Чистота (квантовая механика) - Википедия - Purity (quantum mechanics)

В квантовая механика, и особенно квантовая информация теория, чистота нормализованного квантовое состояние скаляр, определяемый как

куда это матрица плотности государства. Чистота определяет меру квантовых состояний, предоставляя информацию о том, насколько состояние смешанный.

Математические свойства

Чистота нормированного квантового состояния удовлетворяет ,[1] куда это измерение из Гильбертово пространство на котором определяется состояние. Верхняя оценка получается и (видеть след ).

Если - проекция, определяющая чистое состояние, то верхняя граница насыщается: (видеть Прогнозы ). Нижняя граница получается из полностью смешанного состояния, представленного матрицей .

Чистота квантового состояния сохраняется при унитарный преобразования, действующие на матрица плотности в виде , куда U является унитарной матрицей. В частности, он сохраняется под оператор эволюции во времени , куда ЧАС это Гамильтониан оператор.[1][2]

Физический смысл

Чистое квантовое состояние можно представить в виде одного вектора в гильбертовом пространстве. В формулировке матрицы плотности чистое состояние представлено матрицей

.

Однако смешанное состояние не может быть представлено таким образом, а вместо этого представлено линейной комбинацией чистых состояний.

пока для нормализации. Параметр чистоты связан с коэффициентами: если только один коэффициент равен 1, состояние чистое; иначе чистота измеряет, насколько их значения похожи. Действительно, чистота 1 / д когда состояние полностью перемешано, т.е.

куда находятся d ортонормированные векторы, составляющие основу гильбертова пространства.[3]

Геометрическое представление

На Сфера Блоха, чистые состояния представлены точкой на поверхности сферы, а смешанные состояния представлены внутренней точкой. Таким образом, чистоту состояния можно представить как степень приближения точки к поверхности сферы.

Например, полностью смешанное состояние одного кубита представлен центром сферы симметрией.

Графическое представление о чистоте может быть достигнуто, если посмотреть на соотношение между матрицей плотности и сферой Блоха,

куда - вектор, представляющий квантовое состояние (на или внутри сферы), и вектор Матрицы Паули.

Поскольку матрицы Паули бесследовы, все еще выполняется tr (ρ)= 1. Однако в силу

следовательно trчто согласуется с тем фактом, что чистыми являются только состояния на поверхности самой сферы (т.е. ).

Отношение к другим концепциям

Линейная энтропия

Чистота тривиально связана с Линейная энтропия государства

Запутанность

А 2-кубиты чистое состояние можно написать (используя Разложение Шмидта ) в качестве , куда основы соответственно, и . Его матрица плотности равна . Степень его запутанности связана с чистотой состояний его подсистем, , и аналогично для (видеть частичный след ). Если это начальное состояние разделимо (т.е. есть только один ), тогда оба чисты. В противном случае это состояние запутывается и оба смешаны. Например, если что является максимально запутанным состоянием, то оба полностью смешаны.

Для 2-кубитов (чистых или смешанных) состояний Число Шмидта (количество коэффициентов Шмидта) не превосходит 2. Используя это и Критерий Переса – Городецкого (для 2-кубитов) состояние запутано, если его частичное транспонирование имеет хотя бы одно отрицательное собственное значение. Используя коэффициенты Шмидта сверху, отрицательное собственное значение равно .[4] В негатив этого собственного значения также используется как мера запутанности - состояние более запутанное, поскольку это собственное значение более отрицательно (до за Белл заявляет ). Для состояния подсистемы (аналогично для ), выполняется:

И чистота .

Можно видеть, что чем более запутанным является составное состояние (т.е. более отрицательным), тем менее чистым является состояние подсистемы.

Обратный коэффициент участия (IPR)

В контексте локализации оказывается полезной величина, тесно связанная с чистотой, так называемая обратная доля участия (IPR). Он определяется как интеграл (или сумма для конечного размера системы) по квадрату плотности в некотором пространстве, например, в реальном пространстве, импульсное пространство, или даже фазовое пространство, где плотности были бы квадратом реального пространства волновая функция , квадрат импульсной пространственной волновой функции , или некоторая плотность фазового пространства, например Распределение Хусими, соответственно.[5]

Наименьшее значение IPR соответствует полностью делокализованному состоянию, для системы размеров , где IPR дает . Значения IPR, близкие к 1, соответствуют локализованным состояниям (по аналогии с чистыми состояниями), что можно увидеть с идеально локализованным состоянием , где IPR дает . В одном измерении IPR прямо пропорционален обратной длине локализации, то есть размеру области, в которой локализовано состояние. Локализованные и делокализованные (расширенные) состояния в рамках физика конденсированного состояния затем соответствуют изоляционный и металлический состояний соответственно, если представить себе электрон на решетке, не способный двигаться в кристалл (локализованная волновая функция, IPR близок к единице) или способность двигаться (расширенное состояние, IPR близко к нулю).

В контексте локализации часто нет необходимости знать саму волновую функцию; часто бывает достаточно знать свойства локализации. Вот почему в этом контексте полезен IPR. IPR в основном берет полную информацию о квантовой системе (волновая функция; для -размерный Гильбертово пространство нужно было бы хранить значения, компоненты волновой функции) и сжимает его в одно число, которое затем содержит только некоторую информацию о свойствах локализации состояния. Несмотря на то, что эти два примера идеально локализованного и идеально делокализованного состояний были показаны только для волновой функции реального пространства и, соответственно, для IPR реального пространства, очевидно, что можно распространить идею на импульсное пространство и даже на фазовое пространство; затем IPR дает некоторую информацию о локализации в рассматриваемом пространстве, например а плоская волна будет сильно делокализован в реальном пространстве, но его преобразование Фурье then сильно локализован, поэтому здесь IPR реального пространства будет близко к нулю, а IPR импульсного пространства будет близко к единице.

Проективность измерения

Для квантового измерения проективность[6] чистота его состояние до измерения.Этот состояние до измерения является основным инструментом ретроактивный подход квантовой физики, в которой мы делаем прогнозы относительно подготовки состояний, ведущих к заданному результату измерения. Это позволяет определить, в каких состояниях измеряемая система была подготовлена ​​к достижению такого результата.

Рекомендации

  1. ^ а б Джагер, Грегг (15 ноября 2006 г.). Квантовая информация: обзор. Springer Science & Business Media. ISBN  9780387357256.
  2. ^ Каппелларо, Паола (2012). «Конспект лекции: Квантовая теория радиационных взаимодействий, глава 7: Смешанные состояния» (PDF). ocw.mit.edu. Получено 2016-11-26.
  3. ^ Nielsen, Michael A .; Чуанг, Исаак Л. (2011). Квантовые вычисления и квантовая информация: 10-летие издания. Нью-Йорк, Нью-Йорк, США: Издательство Кембриджского университета.
  4. ^ Cyczkowski, Karol (1998-01-01). «Объем множества разделимых состояний». Физический обзор A. 58 (2): 883–892. arXiv:Quant-ph / 9804024v1. Bibcode:1998PhRvA..58..883Z. Дои:10.1103 / PhysRevA.58.883.
  5. ^ Kramer, B .; Маккиннон, А. (декабрь 1993 г.). «Локализация: теория и эксперимент». Отчеты о достижениях физики. 56 (12): 1469. Bibcode:1993РПФ ... 56.1469K. Дои:10.1088/0034-4885/56/12/001. ISSN  0034-4885.
  6. ^ Тауфик Амри, Квантовое поведение измерительной аппаратуры, arXiv: 1001.3032 (2010).