Взаимность (электромагнетизм) - Reciprocity (electromagnetism)

Эта страница посвящена теоремам взаимности в классическом электромагнетизме. Смотрите также Теорема взаимности (значения) для несвязанных теорем взаимности, и Взаимность (значения) для более общего использования термина.

В классический электромагнетизм, взаимность относится к множеству связанных теорем, касающихся обмена времени -гармонический электрический текущие плотности (источники) и в результате электромагнитные поля в Уравнения Максвелла для инвариантных во времени линейных сред при определенных ограничениях. Взаимность тесно связана с концепцией Эрмитовы операторы из линейная алгебра, применительно к электромагнетизму.

Возможно, самая распространенная и общая из таких теорем: Лоренц взаимность (и его различные частные случаи, такие как Взаимность Рэлея-Карсона), названный в честь работы Хендрик Лоренц в 1896 г. после аналогичных результатов относительно звук к Лорд Рэйли и свет к Гельмгольца (Поттон, 2004). В общих чертах он утверждает, что связь между осциллирующим током и результирующим электрическое поле не изменится, если поменять местами точки, где подается ток и где измеряется поле. Для конкретного случая электрическая сеть, иногда это формулируется как утверждение, что напряжения и токи в разных точках сети можно поменять местами. С технической точки зрения, следует, что взаимное сопротивление первой цепи из-за второй такой же, как взаимное сопротивление второй цепи из-за первой.

Взаимность полезна в оптика, которые (помимо квантовых эффектов) могут быть выражены в терминах классического электромагнетизма, но также и в терминах радиометрия.

Аналогичная теорема есть и в электростатика, известный как Взаимность Грина, относящиеся к обмену электрический потенциал и плотность электрического заряда.

Формы теорем взаимности используются во многих электромагнитных приложениях, таких как анализ электрических сетей и антенна системы. Например, взаимность подразумевает, что антенны работают одинаково хорошо как передатчики или приемники, и, в частности, что антенны схемы излучения и приема идентичны. Взаимность также является основной леммой, которая используется для доказательства других теорем об электромагнитных системах, таких как симметрия матрица импеданса и матрица рассеяния, симметрии Функции Грина для использования в граничный элемент и методы расчета трансфер-матрицы, а также ортогональность свойства гармонические режимы в волновод систем (в качестве альтернативы доказательству этих свойств непосредственно из симметрии собственные операторы ).

Лоренц взаимность

В частности, предположим, что плотность тока ${ displaystyle mathbf {J} _ {1}}$ что производит электрическое поле ${ displaystyle mathbf {E} _ {1}}$ и магнитное поле ${ displaystyle mathbf {H} _ {1}}$ , где все три - периодические функции времени с угловая частота ω, и, в частности, они имеют временную зависимость ${ Displaystyle ехр (-i omega t)}$ . Предположим, что у нас аналогично есть второй ток ${ displaystyle mathbf {J} _ {2}}$ на той же частоте ω, которая (сама по себе) создает поля ${ displaystyle mathbf {E} _ {2}}$ и ${ displaystyle mathbf {H} _ {2}}$ . Затем теорема взаимности Лоренца утверждает, что при определенных простых условиях на материалы среды, описанных ниже, для произвольной поверхности S вложение тома V:

{ displaystyle int _ {V} left [ mathbf {J} _ {1} cdot mathbf {E} _ {2} - mathbf {E} _ {1} cdot mathbf {J} _ {2} right] dV = oint _ {S} left [ mathbf {E} _ {1} times mathbf {H} _ {2} - mathbf {E} _ {2} times mathbf {H} _ {1} right] cdot mathbf {dS}.}

Эквивалентно, в дифференциальной форме ( теорема расходимости ):

{ displaystyle mathbf {J} _ {1} cdot mathbf {E} _ {2} - mathbf {E} _ {1} cdot mathbf {J} _ {2} = nabla cdot left [ mathbf {E} _ {1} times mathbf {H} _ {2} - mathbf {E} _ {2} times mathbf {H} _ {1} right].}

Эта общая форма обычно упрощается для ряда частных случаев. В частности, обычно предполагается, что ${ displaystyle mathbf {J} _ {1}}$ и ${ displaystyle mathbf {J} _ {2}}$ локализованы (т.е. имеют компактная опора ), и что нет набегающих волн бесконечно далеких. В этом случае, если интегрировать по всему пространству, то члены поверхностного интеграла сокращаются (см. Ниже), и получается:

{ displaystyle int mathbf {J} _ {1} cdot mathbf {E} _ {2} , dV = int mathbf {E} _ {1} cdot mathbf {J} _ {2 } , dV.}

Этот результат (вместе со следующими упрощениями) иногда называют Теорема взаимности Рэлея-Карсона, после работы лорда Рэлея о звуковых волнах и расширения Джон Р. Карсон (1924; 1930) к заявкам на радиочастота антенны. Часто это соотношение еще более упрощается, рассматривая точечные диполь источников, и в этом случае интегралы исчезают, и мы просто имеем произведение электрического поля с соответствующими дипольными моментами токов. Или, для проводов пренебрежимо малой толщины, получают приложенный ток в одном проводе, умноженный на результирующее напряжение на другом, и наоборот; см. также ниже.

Другой частный случай теоремы взаимности Лоренца применяется, когда объем V полностью содержит обе локализованных источников (или, альтернативно, если V пересекает ни один источников). В этом случае:

{ displaystyle oint _ {S} ( mathbf {E} _ {1} times mathbf {H} _ {2}) cdot mathbf {dS} = oint _ {S} ( mathbf {E } _ {2} times mathbf {H} _ {1}) cdot mathbf {dS}.}

Взаимность для электрических сетей

Выше взаимность Лоренца была выражена в терминах внешнего источника тока и результирующего поля. Часто, особенно для электрических сетей, вместо этого предпочитают думать о внешнем напряжении и возникающих токах. Теорема взаимности Лоренца описывает и этот случай, предполагая, что омические материалы (то есть токи, которые линейно реагируют на приложенное поле) с 3 × 3 проводимость матрица σ, которая должна быть симметричный, что подразумевается другими условиями ниже. Чтобы правильно описать эту ситуацию, нужно тщательно различать внешне применяемый поля (от управляющих напряжений) и общий поля, которые в результате (King, 1963).

В частности, ${ displaystyle mathbf {J}}$ приведенное выше состояло только из внешних «исходных» членов, введенных в уравнения Максвелла. Обозначим это теперь через ${ Displaystyle mathbf {J} ^ {(е)}}$ отличить его от общий ток, создаваемый как внешним источником, так и возникающими электрическими полями в материалах. Если этот внешний ток находится в материале с проводимостью σ, то он соответствует приложенному извне электрическому полю ${ displaystyle mathbf {E} ^ {(e)}}$ где по определению σ:

{ displaystyle mathbf {J} ^ {(e)} = sigma mathbf {E} ^ {(e)}.}

Кроме того, электрическое поле ${ displaystyle mathbf {E}}$ выше состоял только из отклик к этому току, и не включал "внешнее" поле ${ displaystyle mathbf {E} ^ {(e)}}$ . Таким образом, мы теперь обозначим поле ранее как ${ displaystyle mathbf {E} ^ {(r)}}$ , где общий поле дается ${ Displaystyle mathbf {E} = mathbf {E} ^ {(e)} + mathbf {E} ^ {(r)}}$ .

Теперь уравнение в левой части теоремы взаимности Лоренца можно переписать, переместив σ из члена внешнего тока ${ Displaystyle mathbf {J} ^ {(е)}}$ к условиям поля ответа ${ displaystyle mathbf {E} ^ {(r)}}$ , а также добавление и вычитание ${ displaystyle sigma mathbf {E} _ {1} ^ {(e)} mathbf {E} _ {2} ^ {(e)}}$ член, чтобы получить внешнее поле, умноженное на общий Текущий ${ Displaystyle mathbf {J} = sigma mathbf {E}}$ :

{ Displaystyle { begin {align} & int _ {V} left [ mathbf {J} _ {1} ^ {(e)} cdot mathbf {E} _ {2} ^ {(r) } - mathbf {E} _ {1} ^ {(r)} cdot mathbf {J} _ {2} ^ {(e)} right] dV = {} & int _ {V} left [ sigma mathbf {E} _ {1} ^ {(e)} cdot left ( mathbf {E} _ {2} ^ {(r)} + ​​ mathbf {E} _ {2} ^ {(e)} right) - left ( mathbf {E} _ {1} ^ {(r)} + ​​ mathbf {E} _ {1} ^ {(e)} right) cdot sigma mathbf {E} _ {2} ^ {(e)} right] dV = {} & int _ {V} left [ mathbf {E} _ {1} ^ {(e)} cdot mathbf {J} _ {2} - mathbf {J} _ {1} cdot mathbf {E} _ {2} ^ {(e)} right] dV. end {align}}}

Для предела тонких проводов это дает произведение внешнего приложенного напряжения (1), умноженное на результирующий полный ток (2), и наоборот. В частности, теорема взаимности Рэлея-Карсона превращается в простое суммирование:

{ displaystyle sum _ {n} V_ {1} ^ {(n)} I_ {2} ^ {(n)} = sum _ {n} V_ {2} ^ {(n)} I_ {1} ^ {(п)} !}

куда V и я обозначить комплексные амплитуды из AC приложенные напряжения и результирующие токи, соответственно, в наборе элементов схемы (индексированных п) для двух возможных наборов напряжений ${ displaystyle V_ {1}}$ и ${ displaystyle V_ {2}}$ .

Чаще всего это упрощается до случая, когда каждая система имеет Один источник напряжения V, в ${ Displaystyle V_ {1} ^ {(1)} = V}$ и ${ Displaystyle V_ {2} ^ {(2)} = V}$ . Тогда теорема становится просто

{ Displaystyle I_ {1} ^ {(2)} = I_ {2} ^ {(1)}}

или словами:

Ток в позиции (1) от напряжения в (2) идентичен току в (2) от того же напряжения в (1).

Условия и доказательство лоренцевой взаимности

Теорема взаимности Лоренца - это просто отражение того факта, что линейный оператор ${ displaystyle { hat {O}}}$ относящийся ${ displaystyle mathbf {J}}$ и ${ displaystyle mathbf {E}}$ на фиксированной частоте ${ displaystyle omega}$ (в линейных средах):

{ Displaystyle mathbf {J} = { frac {1} {я omega}} left [{ frac {1} { mu}} left ( nabla times nabla times right) - ; omega ^ {2} varepsilon right] mathbf {E} Equiv { hat {O}} mathbf {E}}

обычно симметричный оператор под "внутренний продукт " ${ Displaystyle ( mathbf {F}, mathbf {G}) = int mathbf {F} cdot mathbf {G} , dV}$ за векторные поля ${ displaystyle mathbf {F}}$ и ${ displaystyle mathbf {G}}$ . (Технически это неконъюгированный форма не является истинным внутренним продуктом, потому что она не имеет действительного значения для комплексных полей, но здесь это не проблема. В этом смысле оператор не является истинно эрмитовым, а скорее комплексно-симметричным.) Это верно, когда диэлектрическая проницаемость ε и магнитная проницаемость μ при данном ω равны симметричный Матрицы 3 × 3 (симметричные тензоры ранга 2) - это включает в себя общий случай, когда они скаляры (для изотропных сред), конечно. Им нужно нет быть действительным - комплексные значения соответствуют материалам с потерями, таким как проводники с конечной проводимостью σ (которая включена в ε через ${ Displaystyle varepsilon rightarrow varepsilon + я sigma / omega}$ ) - и поэтому теорема взаимности нет требовать инвариантность обращения времени. Условие симметричности матриц ε и μ почти всегда выполняется; см. исключение ниже.

Для любого эрмитова оператора ${ displaystyle { hat {O}}}$ под внутренним продуктом ${ Displaystyle (е, г) !}$ , у нас есть ${ Displaystyle (е, { шляпа {O}} г) = ({ шляпа {O}} е, г)}$ по определению, и теорема взаимности Рэлея-Карсона является просто векторной версией этого утверждения для этого конкретного оператора ${ Displaystyle mathbf {J} = { hat {O}} mathbf {E}}$ : то есть, ${ displaystyle ( mathbf {E} _ {1}, { hat {O}} mathbf {E} _ {2}) = ({ hat {O}} mathbf {E} _ {1}, mathbf {E} _ {2})}$ . Эрмитовость оператора здесь может быть получена с помощью интеграция по частям. Для конечного объема интегрирования поверхностные члены из этого интегрирования по частям дают более общую теорему об интеграле поверхности, приведенную выше. В частности, ключевым фактом является то, что для векторных полей ${ displaystyle mathbf {F}}$ и ${ displaystyle mathbf {G}}$ , интеграция по частям (или теорема расходимости ) над объемом V окруженный поверхностью S дает личность:

{ Displaystyle int _ {V} mathbf {F} cdot ( nabla times mathbf {G}) , dV Equiv int _ {V} ( nabla times mathbf {F}) cdot mathbf {G} , dV- oint _ {S} ( mathbf {F} times mathbf {G}) cdot mathbf {dA}.}

Затем этот идентификатор применяется дважды к ${ displaystyle ( mathbf {E} _ {1}, { hat {O}} mathbf {E} _ {2})}$ уступить ${ Displaystyle ({ шляпа {O}} mathbf {E} _ {1}, mathbf {E} _ {2})}$ плюс поверхностный член, дающий соотношение взаимности Лоренца.

Условия и доказательство лоренцевской взаимности с использованием уравнений Максвелла и векторных операций^[1]

Мы докажем общую форму электромагнитной теоремы взаимности Лоренца, которая утверждает, что поля ${ displaystyle mathbf {E} _ {1}, mathbf {H} _ {1}}$ и ${ displaystyle mathbf {E} _ {2}, mathbf {H} _ {2}}$ генерируется двумя разными плотностями синусоидального тока соответственно ${ displaystyle mathbf {J} _ {1}}$ и ${ displaystyle mathbf {J} _ {2}}$ той же частоты, удовлетворяют условию ${ displaystyle int _ {V} left [ mathbf {J} _ {1} cdot mathbf {E} _ {2} - mathbf {E} _ {1} cdot mathbf {J} _ {2} right] dV = oint _ {S} left [ mathbf {E} _ {1} times mathbf {H} _ {2} - mathbf {E} _ {2} times mathbf {H} _ {1} right] cdot mathbf {dS}.}$

Возьмем область, в которой диэлектрическая проницаемость и проницаемость могут зависеть от положения, но не от времени. Уравнения Максвелла, записанные в терминах полных полей, токов и зарядов области, описывают электромагнитное поведение области. Два уравнения ротора:

${ displaystyle { begin {array} {ccc} nabla times mathbf {E} & = & - { frac { partial mathbf {B}} { partial t}}, nabla times mathbf {H} & = & mathbf {J} + { frac { partial mathbf {D}} { partial t}}. end {array}}}$

В условиях постоянной постоянной частоты мы получаем из двух уравнений ротора уравнения Максвелла для периодического во времени случая:

${ displaystyle { begin {array} {ccc} nabla times mathbf {E} & = & - j omega mathbf {B}, nabla times mathbf {H} & = & mathbf {J} + j omega mathbf {D}. End {array}}}$

Следует понимать, что символы в уравнениях этой статьи представляют комплексные множители ${ displaystyle e ^ {j omega t}}$ , с указанием синфазной и противофазной частей относительно выбранного эталона. Комплексные векторные множители ${ displaystyle e ^ {j omega t}}$ можно назвать вектор вектор по аналогии с комплексными скалярными величинами, которые обычно называют фазоры.

Эквивалентность векторных операций показывает, что

${ displaystyle mathbf {H} cdot ( nabla times mathbf {E}) - mathbf {E} cdot ( nabla times mathbf {H}) = nabla cdot ( mathbf {E } times mathbf {H})}$ для каждого вектора ${ displaystyle mathbf {E}}$ и ${ displaystyle mathbf {H}}$ .

Если применить эту эквивалентность к ${ displaystyle mathbf {E} _ {1}}$ и ${ displaystyle mathbf {H} _ {2}}$ мы получили:

${ displaystyle mathbf {H} _ {2} cdot ( nabla times mathbf {E} _ {1}) - mathbf {E} _ {1} cdot ( nabla times mathbf {H } _ {2}) = набла cdot ( mathbf {E} _ {1} times mathbf {H} _ {2})}$ .

Если продукты в периодических по времени уравнениях взяты, как указано в этой последней эквивалентности, и добавлены,

${ displaystyle - mathbf {H} _ {2} cdot j omega mathbf {B} _ {1} - mathbf {E} _ {1} cdot j omega mathbf {D} _ {2 } - mathbf {E} _ {1} cdot mathbf {J} _ {2} = nabla cdot ( mathbf {E} _ {1} times mathbf {H} _ {2})}$ .

Теперь это может быть объединено с объемом проблем,

${ displaystyle int _ {V} ( mathbf {H} _ {2} cdot j omega mathbf {B} _ {1} + mathbf {E} _ {1} cdot j omega mathbf {D} _ {2} + mathbf {E} _ {1} mathbf {J} _ {2}) dV = - int _ {V} nabla cdot ( mathbf {E} _ {1} times mathbf {H} _ {2}) dV}$ .

Из теоремы о расходимости интеграл объема от ${ displaystyle div ( mathbf {E} _ {1} times mathbf {H} _ {2})}$ равна поверхностному интегралу от ${ Displaystyle mathbf {E} _ {1} times mathbf {H} _ {2}}$ за границу.

${ displaystyle int _ {V} ( mathbf {H} _ {2} cdot j omega mathbf {B} _ {1} + mathbf {E} _ {1} cdot j omega mathbf {D} _ {2} + mathbf {E} _ {1} cdot mathbf {J} _ {2}) dV = - oint _ {S} ( mathbf {E} _ {1} times mathbf {H} _ {2}) cdot { widehat {dS}}}$ .

Эта форма действительна для обычных сред, но в общем случае линейных, изотропных, неизменных во времени материалов, ${ displaystyle epsilon}$ является скаляром, не зависящим от времени. Тогда вообще как физические величины ${ Displaystyle mathbf {D} = epsilon mathbf {E}}$ и ${ Displaystyle mathbf {B} = mu mathbf {H}}$ .

Последнее уравнение становится

${ displaystyle int _ {V} ( mathbf {H} _ {2} cdot j omega mu mathbf {H} _ {1} + mathbf {E} _ {1} cdot j omega epsilon mathbf {E} _ {2} + mathbf {E} _ {1} cdot mathbf {J} _ {2}) dV = - oint _ {S} ( mathbf {E} _ { 1} times mathbf {H} _ {2}) cdot { widehat {dS}}}$ .

Точно аналогичным образом для векторов получаем ${ displaystyle mathbf {E} _ {2}}$ и ${ displaystyle mathbf {H} _ {1}}$ следующее выражение:

${ displaystyle int _ {V} ( mathbf {H} _ {1} cdot j omega mu mathbf {H} _ {2} + mathbf {E} _ {2} cdot j omega epsilon mathbf {E} _ {1} + mathbf {E} _ {2} cdot mathbf {J} _ {1}) dV = - oint _ {S} ( mathbf {E} _ { 2} times mathbf {H} _ {1}) cdot { widehat {dS}}}$ .

Вычитая два последних уравнения по членам, получаем

${ displaystyle int _ {V} left [ mathbf {J} _ {1} cdot mathbf {E} _ {2} - mathbf {E} _ {1} cdot mathbf {J} _ {2} right] dV = oint _ {S} left [ mathbf {E} _ {1} times mathbf {H} _ {2} - mathbf {E} _ {2} times mathbf {H} _ {1} right] cdot mathbf {dS}.}$

и эквивалентно в дифференциальной форме

${ displaystyle mathbf {J} _ {1} cdot mathbf {E} _ {2} - mathbf {E} _ {1} cdot mathbf {J} _ {2} = nabla cdot left [ mathbf {E} _ {1} times mathbf {H} _ {2} - mathbf {E} _ {2} times mathbf {H} _ {1} right]}$ q.e.d.

Поверхностная отмена

Сокращение поверхностных членов в правой части теоремы взаимности Лоренца для интегрирования по всему пространству не совсем очевидно, но может быть получено несколькими способами.

Другим простым аргументом было бы то, что поля стремятся к нулю на бесконечности для локализованного источника, но этот аргумент неверен в случае среды без потерь: в отсутствие поглощения излучаемые поля затухают обратно пропорционально расстоянию, но площадь поверхности интеграла увеличивается с квадратом расстояния, поэтому две ставки уравновешивают друг друга в интеграле.

Вместо этого принято (например, King, 1963) предположить, что среда однородна и изотропна достаточно далеко. В этом случае излучаемое поле асимптотически принимает вид плоские волны распространяющиеся радиально наружу (в ${ displaystyle { hat { mathbf {r}}}}$ направление) с ${ Displaystyle { шляпа { mathbf {r}}} cdot mathbf {E} = 0}$ и ${ displaystyle mathbf {H} = { hat { mathbf {r}}} times mathbf {E} / Z}$ куда Z это сопротивление ${ displaystyle { sqrt { mu / epsilon}}}$ окружающей среды. Тогда следует, что ${ displaystyle mathbf {E} _ {1} times mathbf {H} _ {2} = mathbf {E} _ {1} times { hat { mathbf {r}}} times mathbf {E} _ {2} / Z}$ , что простым векторная идентичность равно ${ Displaystyle { шляпа { mathbf {r}}} ( mathbf {E} _ {1} cdot mathbf {E} _ {2}) / Z}$ . По аналогии, ${ displaystyle mathbf {E} _ {2} times mathbf {H} _ {1} = { hat { mathbf {r}}} ( mathbf {E} _ {2} cdot mathbf { E} _ {1}) / Z}$ и два условия отменяют друг друга.

Приведенный выше аргумент ясно показывает, почему поверхностные члены могут сокращаться, но не имеет общности. В качестве альтернативы, можно рассматривать случай окружающей среды без потерь, взяв предел, когда потери (мнимая часть ε) стремятся к нулю. При любых ненулевых потерях поля экспоненциально затухают с расстоянием и поверхностный интеграл обращается в нуль, независимо от того, является ли среда однородной. Поскольку левая часть теоремы взаимности Лоренца обращается в нуль при интегрировании по всему пространству с любыми ненулевыми потерями, она также должна исчезнуть в пределе, когда потери стремятся к нулю. (Обратите внимание, что мы неявно предполагали стандартное граничное условие нулевых волн, приходящих из бесконечности, потому что в противном случае даже бесконечно малые потери исключили бы приходящие волны, а предел не дал бы решения без потерь.)

Взаимность и функция Грина

Обратный к оператору ${ displaystyle { hat {O}}}$ , т.е. в ${ displaystyle mathbf {E} = { hat {O}} ^ {- 1} mathbf {J}}$ (что требует указания граничных условий на бесконечности в системе без потерь), имеет ту же симметрию, что и ${ displaystyle { hat {O}}}$ и по сути Функция Грина свертка. Итак, другая точка зрения на лоренцеву взаимность заключается в том, что она отражает тот факт, что свертка с электромагнитной функцией Грина является комплексно-симметричной (или антиэрмитовой, ниже) линейной операцией при соответствующих условиях на ε и μ. Более конкретно, функцию Грина можно записать как ${ Displaystyle G_ {нм} ( mathbf {x} ', mathbf {x})}$ давая п-й компонент ${ displaystyle mathbf {E}}$ в ${ displaystyle mathbf {x} '}$ от точечного дипольного тока в м-е направление в ${ displaystyle mathbf {x}}$ (по сути, ${ displaystyle G}$ дает матричные элементы ${ displaystyle { hat {O}} ^ {- 1}}$ ), а взаимность Рэлея-Карсона эквивалентна утверждению, что ${ Displaystyle G_ {нм} ( mathbf {x} ', mathbf {x}) = G_ {mn} ( mathbf {x}, mathbf {x}')}$ . В отличие от ${ displaystyle { hat {O}}}$ , как правило, невозможно дать явную формулу для функции Грина (за исключением особых случаев, таких как однородные среды), но она обычно вычисляется численными методами.

Магнитооптические материалы без потерь

Один случай, когда ε равно нет симметричная матрица предназначена для магнитооптический материалов, и в этом случае обычное утверждение о лоренцевой взаимности не выполняется (однако см. обобщение ниже). Если мы допустим магнитооптические материалы, но ограничимся ситуацией, когда материал абсорбция незначительна, то ε и μ, вообще говоря, являются 3 × 3 комплексными Эрмитовы матрицы. В этом случае оператор ${ displaystyle { frac {1} { mu}} left ( nabla times nabla times right) - { frac { omega ^ {2}} {c ^ {2}}} varepsilon }$ эрмитов под сопряженный внутренний продукт ${ Displaystyle ( mathbf {F}, mathbf {G}) = int mathbf {F} ^ {*} cdot mathbf {G} , dV}$ , и вариант теоремы взаимности^{[нужна цитата ]} все еще в силе:

{ displaystyle - int _ {V} left [ mathbf {J} _ {1} ^ {*} cdot mathbf {E} _ {2} + mathbf {E} _ {1} ^ {* } cdot mathbf {J} _ {2} right] dV = oint _ {S} left [ mathbf {E} _ {1} ^ {*} times mathbf {H} _ {2} + mathbf {E} _ {2} times mathbf {H} _ {1} ^ {*} right] cdot mathbf {dA}}

где изменения знака происходят из ${ displaystyle 1 / я omega}$ в приведенном выше уравнении, что делает оператор ${ displaystyle { hat {O}}}$ антиэрмитский (без учета поверхностных условий). Для особого случая ${ Displaystyle mathbf {J} _ {1} = mathbf {J} _ {2}}$ , это дает переформулировку сохранение энергии или же Теорема Пойнтинга (поскольку здесь мы приняли материалы без потерь, в отличие от вышеупомянутого): средняя по времени скорость работы, выполняемой током (заданная действительной частью ${ displaystyle - mathbf {J} ^ {*} cdot mathbf {E}}$ ) равняется среднему по времени внешнему потоку мощности (интеграл от Вектор Пойнтинга ). К тому же, однако, поверхностные члены в общем случае не обращаются в нуль, если интегрировать по всему пространству для этого варианта взаимности, поэтому форма Рэлея-Карсона не выполняется без дополнительных предположений.

Тот факт, что магнитооптические материалы нарушают взаимность Рэлея-Карсона, является ключом к таким устройствам, как Изоляторы Фарадея и циркуляторы. Ток на одной стороне изолятора Фарадея создает поле на другой стороне, но нет наоборот.

Обобщение на несимметричные материалы

Для комбинации материалов с потерями и магнитооптических материалов, и в общем случае, когда тензоры ε и μ не являются ни симметричными, ни эрмитовыми матрицами, можно получить обобщенную версию лоренцевой взаимности, рассматривая ${ Displaystyle ( mathbf {J} _ {1}, mathbf {E} _ {1})}$ и ${ displaystyle ( mathbf {J} _ {2}, mathbf {E} _ {2})}$ существовать в разные системы.

В частности, если ${ Displaystyle ( mathbf {J} _ {1}, mathbf {E} _ {1})}$ удовлетворяют уравнениям Максвелла в ω для системы с материалами ${ displaystyle ( varepsilon _ {1}, mu _ {1})}$ , и ${ Displaystyle ( mathbf {J} _ {2}, mathbf {E} _ {2})}$ удовлетворяют уравнениям Максвелла в ω для системы с материалами ${ displaystyle left ( varepsilon _ {1} ^ {T}, mu _ {1} ^ {T} right)}$ , куда Т обозначает транспонировать, то выполняется уравнение лоренцевой взаимности. В дальнейшем это можно обобщить на бианизотропные материалы транспонированием полного тензора восприимчивости 6 × 6.^[2]

Исключения из взаимности

За нелинейные среды, в общем случае теорема взаимности не выполняется. Взаимность также обычно не применяется к изменяющимся во времени («активным») средам; например, когда ε модулируется во времени каким-то внешним процессом. (В обоих этих случаях частота ω обычно не сохраняется.)

Фельд-тайская взаимность

Тесно связанная теорема взаимности была независимо сформулирована Я. А. Фельдом и К. Т. Тай в 1992 году и известна как Фельд-тайская взаимность или Лемма Фельда-Тай. Он связывает два локализованных источника тока с гармониками времени и результирующий магнитные поля:

{ displaystyle int mathbf {J} _ {1} cdot mathbf {H} _ {2} , dV = int mathbf {H} _ {1} cdot mathbf {J} _ {2 } , dV.}

Однако лемма Фельда-Тая верна только при гораздо более строгих условиях, чем лоренцевская взаимность. Обычно для этого требуются инвариантные во времени линейные среды с изотропной однородной средой. сопротивление, т.е. постоянная скаляр Отношение μ / ε, за исключением, возможно, участков из идеально проводящего материала.

Точнее говоря, взаимность Фельда-Тай требует эрмитовой (или, скорее, комплексно-симметричной) симметрии электромагнитных операторов, как указано выше, но также основывается на предположении, что оператор, связывающий ${ displaystyle mathbf {E}}$ и ${ displaystyle i omega mathbf {J}}$ - постоянное скалярное кратное оператора, связывающего ${ displaystyle mathbf {H}}$ и ${ Displaystyle набла раз ( mathbf {J} / varepsilon)}$ , что верно, когда ε является постоянным скалярным кратным μ (два оператора обычно различаются заменой ε и μ). Как и выше, можно также построить более общую формулировку интегралов по конечному объему.

Оптическая взаимность в радиометрических терминах

Помимо квантовых эффектов, классическая теория охватывает электрические и магнитные явления в ближней, средней и дальней зоне с произвольным течением времени. Оптика относится к почти синусоидальным колебательным электромагнитным эффектам в дальней зоне. Вместо парных электрических и магнитных переменных, оптика, включая оптическую взаимность, может быть выражена в поляризация -парные радиометрические переменные, такие как спектральное сияние, традиционно называемый удельная интенсивность.

В 1856 г. Герман фон Гельмгольц написал:

"Луч света, исходящий из точки

А

прибывает в точку

B

после перенесения любого количества преломлений, отражений и т. д. В момент

А

пусть любые две перпендикулярные плоскости

а 1

,

а 2

проводиться по направлению луча; и пусть колебания луча разделятся на две части, по одной в каждой из этих плоскостей. Взять как самолеты

б 1

,

б 2

в луче в точке

B

; тогда может быть продемонстрировано следующее предложение. Если когда количество света

J

поляризованный в плоскости

а 1

доходы от

А

в направлении данного луча, эта часть

K

из них свет поляризован в

б 1

прибывает

B

, то, наоборот, если количество света

J

поляризованный в

б 1

доходы от

B

, такое же количество света

K

поляризованный в

а 1

прибудет в

А

."^[3]

Иногда это называют Гельмгольц взаимность (или возвратный) принцип.^[4]^[5]^[6]^[7]^[8]^[9] Когда волна распространяется через материал, на который действует приложенное магнитное поле, взаимность может быть нарушена, поэтому этот принцип неприменим.^[3] Точно так же, когда на пути луча есть движущиеся объекты, этот принцип может быть совершенно неприменим. Исторически сложилось так, что в 1849 г. Сэр Джордж Стоукс изложил свой принцип оптической реверсии, не обращая внимания на поляризацию.^[10]^[11]^[12]

Подобно принципам термодинамики, этот принцип достаточно надежен, чтобы использовать его для проверки правильности проведения экспериментов, в отличие от обычной ситуации, в которой эксперименты являются проверкой предложенного закона.^[13]^[14]

Самая простая формулировка этого принципа - «если я тебя вижу, то и ты меня видишь». Принцип был использован Густав Кирхгоф в его выводе его закон теплового излучения и по Макс Планк в своем анализе его закон теплового излучения.

Для трассировки лучей глобальное освещение алгоритмы, входящий и исходящий свет можно рассматривать как инверсию друг друга, не влияя на функция двунаправленного распределения отражательной способности (BRDF) исход.^[14]

Взаимность Грина

В то время как приведенные выше теоремы взаимности относились к осциллирующим полям, Взаимность Грина аналогичная теорема для электростатики с фиксированным распределением электрический заряд (Панофски и Филлипс, 1962).

В частности, пусть ${ displaystyle phi _ {1}}$ обозначают электрический потенциал, возникающий из общей плотности заряда ${ displaystyle rho _ {1}}$ . Электрический потенциал удовлетворяет Уравнение Пуассона, ${ displaystyle - nabla ^ {2} phi _ {1} = rho _ {1} / varepsilon _ {0}}$ , куда ${ displaystyle varepsilon _ {0}}$ это диэлектрическая проницаемость вакуума. Аналогично пусть ${ displaystyle phi _ {2}}$ обозначают электрический потенциал, возникающий из общей плотности заряда ${ displaystyle rho _ {2}}$ , удовлетворяющий ${ displaystyle - nabla ^ {2} phi _ {2} = rho _ {2} / varepsilon _ {0}}$ . В обоих случаях мы предполагаем, что распределения заряда локализованы, так что потенциалы могут быть выбраны так, чтобы они уходили в нуль на бесконечности. Затем теорема взаимности Грина утверждает, что для интегралов по всему пространству:

{ displaystyle int rho _ {1} phi _ {2} dV = int rho _ {2} phi _ {1} dV.}

Эта теорема легко доказывается из Вторая личность Грина. В равной степени это утверждение, что ${ displaystyle int phi _ {2} ( nabla ^ {2} phi _ {1}) dV = int phi _ {1} ( nabla ^ {2} phi _ {2}) dV }$ , т.е. что ${ displaystyle nabla ^ {2}}$ является эрмитовым оператором (следует дважды интегрировать по частям).

Цитаты

^ Рамо, Виннери, Ван Дузер: поля и волны в коммуникационной электронике, Wiley International Edition (1965)
^ Джин Ау Конг, Теоремы о бианизотропных средах, Труды IEEE т. 60, нет. 9. С. 1036–1046 (1972).
^ ^а ^б Гельмгольц, Х. фон (1856). Handbuch der Physiologischen Optik, первое издание, Леопольд Восс, Лейпциг, том 1, страница 169, цитируется Планком. Перевод здесь основан на Гатри, Ф., Фил. Mag. Серия 4, 20: 2–21. Вторая печать (1867 г.) в [1]
^ Миннарт, М. (1941). Принцип взаимности в лунной фотометрии, Астрофизический журнал 93: 403-410.[2]
^ Чандрасекхар, С. (1950). Радиационный перенос, Oxford University Press, Oxford, страницы 20-21, 171-177, 182.
^ Тингвальдт, К. (1952). Über das Helmholtzsche Reziprozitätsgesetz in der Optik, Optik, 9(6): 248-253.
^ Леви, Л. (1968). Прикладная оптика: руководство по проектированию оптических систем, 2 тома, Wiley, New York, volume 1, page 84.
^ Кларк, Ф.Дж., Парри, Д.Дж. (1985). Взаимность Гельмгольца: ее актуальность и применение в рефлектометрии. Исследования и технологии освещения, 17(1): 1-11.
^ Борн М., Вольф Э. (1999). Принципы оптики: Электромагнитная теория распространения, интерференции и дифракции света., 7-е издание, Cambridge University Press, ISBN 0-521-64222-1, стр. 423.
^ Стокса, Г. (1849). О совершенной черноте центрального пятна в кольцах Ньютона и о проверке формул Френеля для интенсивностей отраженных и преломленных лучей, Кембриджский и Дублинский математический журнал, новая серия, 4: 1-14.
^ Махан, А. (1943). Математическое доказательство принципа обратимости Стокса, J. Opt. Soc. Являюсь., 33(11): 621-626.
^ Лекнер, Дж. (1987). Теория отражения электромагнитных волн и волн частиц, Мартинус Нийхофф, Дордрехт, ISBN 90-247-3418-5, страницы 33-37.[3]
^ Рэлей, лорд (1900). О законе взаимности при диффузном отражении Фил. Mag. серия 5, 49: 324-325.
^ ^а ^б Хапке, Б. (1993). Теория спектроскопии отражения и эмиттанса, Издательство Кембриджского университета, Кембридж, Великобритания, ISBN 0-521-30789-9, Раздел 10C, страницы 263-264.

[1] Рамо, Виннери, Ван Дузер: поля и волны в коммуникационной электронике, Wiley International Edition (1965)

[2] Джин Ау Конг, Теоремы о бианизотропных средах, Труды IEEE т. 60, нет. 9. С. 1036–1046 (1972).

[Helmholtz_1856-3] а ^б Гельмгольц, Х. фон (1856). Handbuch der Physiologischen Optik, первое издание, Леопольд Восс, Лейпциг, том 1, страница 169, цитируется Планком. Перевод здесь основан на Гатри, Ф., Фил. Mag. Серия 4, 20: 2–21. Вторая печать (1867 г.) в [1]

[4] Миннарт, М. (1941). Принцип взаимности в лунной фотометрии, Астрофизический журнал 93: 403-410.[2]

[5] Чандрасекхар, С. (1950). Радиационный перенос, Oxford University Press, Oxford, страницы 20-21, 171-177, 182.

[6] Тингвальдт, К. (1952). Über das Helmholtzsche Reziprozitätsgesetz in der Optik, Optik, 9(6): 248-253.

[7] Леви, Л. (1968). Прикладная оптика: руководство по проектированию оптических систем, 2 тома, Wiley, New York, volume 1, page 84.

[C&P_1985-8] Кларк, Ф.Дж., Парри, Д.Дж. (1985). Взаимность Гельмгольца: ее актуальность и применение в рефлектометрии. Исследования и технологии освещения, 17(1): 1-11.

[B&W_1999_p_423-9] Борн М., Вольф Э. (1999). Принципы оптики: Электромагнитная теория распространения, интерференции и дифракции света., 7-е издание, Cambridge University Press, ISBN 0-521-64222-1, стр. 423.

[Stokes_1849-10] Стокса, Г. (1849). О совершенной черноте центрального пятна в кольцах Ньютона и о проверке формул Френеля для интенсивностей отраженных и преломленных лучей, Кембриджский и Дублинский математический журнал, новая серия, 4: 1-14.

[11] Махан, А. (1943). Математическое доказательство принципа обратимости Стокса, J. Opt. Soc. Являюсь., 33(11): 621-626.

[12] Лекнер, Дж. (1987). Теория отражения электромагнитных волн и волн частиц, Мартинус Нийхофф, Дордрехт, ISBN 90-247-3418-5, страницы 33-37.[3]

[Rayleigh_1900_reciprocity-13] Рэлей, лорд (1900). О законе взаимности при диффузном отражении Фил. Mag. серия 5, 49: 324-325.

[Hapke_1993_10C-14] а ^б Хапке, Б. (1993). Теория спектроскопии отражения и эмиттанса, Издательство Кембриджского университета, Кембридж, Великобритания, ISBN 0-521-30789-9, Раздел 10C, страницы 263-264.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]