Резонансная ультразвуковая спектроскопия - Resonant ultrasound spectroscopy

Резонансная ультразвуковая спектроскопия (RUS) - лабораторный метод, используемый в геология и материаловедение для измерения основных свойств материалов, включая эластичность. Этот метод основан на том факте, что твердые объекты имеют собственные частоты при котором они вибрируют при механическом возбуждении. Собственная частота зависит от эластичности, размера и формы объекта - RUS использует это свойство твердых тел для определения упругий тензор материала. Большим преимуществом этого метода является то, что весь тензор упругости получается из монокристалл образец за одно быстрое измерение.^[1] На более низких или более общих частотах этот метод известен как акустическая резонансная спектроскопия.

История

Интерес к упругим свойствам проявился у философов 17 века, но реальная теория упругости, показывающая, что упругие постоянные материала могут быть получены путем измерения скорости звука в этом материале, была обобщена только двести лет спустя. В 1964 г. Д. Б. Фрейзер и Р. К. ЛеКро использовали решение, рассчитанное в 1880 г. Г. Ламе и Х. Лэмб для решения прямой задачи, а затем инвертировал ее графически, в том, что может быть первым измерением RUS. Тем не менее, нам пришлось ждать участия геофизического сообщества, заинтересованного в определении внутреннее строение земли, чтобы решить также обратная задача: в 1970 году три геофизика усовершенствовали предыдущий метод и ввели термин резонансная сфера (RST). В восторге от обнадеживающих результатов, достигнутых с лунные образцы, один из них дал одному из своих учеников задачу расширить этот метод для использования с образцами кубической формы. Этот метод, теперь известный как прямоугольный параллелепипед резонанс (RPR), был дополнительно расширен И. Оно в 1976 году. Наконец, в конце 80-х годов А. Мильори и Дж. Мейнард расширили границы этого метода с точки зрения измерения нагрузки и электронных измерений низкого уровня, а также с помощью W . Вишер принес компьютерные алгоритмы к их текущему состоянию, вводя последний термин - резонансная ультразвуковая спектроскопия (RUS).^[2]

Теория

Сначала решите задачу расчета собственные частоты с точки зрения размеров образца, массы и набора гипотетических упругих постоянных (прямая задача). Затем примените алгоритм нелинейной инверсии, чтобы найти упругие постоянные из измеренных собственных частот ( обратная задача ).

Минимизация лагранжиана

Все измерения RUS проводятся на образцах, являющихся свободными вибраторами. Потому что полный аналитическое решение поскольку свободных колебаний твердых тел не существует, нужно полагаться на приближения. Заключительный элемент методы основаны на уравновешивании сил на дифференциале элемент объема и вычисление его ответа. Минимизация энергии методы, с другой стороны, определяют минимальную энергию и, следовательно, равновесную конфигурацию объекта. Среди методов минимизации энергии Минимизация лагранжиана является наиболее используемым в анализе RUS из-за его преимущества в скорости (на порядок меньше, чем у методов конечных элементов).

Процедура начинается с объекта объема V, ограниченного его свободная поверхность С. Лагранжиан дан кем-то

${ Displaystyle L = int _ {V} (KE-PE) dV (1)}$

где KE - кинетическая энергия плотность

${ Displaystyle KE = { гидроразрыва {1} {2}} sum _ {i} rho omega ^ {2} u_ {i} ^ {2} (2)}$

а PE - это потенциальная энергия плотность

${ displaystyle PE = { frac {1} {2}} sum _ {i, j, k, l} c_ {i, j, k, l} { frac {du_ {i}} {dx_ {j }}} { frac {du_ {k}} {dx_ {l}}} (3)}$

рисунок 1: Компьютерные иллюстрации некоторых нормальных форм колебаний для образца прямоугольного параллелепипеда.

Здесь, ${ displaystyle u_ {i}}$ - i-й компонент вектор смещения, ω - угловая частота от гармонической зависимости от времени, ${ displaystyle c_ {я, j, k, l}}$ - компонента тензора упругости, а ρ - плотность. Индексы i, j и т. Д. Относятся к Декартова координата направления.

Чтобы найти минимум лагранжиана, вычислите дифференциал L как функция от u, произвольное изменение u в V и на S. Это дает:

${ displaystyle delta L = int _ {V} { Bigl {} sum _ {i} { Bigl [} rho omega ^ {2} u_ {i} - sum _ {j, k , l} c_ {i, j, k, l} { frac { delta ^ {2} u_ {k}} { delta x_ {j} delta x_ {l}}} { Bigr]} delta u_ {i} { Bigr }} dV- int _ {S} { Bigl {} sum _ {i} { Bigl [} sum _ {j, k, l} { vec {n }} c_ {i, j, k, l} { frac { delta u_ {k}} { delta x_ {l}}} { Bigr]} du_ {i} { Bigr }} dS (4 )}$

Потому что ${ displaystyle u_ {i}}$ произвольно в V и на S, оба члена в квадратных скобках должны быть равны нулю.^[3] Установка первого члена равным нулю дает упругая волна уравнение. Второй член в квадратных скобках представляет собой выражение свободная поверхность граничные условия; ${ displaystyle { vec {n}}}$ - единичный вектор, нормальный к S. свободное тело (как мы предполагаем), последний член в сумме равен нулю, и им можно пренебречь.

Таким образом, набор ${ displaystyle u_ {i}}$ удовлетворяющим ранее упомянутым условиям, являются те перемещения, которые соответствуют нормальный режим частота системы. Это говорит о том, что нормальные колебания объекта (рис.1) можно рассчитать, применив вариационный метод (в нашем случае Вариационный метод Рэлея-Ритца, объясняется в следующем абзаце) для определения частот нормального режима и описания физических колебаний.^[4] По словам Вишера, получение обоих уравнений из основного лагранжиана - это «математическая случайность, которая могла произойти во время промаха. Мерфи бдительность ».^[5]

Вариационный метод Рэлея-Ритца

Для срабатывания этого подхода требуется расширение ${ displaystyle u_ {i}}$ в наборе базисных функций, соответствующих геометрии тела, подставив это выражение в уравнение. (1) и сводя проблему к задаче диагонализации матрицы размера N × N (собственное значение проблема). В стационарные точки лагранжиана находятся путем решения задачи на собственные значения, вытекающей из уравнения. (4), то есть

${ Displaystyle omega ^ {2} Ea = Gamma a (5)}$

где a - приближения к движению, развернутому в полном базисе, E получается из кинетическая энергия член, а Γ происходит от упругая энергия срок. Порядок матриц ~ 10 ^ 3 для хороших приближений.

Уравнение (5) определяет резонанс частоты из модули упругости.^[3]

Обратная задача

В обратная задача выведения упругих постоянных из измеренных спектр из механические резонансы не имеет аналитическое решение, поэтому ее необходимо решить вычислительными методами. Для непрямого метода начальный резонансный частотный спектр, ${ displaystyle f_ {n} ^ {cal}}$ (n = 1,2, ...) рассчитывается с использованием оценочных значений упругих постоянных и известных размеров и плотности образца. Разница между рассчитанным и измеренным спектром резонансных частот, ${ displaystyle f_ {n} ^ {mea}}$ (n = 1,2, ...) количественно определяется добродетель функция

${ displaystyle F = sum _ {n} w_ {n} (f_ {n} ^ {cal} -f_ {n} ^ {mea}) ^ {2} (6)}$

куда ${ displaystyle w_ {n}}$ (n = 1,2, ...) - весовые коэффициенты, отражающие достоверность отдельных измерений резонанса. Затем ищется минимизация функции F путем регрессии значений всех упругих постоянных с использованием компьютерное программное обеспечение разработан для этого процесса.^[6]

Измерения

Рис. 2: Схема установки резонансной ультразвуковой спектроскопии с двумя преобразователями.

Наиболее распространенный метод обнаружения механического резонансного спектра проиллюстрирован на рис. 2, где небольшой параллелепипед -образный образец слегка удерживают между двумя пьезоэлектрические преобразователи. Один датчик используется для генерации упругая волна постоянного амплитуда и различные частота, а другой используется для обнаружения резонанса образца. При качании частотного диапазона последовательность резонанс пики записываются. Положение этих пиков приходится на собственные частоты ${ displaystyle f_ {n}}$ (из которых определяются упругие постоянные) и фактор качества Q (мера того, насколько узок резонанс) предоставляет информацию о рассеяние из упругая энергия. Наличие нескольких преобразователей необходимо для минимизации нагрузки на образец, чтобы иметь наилучшее возможное совпадение между резонансными частотами и естественными частотами. Это приводит к точность измерения порядка 10%, тогда как измерение точность частоты всегда порядка нескольких частей на миллион.

В отличие от обычного ультразвукового измерения, в методе, который резонирует с образцом, существует сильная связь между преобразователь и образец не требуется, потому что образец ведет себя как естественный усилитель мощности.^[2] Скорее, сохраняя как минимум пару между ними, вы получите хорошее приближение к свободная поверхность граничные условия и стремятся также сохранить Q. Для измерений при переменной температуре образец удерживается между концами двух буферных стержней, которые соединяют образец с преобразователями (рис. 3), поскольку преобразователи должны храниться в комнатная температура. С точки зрения давление напротив, существует предел всего в несколько бар, потому что приложение более высоких давлений приводит к гашению резонансов образца.^[1]

Образцы

RUS может быть применен к большому диапазону размеров образцов, от минимального порядка до нескольких сотен микрометры, но для измерения эластичности минералов он используется для образцов размером от 1 мм до 1 см.

Образец, либо полностью плотный поликристаллический совокупность или монокристалл, обрабатывается до правильной формы.^[1] Теоретически можно использовать образец любой формы, но вы получаете значительную экономию времени вычислений, используя резонаторы прямоугольного параллелепипеда (RPR), сферические или цилиндрические (меньшая экономия времени с цилиндрами).

Рис. 3: Образец сборки для измерения переменной температуры RUS.

Поскольку точность измерения строго зависит от точности подготовки образца, необходимо принять ряд мер предосторожности: RPR готовятся с краями, параллельными кристаллографическим направлениям; для цилиндров только ось может быть согласована с образцом симметрия. RUS редко используется для образцов более низкой симметрии, а для изотропный образцы, выравнивание не имеет значения. Для более высоких симметрий удобно иметь края разной длины, чтобы предотвратить избыточный резонанс.

Измерения на монокристаллах требуют ориентации кристаллографических осей образца с краями RPR, чтобы пренебречь вычислением ориентации и иметь дело только с модули упругости.^[4]

В идеале поликристаллические образцы должны быть полностью плотными, без трещин и без преимущественной ориентации зерен. Образцы монокристаллов не должны содержать внутренних дефекты Такие как двойные стены. Поверхности всех образцов должны быть плоско отполированы, а противоположные грани должны быть параллельны. После подготовки плотность должен быть точно измерен, поскольку он масштабирует весь набор модулей упругости.^[1]

Преобразователи

В отличие от всех других ультразвуковых методов, RUS ультразвуковые преобразователи предназначены для обеспечения сухого точечного контакта с образцом. Это связано с требованием свободная поверхность граничные условия для вычисления модули упругости от частот. Для RPR это требует очень легкого касания между углами образца и преобразователями. Углы используются, потому что они обеспечивают упруго слабое сцепление, уменьшая нагрузку, и потому, что они никогда не являются колебательными узловыми точками. Достаточно слабый контакт гарантирует, что преобразованная коррекция не требуется.^[4]

Приложения

Как универсальный инструмент для характеристики упругих свойств твердый материалов, РУС нашла применение в самых разных областях. науки о Земле одно из наиболее важных приложений связано с определением сейсмические скорости в Земля внутри. В недавней работе^[7] например, упругие постоянные водный форстерит были измерены до 14,1 ГПа при температуре окружающей среды. Это исследование показало, что совокупный масса и модули сдвига водного форстерита увеличиваются с давлением с большей скоростью, чем соответствующие безводный фаза. Это означает, что в условиях окружающей среды VP и VS водного форстерита медленнее, чем у безводного; наоборот, с увеличением давления и, следовательно, глубины V_п и V_S водного форстерита больше, чем безводного. Кроме того, гидратация снижает V_п/ V_S соотношение форстерита, максимальное волна сжатия азимутальный анизотропия и максимум поперечная волна расщепление. Эти данные помогают нам ограничить Мантия земли состав и выделить регионы водород обогащение из областей высокой температуры или частичного плавления.

Рекомендации