа с коумножением Δ, счетчиком ε и антиподом s данный

${ Displaystyle ( Delta otimes mathrm {id}) T (z) = T_ {12} (z) T_ {13} (z), , , ( varepsilon otimes mathrm {id}) T (z) = I, , , (s otimes mathrm {id}) T (z) = T (z) ^ {- 1}.}$

При особых значениях спектрального параметра ${ Displaystyle (г-ш)}$, то р-матрица вырождается в проекцию ранга один. Это можно использовать для определения квантовый детерминант из ${ Displaystyle Т (г)}$, порождающий центр янгиана.

В скрученный янгиан Y⁻(gl_2N), введенный Г. И. Ольшанским, является коидеалом, порожденным коэффициентами при

${ Displaystyle Displaystyle {S (z) = T (z) sigma T (-z),}}$

где σ - инволюция gl_2N данный

${ displaystyle displaystyle { sigma (E_ {ij}) = (- 1) ^ {i + j} E_ {2N-j + 1,2N-i + 1}.}}$

Квантовый детерминант - центр янгиана.

Приложения

Классическая теория представлений

Г.И. Ольшанский и И. Чередник обнаружили, что янгиан gl_N тесно связано со свойствами ветвления неприводимых конечномерных представлений общих линейных алгебр. В частности, классическая конструкция Гельфанда – Цетлина базиса в пространстве такого представления имеет естественную интерпретацию на языке янгианов, изученном М. Назаровым и В. Тарасовым. Ольшанский, Назаров и Молев позже обнаружил обобщение этой теории на другие классические алгебры Ли, основанный на закрученном янгиане.

Физика

Янгиан появляется как группа симметрии в различных моделях физики.^{[Почему? ]}

Янгиан появляется как группа симметрии одномерных точно решаемых моделей, таких как спиновые цепочки, Модель Хаббарда и в моделях одномерных релятивистская квантовая теория поля.

Самый известный случай - в плоском суперсимметричная теория Янга – Миллса в четырех измерениях, где янгианские структуры возникают на уровне симметрий операторов,^[1][2] и амплитуда рассеяния как было обнаружено Драммондом, Хенном и Плефка.

Теория представлений

Неприводимые конечномерные представления янгианов были параметризованы Дринфельдом аналогично теории старшего веса в теории представлений полупростых алгебр Ли. Роль самый высокий вес играет конечный набор Полиномы Дринфельда. Дринфельд также открыл обобщение классического Двойственность Шура – ​​Вейля между представлениями общего линейного и симметричные группы что включает янгиан сл_N и выродившийся аффинная алгебра Гекке (градуированная алгебра Гекке типа A, в Джордж Люстиг терминология).

Представления янгианцев были широко изучены, но теория все еще находится в стадии активной разработки.

Смотрите также

• Квантовая аффинная алгебра

Примечания

Рекомендации

• Чари, Виджаянти; Эндрю Прессли (1994). Руководство по квантовым группам. Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-55884-0.
• Дринфельд Владимир Гершонович (1985). Алгебры Хопфа и квантовое уравнение Янга-Бакстера [Алгебры Хопфа и квантовое уравнение Янга – Бакстера]. Доклады Академии Наук СССР (на русском). 283 (5): 1060–1064.
• Дринфельд, В. (1987). «Новая реализация янгианов и квантовых аффинных алгебр». Доклады Академии Наук СССР (на русском). 296 (1): 13–17. Переведено на Советская математика - Доклады. 36 (2): 212–216. 1988. Отсутствует или пусто | название = (помощь)
• Дринфельд, В. Г. (1986). Вырожденные аффинные алгебры Гекке и янгианы [Вырожденные аффинные алгебры Гекке и янгианы]. Функциональный анализ и его приложения (на русском). 20 (1): 69–70. МИСТЕР  0831053. Zbl  0599.20049. Переведено на Дринфельд, В. Г. (1986). «Вырожденные аффинные алгебры Гекке и янгианы». Функциональный анализ и его приложения. 20 (1): 58–60. Дои:10.1007 / BF01077318.
• Молев Александр Иванович (2007). Янгианы и классические алгебры Ли. Математические обзоры и монографии. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-4374-1.
• Бернар, Денис (1993). «Введение в янгианские симметрии». Серия НАТО ASI. 310 (5): 39–52. arXiv:hep-th / 9211133. Дои:10.1007/978-1-4899-1516-0_4. ISBN  978-1-4899-1518-4.
• Маккей, Найл (2005). «Введение в симметрию Янгиана в интегрируемой теории поля». Международный журнал современной физики A. 20 (30): 7189–7217. arXiv:hep-th / 0409183. Bibcode:2005IJMPA..20.7189M. Дои:10.1142 / s0217751x05022317.
• Драммонд, Джеймс; Хенн, Йоханнес; Плефка, янв (2009). «Янгианская симметрия амплитуд рассеяния в N = 4 супер теории Янга-Миллса». Журнал физики высоких энергий. 2009 (5): 046. arXiv:0902.2987. Bibcode:2009JHEP ... 05..046D. Дои:10.1088/1126-6708/2009/05/046.