Псевдоэлементарный класс - Pseudoelementary class

В логика, а псевдоэлементарный класс это класс структуры полученный из начальный класс (определяемый в логике первого порядка), опуская некоторые его виды и отношения. Это математическая логика аналог понятия в теория категорий из codomain из) а забывчивый функтор, И в физика из (предположительно) скрытая переменная теории, пытающиеся объяснить квантовая механика. Элементарные классы (бессмысленно) псевдоэлементарны, но обратное не всегда верно; тем не менее псевдоэлементарные классы разделяют некоторые свойства элементарных классов, такие как закрытие относительно сверхпродукты.

Определение

А псевдоэлементарный класс это сокращать из начальный класс. То есть он получается путем исключения некоторых видов и отношений (многосортного) элементарного класса.

Примеры

• 1. Теория с равенством множеств при объединении и пересечении, структуры которых имеют вид (W, ∪, ∩), можно понять наивно как псевдоэлементарный класс, образованный из двухсортированного элементарного класса структур вида (А, W, ∪, ∩, ∈) где ∈ ⊆ А×W а ∪ и ∩ - бинарные операции (как тернарные отношения) на W. Теория последнего класса аксиоматизируется

∀X, Y∈W.∀а∈А.[ а ∈ Икс∪Y   ⇔   а ∈ Икс ∨ а ∈ Y]

∀X, Y∈W.∀а∈А.[ а ∈ Икс∩Y   ⇔   а ∈ Икс ∧ а ∈ Y]

∀X, Y∈W.[ (∀а∈А.[а ∈ Икс   ⇔   а ∈ Y]) → Икс = Y]

В предполагаемой интерпретации А это набор атомов а, б,..., W это набор наборов атомов X, Y, ... и ∈ - отношение принадлежности между атомами и множествами. Следствия этих аксиом включают в себя все законы распределительные решетки. Поскольку в последних законах не упоминаются атомы, они остаются значимыми для структур, полученных из моделей вышеупомянутой теории, если опустить вид А атомов и отношение принадлежности ∈. Все дистрибутивные решетки могут быть представлены в виде множеств множеств при объединении и пересечении, поэтому этот псевдоэлементарный класс фактически является элементарным классом, а именно разнообразие распределительных решеток.

В этом примере оба класса (соответственно до и после пропуска) являются конечно аксиоматизируемыми элементарными классами. Но в то время как стандартный подход к аксиоматизации последнего класса использует девять уравнений для аксиоматизации дистрибутивной решетки, первый класс требует только трех вышеупомянутых аксиом, что позволяет быстрее определить последний класс как редукцию первого, чем непосредственно обычным способом.

• 2. Теория равенства бинарных отношений при объединении р∪S, перекресток р∩S, дополнение р⁻, реляционная композиция р;S, и реляционное обращение р^{${Displaystyle {Reve {}}}$}, структуры которого имеют вид (W, ∪, ∩, −, ;, ^{${Displaystyle {Reve {}}}$}), можно понимать как псевдоэлементарный класс, образованный из трехсортированного элементарного класса структур вида (А, п, W, ∪, ∩, −, ;, ^{${Displaystyle {Reve {}}}$}, λ, ρ, π, ∈). Предполагаемая интерпретация трех типов: атомы, пары атомов и наборы пар атомов, π: А×;А → п и λ, ρ: п → А явные конструкторы и деструкторы спаривания, а ∈ ⊆ п×;W это отношение принадлежности между парами и отношениями (как наборами пар). По аналогии с примером 1 чисто реляционные связки, определенные на W могут быть наивно аксиоматизированы в терминах атомов и пар атомов в обычной манере вводных текстов. Тогда чистая теория бинарных отношений может быть получена как теория псевдоэлементарного класса редуктов моделей этого элементарного класса, полученная путем исключения сортов атомов и пар, а также всех отношений, включающих пропущенные сорта.

В этом примере оба класса являются элементарными, но только первый класс конечно аксиоматизируем, хотя последний класс (редукт), как показал Тарский в 1955 году, тем не менее является разнообразие, а именно RRA, представимое алгебры отношений.

• 3. А примитивное кольцо является обобщением понятия простое кольцо. Он определен на элементарном языке (первого порядка) в терминах элементов и идеалов кольца, что дает начало элементарному классу двусортных структур, включающих кольца и идеалы. Класс примитивных колец получается из этого элементарного класса путем исключения сортов и языка, связанных с идеалами, и, следовательно, является псевдоэлементарным классом.

В этом примере остается открытым вопрос, является ли этот псевдоэлементарный класс элементарным.

• 4. Класс экспоненциально замкнутые поля псевдоэлементарный класс, не являющийся элементарным.

Приложения

А квазимногообразие логически определяется как класс моделей универсальная теория Рога эквивалентно может быть определен алгебраически как класс структур, замкнутых относительно изоморфизмы, подалгебры, и уменьшенные продукты. Поскольку понятие уменьшенного продукта сложнее, чем понятие прямой продукт, иногда полезно смешивать логические и алгебраические характеристики в терминах псевдоэлементарных классов. Одно такое смешанное определение характеризует квазимногообразие как псевдоэлементарный класс, замкнутый относительно изоморфизмов, подалгебр и прямых произведений (свойство псевдоэлементарности позволяет упростить «редуцированный» до «прямого»).

Следствием этой характеристики является то, что можно (неконструктивно) доказать существование универсальной аксиоматизации Хорна для класса, сначала аксиоматизируя некоторое расширение структуры вспомогательными видами и отношениями, а затем показывая, что псевдоэлементарный класс, полученный отбрасыванием вспомогательных конструкций, является закрытые по подалгебрам и прямым произведениям. Этот метод работает для примера 2, поскольку подалгебры и прямые произведения алгебр бинарных отношений сами по себе являются алгебрами бинарных отношений, показывая, что класс RRA представимых алгебры отношений квазимногообразие (и a fortiori элементарный класс). Это короткое доказательство является эффективным применением абстрактная чушь; более сильный результат Тарского, что RRA На самом деле разнообразие требует более честного труда.

Рекомендации

• Пол К. Эклоф (1977), Ультрапродукты для алгебраистов, в Справочник по математической логике (изд. Джон Барвайз ), Северная Голландия.