Безызлучательный диэлектрический волновод - Non-radiative dielectric waveguide

Рисунок 1

В безызлучательный диэлектрический (NRD) волновод был представлен Ёнеямой в 1981 году.^[1] На рис.1 показано сечение направляющей NRD: она состоит из диэлектрик прямоугольная плита высотой а и шириной b, которая помещается между двумя металлическими параллельными пластинами подходящей ширины. По структуре практически такой же, как у H-волновода, предложенного Тишером в 1953 году.^[2][3] Благодаря диэлектрической пластине электромагнитное поле ограничено вблизи диэлектрической области, тогда как во внешней области для подходящих частот электромагнитное поле затухает экспоненциально. Следовательно, если металлические пластины достаточно вытянуты, поле на концах пластин практически ничтожно, и поэтому ситуация не сильно отличается от идеального случая, когда пластины бесконечно вытянуты. В поляризация из электрическое поле в необходимом режиме в основном параллельно проводящим стенкам. Как известно, если электрическое поле параллельно стенкам, потери проводимости в металлических стенках уменьшаются с возрастающей частотой, тогда как если поле перпендикулярно стенкам, потери возрастают с возрастающей частотой. Поскольку волновод NRD был разработан для его реализации в миллиметровые волны, выбранная поляризация минимизирует омические потери в металлических стенках.

Существенное различие между волноводом H и волноводом NRD заключается в том, что в последнем расстояние между металлическими пластинами составляет менее половины длина волны в вакуум, тогда как в волноводе H интервал больше. Фактически, потери проводимости в металлических пластинах уменьшаются с увеличением расстояния между ними. Следовательно, этот интервал больше в волноводе H, используемом в качестве среда передачи на большие расстояния; вместо этого используется волновод NRD для миллиметровых волн Интегральная схема приложения, в которых типичны очень короткие расстояния. Таким образом, увеличение потерь не имеет большого значения.

Выбор небольшого промежутка между металлическими пластинами имеет принципиальное следствие, что требуемый режим приводит к нижнему пределу отсечки во внешних воздушных областях. Таким образом, любая неоднородность, такая как изгиб или стык, является чисто реактивной. Это позволяет радиация и вмешательство быть минимизированным (отсюда и название безызлучательного проводника); этот факт имеет жизненно важное значение для приложений интегральных схем. Вместо этого, в случае волновода H, вышеупомянутые неоднородности вызывают явления излучения и интерференции, поскольку желаемая мода, находящаяся выше границы отсечки, может распространяться наружу. В любом случае важно отметить, что если эти неоднородности изменяют симметрию структуры относительно медианы горизонтальная плоскость, все равно есть излучение в виде ТЕМ режим в параллельной металлической пластинчатой ​​направляющей, и этот режим приводит к превышению отсечки, расстояние между пластинами может быть небольшим. Этот аспект всегда необходимо учитывать при проектировании различных компонентов и соединений, и в то же время следует уделять большое внимание конструкции. приверженность диэлектрической плиты к металлическим стенкам, потому что возможно возникновение вышеупомянутых явлений потерь.^[4] Это происходит, когда в общем асимметрия в поперечное сечение преобразует ограниченный режим в "дырявый" режим.

Дисперсионное соотношение в волноводе NRD

фигура 2

Как и в любой направляющей структуре, в волноводе NRD принципиально важно знать соотношение дисперсии, то есть уравнение, дающее продольную постоянная распространения ${ displaystyle k_ {z} = beta -j alpha}$ как функция частоты и геометрических параметров для различных режимов конструкции. В этом случае, однако, это соотношение не может быть выражено явно, так как оно проверяется в простейшем случае прямоугольный волновод, но он неявно задается трансцендентное уравнение.

Метод поперечного резонанса

Рисунок 3

Чтобы получить дисперсионное соотношение, можно поступить двумя разными способами. Первый, более простой с аналитической точки зрения, заключается в применении метода поперечного резонанса^[4] для получения поперечной эквивалентной сети. В соответствии с этим методом применим условие резонанса вдоль поперечный направление. Это условие приводит к трансцендентному уравнению, которое при численном решении дает возможные значения для поперечные волновые числа. Используя известную связь отделимость который связывает волновые числа в различных направлениях и по частоте можно получить значения постоянной продольного распространения k_z для различных режимов.

Предполагается, что радиационные потери, поскольку на самом деле металлические пластины имеют конечную ширину, пренебрежимо малы. Фактически, если предположить, что поле, исчезающее во внешних воздушных областях, пренебрежимо мало в отверстие, можно предположить, что ситуация практически совпадает с идеальным случаем металлических пластин бесконечной ширины. Таким образом, можно принять поперечную эквивалентную сеть, показанную на рис. 2. В ней k_xε и k_x0 - волновые числа в поперечном направлении по оси x в диэлектрике и в воздухе соответственно; Y_ε и Y₀ - соответствующие характеристические проводимости эквивалентных линия передачи. Наличие металлических пластин, считающихся идеально проводящими, накладывает возможные значения волнового числа в вертикальном направлении y: ${ displaystyle k_ {y} = { frac {m pi} {a}}}$, при m = 0, 1, 2, ... Эти значения в воздухе такие же, как и в диэлектрических областях. Как отмечалось выше, волновые числа должны удовлетворять соотношениям разделимости. В воздушной области, связанной с вакуумом, мы имеем:

${ displaystyle k_ {o} ^ {2} = left ({ frac {2 pi} { lambda _ {o}}} right) ^ {2} = k_ {xo} ^ {2} + k_ {y} ^ {2} + k_ {z} ^ {2} = - left | k_ {xo} right | ^ {2} + k_ {y} ^ {2} + beta ^ {2} (1)}$

быть k_о и λ_о волновое число и длина волны в вакууме соответственно. Мы приняли k_z = β, поскольку структура неизлучающая и без потерь, и, кроме того, k_хо= - j | k_хо | , потому что поле должно быть мимолетный в воздушных регионах. Вместо этого в диэлектрической области мы имеем:

${ displaystyle k ^ {2} = k_ {o} ^ {2} varepsilon _ {r} = left ({ frac {2 pi} { lambda}} right) ^ {2} = k_ { x varepsilon} ^ {2} + k_ {y} ^ {2} + k_ {z} ^ {2} = k_ {x varepsilon} ^ {2} + k_ {y} ^ {2} + beta ^ {2} (2)}$

где k и λ - волновое число и длина волны соответственно в диэлектрической области и ${ displaystyle varepsilon _ {r}}$ относительный диэлектрическая постоянная.

Маловероятно k_хо, k_xε действительна, что соответствует конфигурации стоячие волны внутри диэлектрической области. Волновые числа k_у и k_z равны во всех регионах. Это связано с условиями непрерывности тангенциальных составляющих электрического и магнитные поля, в интерфейсе. Как следствие, мы имеем непрерывность напряжения и тока в эквивалентной линии передачи. Таким образом, метод поперечного резонанса автоматически учитывает граничные условия на металлических стенках и условия непрерывности на границе раздела воздух-диэлектрик.

Анализируя возможные поперечные моды в воздушной области (будучи ${ displaystyle a <{ frac { lambda _ {o}} {2}}}$) только мода с m = 0 может распространяться по x; этот режим представляет собой ТЕМ-режим, движущийся наклонно в плоскости xz, при этом ненулевой компоненты поля E_у,ЧАС_Икс, H_z. Этот режим всегда приводит к превышению порога отсечки, даже если маленький а есть, но он не возбуждается, если сохраняется симметрия структуры относительно средней плоскости y = a / 2. Фактически, в симметричных структурах моды с поляризацией, отличной от поляризации возбуждающего поля, не возбуждаются, а в диэлектрической области мы имеем ${ displaystyle lambda = { frac { lambda _ {o}} { sqrt { varepsilon _ {r}}}}}$ . Мода с индексом m находится выше отсечки, если a / λ> m / 2. Например, если ε_р = 2.56, (полистирол ), f = 50 ГГц и a = 2,7 мм, имеем a / λo = 0,45 и a / λ = 0,72. Таким образом, в диэлектрической области моды с m = 1 находятся выше отсечки, а моды с m = 2 - ниже отсечки (1/2 <0,72 <1).

В направляющей NRD, как и в направляющей H, из-за наличия диэлектрической полосы граничные условия не могут быть удовлетворены модами TEM, TM или (m ≠ 0) TE относительно продольного направления z. Таким образом, моды структуры будут гибридными, то есть с обеими продольными компонентами поля, отличными от нуля. К счастью, желаемый режим - это режим TM со ссылкой на горизонтальное направление x, вдоль которого была принята эквивалентная линия передачи. Следовательно, согласно известным выражениям характеристических проводимостей ТМ-мод имеем:

${ displaystyle Y_ {o} = { frac { omega varepsilon _ {o}} {k_ {xo}}} Y _ { varepsilon} = { frac { omega varepsilon _ {o} varepsilon _ {r}} {k_ {x varepsilon}}} (3)}$

куда

${ displaystyle k_ {xo} = - j left | k_ {xo} right |}$

Поперечная эквивалентная схема на фиг.2 дополнительно упрощена с использованием геометрической симметрии конструкции относительно средней плоскости x = 0 и с учетом поляризации электрического поля для требуемой моды, которая равна ортогональный в среднюю плоскость. В этом случае можно разделить конструкцию вертикальной металлической плоскостью пополам без изменения граничных условий и, следовательно, внутреннего конфигурация электромагнитного поля. Это соответствует короткое замыкание деление пополам в эквивалентной линии передачи, как показано в упрощенной сети на рис.

Тогда можно применить условие поперечного резонанса вдоль горизонтального направления x, выраженное соотношением:

${ displaystyle { overleftarrow {Y}} + { overrightarrow {Y}} = 0 }$

куда

${ Displaystyle { overleftarrow {Y}} и { overrightarrow {Y}} }$

- допуски, смотрящие влево и вправо соответственно, относительно произвольного участка T.

Выбрав эталонную секцию, как показано на рис. 3, мы имеем ${ displaystyle { overrightarrow {Y}} = Y_ {o}}$, потому что линия бесконечна вправо. Глядя влево, мы видим:

${ displaystyle { overleftarrow {Y}} = - jY _ { varepsilon} кроватка (k_ {x varepsilon} w)}$

Затем вводя выражение характеристических проводимостей в условие резонанса:

${ displaystyle -jY _ { varepsilon} кроватка (k_ {x varepsilon} w) + Y_ {o} = 0}$

выводится дисперсионное уравнение:

${ Displaystyle -j varepsilon _ {r} k_ {xo} кроватка (k_ {x varepsilon} w) + k_ {x varepsilon} = 0 (4)}$

Кроме того, из (1) и (2) имеем:

${ displaystyle k_ {xo} = { sqrt {{k_ {o} ^ {2}} - ({ frac {m pi} {a}}) ^ {2} - beta ^ {2}}} = k_ {o} { sqrt {1 - ({ frac {m pi} {ak_ {o}}}) ^ {2} - { frac { beta ^ {2}} {k_ {o}} }}}}$

${ displaystyle k_ {xo} = { sqrt {{k_ {o} ^ {2} varepsilon _ {r}} - ({ frac {m pi} {a}}) ^ {2} - beta ^ {2}}} = k_ {o} { sqrt { varepsilon _ {r} - ({ frac {m pi} {ak_ {o}}}) ^ {2} - { frac { beta ^ {2}} {k_ {o}}}}}}$

Следовательно, мы можем считать нормированную неизвестную ${ displaystyle { frac { beta} {k_ {o}}} = { sqrt { varepsilon _ {eff}}}}$, куда ${ displaystyle varepsilon _ {eff}}$ - так называемая эффективная относительная диэлектрическая проницаемость направляющей.

Частота среза f_c получается из решения дисперсионного уравнения при β = 0.

Важно отметить, что из-за наличия двух диэлектриков решение зависит от частоты, то есть значение β для любой частоты не может быть просто получено из частоты отсечки, как это было бы для одного диэлектрика, для который: ${ displaystyle beta = { sqrt {k ^ {2} -k_ {t} ^ {2}}} = { sqrt { omega ^ {2} mu varepsilon - omega _ {c} ^ { 2} mu varepsilon}}}$ . В нашем случае вместо этого необходимо решить дисперсионное уравнение для каждого значения частоты. Двойным образом можно рассматривать режимы TE со ссылкой на x. Выражения для характеристических проводимостей в этом случае имеют вид (μ = μ_о):

${ Displaystyle Y_ {o} = { frac {k_ {xo}} { mu _ {o} omega}} , Y _ { varepsilon} = { frac {k_ {x varepsilon}} { mu _ {o} omega}} (5)}$

Кроме того, в этом случае магнитное поле ортогонально средней плоскости x = 0. Следовательно, можно разделить структуру с идеальной магнитной стенкой пополам, что соответствует делению пополам с разомкнутой цепью, получив схему, показанную на рис. 4. Тогда по отношению к плоскости T это будет: ${ displaystyle { overrightarrow {Y}} = Y_ {o} , { overleftarrow {Y}} = jY _ { varepsilon} tan (k_ {x varepsilon} w)}$, откуда дисперсионное уравнение получается:

${ displaystyle jk_ {x varepsilon} загар (k_ {x varepsilon} w) + k_ {xo} = 0 (6)}$

Очевидно, что результаты, полученные здесь для дисперсионного поведения, могут быть получены из полной поперечной эквивалентной схемы без пополам, показанной на рис. 2. В этом случае, применительно к плоскости T, мы имеем:

${ displaystyle { overrightarrow {Y}} = Y_ {o} { overleftarrow {Y}} = Y _ { varepsilon} { frac {Y_ {o} + jY _ { varepsilon} загар (k_ {x varepsilon} b)} {Y _ { varepsilon} + jY_ {o} загар (k_ {x varepsilon} b)}}}$

а потом

${ displaystyle Y_ {o} + Y _ { varepsilon} { frac {Y_ {o} + jY _ { varepsilon} tan (k_ {x varepsilon} b)} {Y _ { varepsilon} + jY_ {o} tan (k_ {x varepsilon} b)}} = 0 (7)}$

Мы должны указать, рассматриваются ли моды TM или TE со ссылкой на направление x, так что уравнения. (3) или (5) могут использоваться для соответствующих характеристических допусков.

Затем, как было показано ранее, метод поперечного резонанса позволяет легко получить дисперсионное уравнение для волновода NRD.

Однако конфигурация электромагнитного поля в трех областях подробно не рассматривалась. Дополнительную информацию можно получить с помощью метода модального расширения.

Определение гибридных режимов

Рисунок 4

Что касается поперечного сечения направляющей, показанной на фиг. 1, поля TM и TE могут рассматриваться относительно продольного направления z, вдоль которого направляющая однородна. Как уже было сказано, в волноводе NRD TM или (m ≠ 0) TE-моды по отношению к направлению z не могут существовать, поскольку они не могут удовлетворять условиям, налагаемым присутствием диэлектрической пластины. Тем не менее, известно, что режим распространения внутри направляющей конструкции можно выразить как суперпозиция поля TM и поля TE со ссылкой на z.

Более того, поле TM может быть получено из чисто продольного Лоренц векторный потенциал ${ displaystyle { underline {A}}}$. Электромагнитное поле может быть получено из общих формул:

${ displaystyle { underline {H}} = triangledown times { underline {A}} , { underline {E}} = - j omega mu { подчеркивание {A}} + { frac { triangledown triangledown cdot { underline {A}}} {j omega varepsilon}} (8)}$

Двойным образом поле TE может быть получено из чисто продольного векторного потенциала ${ displaystyle { underline {F}}}$ . Электромагнитное поле выражается:

${ displaystyle { underline {E}} = - triangledown times { underline {F}} , { underline {H}} = - j omega { подчеркивание {F}} + { frac { triangledown triangledown cdot { underline {F}}} {j omega mu}} (9)}$

Ввиду цилиндрической симметрии конструкции по направлению z можно предположить:

${ displaystyle { underline {A}} = A_ {z} { underline {z_ {o}}} = L ^ {TM} (z) T ^ {TM} (x, y) { underline {z_ { о}}} (10)}$

${ displaystyle { underline {F}} = F_ {z} { underline {z_ {o}}} = L ^ {TM} (z) T ^ {TM} (x, y) { underline {z_ { о}}} (11)}$

Как известно, в области без источника потенциал должен удовлетворять однородному Уравнение Гельмгольца:

${ Displaystyle triangledown ^ {2} A_ {z} + k ^ {2} A_ {z} = 0 (12)}$

${ Displaystyle triangledown ^ {2} F_ {z} + k ^ {2} F_ {z} = 0 (13)}$

Из уравнений. (10) - (13) получаем:

${ displaystyle { frac {d ^ {2} L} {dz ^ {2}}} + k_ {z} ^ {2} L = 0 (14)}$

${ displaystyle triangledown _ {t} ^ {2} T + k_ {t} ^ {2} T = 0 (15)}$

где k_z - волновое число в продольном направлении,

${ Displaystyle triangledown _ {t} ^ {2} = triangledown ^ {2} - { frac { partial ^ {2}} { partial z ^ {2}}} и k_ {t} ^ {2} = k ^ {2} -k_ {z} ^ {2}}$ .

Для случая k_z 0, общее решение уравнения. (14) определяется выражением:

${ Displaystyle L (z) = L_ {o} ^ { dotplus} e ^ {- jk_ {z} z} + L_ {o} ^ {-} e ^ {jk_ {z} z} (16)}$

В дальнейшем мы будем предполагать, что присутствует только прямая бегущая волна (L_о⁻ = 0). Волновые числа k_у и k_z в диэлектрике должна быть такой же, как и в воздушной области, чтобы выполнялось условие непрерывности тангенциальных компонент поля. Кроме того, k_z должны быть одинаковыми как в TM, так и в полях TE.

Уравнение (15) можно решить с помощью разделение переменных. Полагая T (x, y) = X (x) Y (y), получаем:

${ displaystyle { frac {d ^ {2} X} {dx ^ {2}}} + k_ {x} ^ {2} X = 0 (17)}$

${ displaystyle { frac {d ^ {2} Y} {dy ^ {2}}} + k_ {y} ^ {2} Y = 0 (18)}$

куда ${ Displaystyle Y (y) = C_ {1} cos (k_ {y} y) + C_ {2} sin (k_ {y} y)}$

Для поля TM решение уравнения (18) с учетом граничных условий при y = 0 и y = a определяется выражением:

${ displaystyle sin ({ гидроразрыва {м pi} {a}} y) (m = 1,2,3, ...)}$.

Аналогично для поля TE имеем:

${ Displaystyle соз ({ гидроразрыва {м пи} {а}} у) (м = 1,2,3, ...)}$.

Что касается уравнения. Что касается (17), выберем вид общего решения:

${ displaystyle X (x) = C_ {3} e ^ {- jk_ {x} x} + C_ {4} e ^ {jk_ {x} x}}$

Следовательно, для различных регионов мы примем:

Диэлектрическая область (-w

${ displaystyle T _ { varepsilon} ^ {TM} = sin ({ frac {m pi} {a}} y) cdot (Ae ^ {- jk_ {x varepsilon} x} + Be ^ {jk_ { x varepsilon} x}) m = 0,1,2, ... (19)}$

${ displaystyle T _ { varepsilon} ^ {TE} = cos ({ frac {m pi} {a}} y) cdot (Ce ^ {- jk_ {x varepsilon} x} + De ^ {jk_ { x varepsilon} x}) m = 1,2,3, ... (20)}$

куда

${ displaystyle k_ {x varepsilon} = k_ {o} { sqrt { varepsilon _ {r} - ({ frac {m pi} {k_ {o} a}}) ^ {2} - ({ frac {k_ {z}} {k_ {o}}}) ^ {2}}} (21)}$

Воздушная область справа (x> w)

${ displaystyle T_ {o +} ^ {TM} = Esin ({ frac {m pi} {a}} y) e ^ {- jk_ {xo} (x-w)} (22)}$

${ displaystyle T_ {o +} ^ {TE} = Fcos ({ frac {m pi} {a}} y) e ^ {- jk_ {xo} (xw)} ( 23)}$

Воздушная область слева (x

${ displaystyle T_ {o -} ^ {TM} = Gsin ({ frac {m pi} {a}} y) e ^ {jk_ {xo} (x + w)} ( 24)}$

${ displaystyle T_ {o -} ^ {TE} = Hcos ({ frac {m pi} {a}} y) e ^ {jk_ {xo} (xw)} (25 )}$

В воздушных регионах у нас есть:

${ displaystyle k_ {xo} = k_ {o} { sqrt {1 - ({ frac {m pi} {k_ {o} a}}) ^ {2} - ({ frac {k_ {z}) } {k_ {o}}}) ^ {2}}} (26)}$

Восемь констант A, B, C, D, E, F, G, H должны быть определены путем наложения восьми условий непрерывности для тангенциальных компонент E_у, E_z, H_у, H_z электромагнитного поля при x = w и x = - w.

Различные компоненты поля представлены в виде:

${ displaystyle E_ {x} = { frac {1} {j omega varepsilon}} { frac { mathrm {dL}} { mathrm {d} z}} { frac { partial T} { partial x}} ^ {TM} -L { frac { partial T} { partial y}} ^ {TE} = { frac {-k_ {z}} { omega varepsilon}} L { frac { partial T} { partial x}} ^ {TM} -L { frac { partial T} { partial y}} ^ {TE} (27)}$

${ displaystyle E_ {y} = { frac {1} {j omega varepsilon}} { frac { mathrm {dL}} { mathrm {d} z}} { frac { partial T} { partial y}} ^ {TM} -L { frac { partial T} { partial x}} ^ {TE} = { frac {-k_ {z}} { omega varepsilon}} L { frac { partial T} { partial y}} ^ {TM} -L { frac { partial T} { partial x}} ^ {TE} (28)}$

${ displaystyle E_ {z} = { frac {k_ {t} ^ {2}} {j omega varepsilon}} L T ^ {TM} = { frac {k ^ {2} -k_ {z } ^ {2}} {j omega varepsilon}} L T ^ {TM} (29)}$

${ displaystyle H_ {x} = L { frac { partial T} { partial y}} ^ {TM} + { frac {1} {j omega mu}} { frac { mathrm {dL }} { mathrm {d} z}} { frac { partial T} { partial x}} ^ {TE} = L { frac { partial T} { partial y}} ^ {TM} - { frac {k_ {z}} { omega mu}} L { frac { partial T} { partial x}} ^ {TE} (30)}$

${ displaystyle H_ {y} = - L { frac { partial T} { partial x}} ^ {TM} + { frac {1} {j omega mu}} { frac { mathrm { dL}} { mathrm {d} z}} { frac { partial T} { partial y}} ^ {TE} = - L { frac { partial T} { partial x}} ^ {TM } - { frac {k_ {z}} { omega mu}} L { frac { partial T} { partial y}} ^ {TE} (31)}$

${ displaystyle H_ {z} = { frac {k_ {t} ^ {2}} {j omega mu}} L T ^ {TE} = { frac {k ^ {2} -k_ {z } ^ {2}} {j omega mu}} L T ^ {TE} (32)}$

Наложив условия непрерывности на каждый интерфейс, мы имеем:

${ displaystyle - { frac {k_ {z}} { omega varepsilon _ {o}}} { frac { partial T_ {o}} { partial y}} ^ {TM} + { frac { partial T_ {o}} { partial x}} ^ {TE} = - { frac {k_ {z}} { omega varepsilon _ {o} varepsilon _ {r}}} { frac { частичный T _ { varepsilon}} { partial y}} ^ {TM} + { frac { partial T _ { varepsilon}} { partial x}} ^ {TE}}$

${ displaystyle { frac {k_ {o} ^ {2} -k_ {z} ^ {2}} {j omega varepsilon _ {o}}} T_ {o} ^ {TM} = { frac {k_ {o} ^ {2} varepsilon _ {r} -k_ {z} ^ {2}} {j omega varepsilon _ {r} varepsilon _ {o}}} T _ { varepsilon} ^ { TM}}$

${ displaystyle - { frac { partial T_ {o}} { partial x}} ^ {TM} - { frac {k_ {z}} { omega mu}} { frac { partial T_ { o}} { partial y}} ^ {TE} = - { frac { partial T _ { varepsilon}} { partial x}} ^ {TM} - { frac {k_ {z}} { omega mu}} { frac { partial T _ { varepsilon}} { partial y}} ^ {TE}}$

${ displaystyle { frac {k_ {o} ^ {2} -k_ {z} ^ {2}} {j omega mu}} T_ {o} ^ {TE} = { frac {k_ {o } ^ {2} varepsilon _ {r} -k_ {z} ^ {2}} {j omega mu}} ^ {TE}}$

где первые элементы относятся к воздушным областям, а вторые - к диэлектрическим областям.

Представляя уравнения. (19), (20) и (22) - (25) в четырех условиях непрерывности при x = w, константы E и F могут быть выражены через A, B, C, D, которые связаны двумя связи.

Аналогичным образом на границе раздела x = -w константы G и H могут быть выражены через A, B, C, D. Тогда выражения компонентов электромагнитного поля станут:

Диэлектрическая область (-w

${ displaystyle E_ {x} = left [j { frac {k_ {x varepsilon} k_ {z}} { omega varepsilon _ {o} varepsilon _ {r}}} (Ae ^ {- jk_ {x varepsilon} x} -Be ^ {jk_ {x varepsilon} x}) + { frac {m pi} {a}} (Ce ^ {- jk_ {x varepsilon} x} + De ^ { jk_ {x varepsilon} x}) right] sin ({ frac {m pi} {a}} y) e ^ {- jk_ {z} z} (33)}$

${ displaystyle E_ {y} = left [- { frac {k_ {z}} { omega varepsilon _ {o} varepsilon _ {r}}} { frac {m pi} {a}} (Ae ^ {- jk_ {x varepsilon} x} + Be ^ {jk_ {x varepsilon} x}) - jk_ {x varepsilon} (Ce ^ {- jk_ {x varepsilon} x} -De ^ { jk_ {x varepsilon} x}) right] cos ({ frac {m pi} {a}} y) e ^ {- jk_ {z} z} (34)}$

${ displaystyle E_ {z} = { frac {k_ {o} ^ {2} varepsilon _ {r} -k_ {z} ^ {2}} {j omega varepsilon _ {o} varepsilon _ { r}}} (Ae ^ {- jk_ {x varepsilon} x} -Be ^ {jk_ {x varepsilon} x}) sin ({ frac {m pi} {a}} y) e ^ {- jk_ {z} z} (35)}$

${ displaystyle H_ {x} = left [{ frac {m pi} {a}} (Ae ^ {- jk_ {x varepsilon} x} + Be ^ {jk_ {x varepsilon} x}) + j { frac {k_ {x varepsilon} k_ {z}} { omega mu}} (Ce ^ {- jk_ {x varepsilon} x} -De ^ {jk_ {x varepsilon} x}) справа] cos ({ frac {m pi} {a}} y) e ^ {- jk_ {z} z} (36)}$

${ displaystyle H_ {y} = left [jk_ {x varepsilon} (Ae ^ {- jk_ {x varepsilon} x} -Be ^ {jk_ {x varepsilon} x}) + { frac {k_ { z}} { omega mu}} { frac {m pi} {a}} (Ce ^ {- jk_ {x varepsilon} x} + De ^ {jk_ {x varepsilon} x}) right ] sin ({ frac {m pi} {a}} y) e ^ {- jk_ {z} z} (37)}$

${ displaystyle H_ {z} = { frac {k_ {o} ^ {2} varepsilon _ {r} -k_ {z} ^ {2}} {j omega mu}} (Ce ^ {- jk_ {x varepsilon} x} + De ^ {jk_ {x varepsilon} x}) cos ({ frac {m pi} {a}} y) e ^ {- jk_ {z} z} (38)}$

Воздушная область справа (x> w)

${ displaystyle E_ {x} = { frac {k_ {o} ^ {2} varepsilon _ {r} -k_ {z} ^ {2}} {k_ {o} ^ {2} -k_ {z} ^ {2}}} [{ frac {jk_ {xo} k_ {z}} { omega varepsilon _ {o} varepsilon _ {r}}} (A e ^ {- jk_ {x varepsilon}) w} + B e ^ {jk_ {x varepsilon} w}) + { frac {m pi} {a}} (C e ^ {- jk_ {x varepsilon} w} + D e ^ {jk_ {x varepsilon} w})] e ^ {- jk_ {xo} (xw)} sin ({ frac {m pi} {a}} y) e ^ {- jk_ {z} z} (39)}$

${ displaystyle E_ {y} = { frac {k_ {o} ^ {2} varepsilon _ {r} -k_ {z} ^ {2}} {k_ {o} ^ {2} -k_ {z} ^ {2}}} [- { frac {k_ {z}} { omega varepsilon _ {o} varepsilon _ {r}}} { frac {m pi} {a}} (A e ^ {- jk_ {x varepsilon} w} + B e ^ {jk_ {x varepsilon} w}) - jk_ {xo} (C e ^ {- jk_ {x varepsilon} w} + D e ^ {jk_ {x varepsilon} w})] e ^ {- jk_ {xo} (xw)} cos ({ frac {m pi} {a}} y) e ^ {- jk_ {z} z} (40)}$

${ displaystyle E_ {z} = { frac {k_ {o} ^ {2} varepsilon _ {r} -k_ {z} ^ {2}} {j omega varepsilon _ {o} varepsilon _ { r}}} (A e ^ {- jk_ {x varepsilon} w} + B e ^ {jk_ {x varepsilon} w}) e ^ {- jk_ {xo} (xw)} sin ({ frac {m pi} {a}} y) e ^ {- jk_ {z} z} (41)}$

${ displaystyle H_ {x} = { frac {k_ {o} ^ {2} varepsilon _ {r} -k_ {z} ^ {2}} {k_ {o} ^ {2} -k_ {z} ^ {2}}} [{ frac {m pi} {a}} { frac {1} { varepsilon _ {r}}} (A e ^ {- jk_ {x varepsilon} w} + B e ^ {jk_ {x varepsilon} w}) + { frac {jk_ {xo} k_ {z}} { omega mu}} (C e ^ {- jk_ {x varepsilon} w} + D e ^ {jk_ {x varepsilon} w})] e ^ {- jk_ {xo} (xw)} cos ({ frac {m pi} {a}} y) e ^ {- jk_ { z} z} (42)}$

${ displaystyle H_ {y} = { frac {k_ {o} ^ {2} varepsilon _ {r} -k_ {z} ^ {2}} {k_ {o} ^ {2} -k_ {z} ^ {2}}} [j { frac {k_ {xo}} { varepsilon _ {r}}} (A e ^ {- jk_ {x varepsilon} w} + B e ^ {jk_ {x varepsilon} w}) + { frac {k_ {z}} { omega mu}} { frac {m pi} {a}} (C e ^ {- jk_ {x varepsilon} w} + D e ^ {jk_ {x varepsilon} w})] e ^ {- jk_ {x0} (xw)} sin ({ frac {m pi} {a}} y) e ^ {- jk_ { z} z} (43)}$

${ displaystyle H_ {z} = { frac {k_ {o} ^ {2} varepsilon _ {r} -k_ {z} ^ {2}} {j omega mu}} (C e ^ { -jk_ {x varepsilon} w} + D e ^ {jk_ {x varepsilon} w}) e ^ {- jk_ {xo} (xw)} cos ({ frac {m pi} {a}} y) e ^ {- jk_ {z} z} (44)}$

Воздушная область слева (x <-w)

${ displaystyle E_ {x} = { frac {k_ {o} ^ {2} varepsilon _ {r} -k_ {z} ^ {2}} {k_ {o} ^ {2} -k_ {z} ^ {2}}} [{ frac {-jk_ {xo} k_ {z}} { omega varepsilon _ {o} varepsilon _ {r}}} (A e ^ {jk_ {x varepsilon}) w} + B e ^ {- jk_ {x varepsilon} w}) + { frac {m pi} {a}} (C e ^ {jk_ {x varepsilon} w} + D e ^ {-jk_ {x varepsilon} w})] e ^ {jk_ {xo} (x + w)} sin ({ frac {m pi} {a}} y) e ^ {- jk_ {z} z } (45)}$

${ displaystyle E_ {y} = { frac {k_ {o} ^ {2} varepsilon _ {r} -k_ {z} ^ {2}} {k_ {o} ^ {2} -k_ {z} ^ {2}}} [- { frac {k_ {z}} { omega varepsilon _ {o} varepsilon _ {r}}} { frac {m pi} {a}} (A e ^ {jk_ {x varepsilon} w} + B e ^ {- jk_ {x varepsilon} w}) - jk_ {xo} (C e ^ {jk_ {x varepsilon} w} + D e ^ {-jk_ {x varepsilon} w})] e ^ {jk_ {xo} (x + w)} cos ({ frac {m pi} {a}} y) e ^ {- jk_ {z} z } (46)}$

${ displaystyle E_ {z} = { frac {k_ {o} ^ {2} varepsilon _ {r} -k_ {z} ^ {2}} {j omega varepsilon _ {o} varepsilon _ { r}}} (A e ^ {jk_ {x varepsilon} w} + B e ^ {- jk_ {x varepsilon} w}) e ^ {- jk_ {xo} (x + w)} sin ( { frac {m pi} {a}} y) e ^ {- jk_ {z} z} (47)}$

${ displaystyle H_ {x} = { frac {k_ {o} ^ {2} varepsilon _ {r} -k_ {z} ^ {2}} {k_ {o} ^ {2} -k_ {z} ^ {2}}} [{ frac {m pi} {a}} { frac {1} { varepsilon _ {r}}} (A e ^ {jk_ {x varepsilon} w} + B e ^ {- jk_ {x varepsilon} w}) - { frac {jk_ {xo} k_ {z}} { omega mu}} (C e ^ {jk_ {x varepsilon} w} + D e ^ {- jk_ {x varepsilon} w})] e ^ {jk_ {xo} (x + w)} cos ({ frac {m pi} {a}} y) e ^ {- jk_ {z} z} (48)}$

${ displaystyle H_ {y} = { frac {k_ {o} ^ {2} varepsilon _ {r} -k_ {z} ^ {2}} {k_ {o} ^ {2} -k_ {z} ^ {2}}} [- j { frac {k_ {xo}} { varepsilon _ {r}}} (A e ^ {jk_ {x varepsilon} w} + B e ^ {- jk_ { x varepsilon} w}) + { frac {k_ {z}} { omega mu}} { frac {m pi} {a}} (C e ^ {jk_ {x varepsilon} w} + D e ^ {- jk_ {x varepsilon} w})] e ^ {jk_ {xo} (x + w)} sin ({ frac {m pi} {a}} y) e ^ {- jk_ {z} z} (49)}$

${ displaystyle H_ {z} = { frac {k_ {o} ^ {2} varepsilon _ {r} -k_ {z} ^ {2}} {j omega mu}} (C e ^ { jk_ {x varepsilon} w} + D e ^ {- jk_ {x varepsilon} w}) e ^ {jk_ {xo} (x + w)} cos ({ frac {m pi} {a} } y) e ^ {- jk_ {z} z} (50)}$

Эти выражения не получаются напрямую методом поперечного резонанса.

Наконец, из остальных условий непрерывности a однородная система четырех уравнения в четырех неизвестных A, B, C, D получается. Нетривиальные решения находятся, полагая, что детерминант из коэффициенты исчезает. Таким образом, используя уравнения. (21) и (26) дисперсионное уравнение, которое дает возможное значение для постоянной продольного распространения k_z для различных режимов.

Затем можно найти неизвестные A, B, C, D, не считая произвольного множителя.

Чтобы получить частоты отсечки различных режимов, достаточно установить k_z= 0 в определителе и решите уравнение, которое теперь сильно упрощено, со ссылкой на частоту. Подобного упрощения не происходит при использовании метода поперечного резонанса, поскольку k_z появляется только неявно; тогда уравнения, которые необходимо решить для получения частот отсечки, формально одинаковы.

Более простой анализ, снова расширяя поле как суперпозицию мод, может быть получен с учетом ориентации электрического поля для требуемой моды и разделения структуры пополам с идеально проводящей стенкой, как это было сделано на рис. В случае, когда есть только две области, необходимо определить только шесть неизвестных, и условия непрерывности также шесть (непрерывность E_у, E_z, H_у, H_z при x = w и обращении в нуль E_у, E_z для x = 0).

Наконец, важно отметить, что полученное дисперсионное уравнение факторизуемо в произведении двух выражений, которые совпадают с дисперсионным уравнением для мод TE и TM относительно направления x, соответственно. Таким образом, все решения относятся к этим двум классам режимов.

Рекомендации