Теория пересмотра - Revision theory

Теория пересмотра является подполем философская логика. Он состоит из общей теории определения, включая (но не ограничиваясь) циркулярные и взаимозависимые концепции. А круговое определение - это понятие, в котором определяемое понятие встречается в определяющем его утверждении - например, определение G как синего цвета слева от G. формальная семантика для определенных выражений, а формальные системы доказательства изучают логику циклических выражений.

Определения важны в философии и логике. Хотя круговые определения считались логически неверными или непоследовательными, теория пересмотра демонстрирует, что они имеют смысл и могут быть изучены с помощью математический и философская логика. Он использовался для проведения кругового анализа философских и логических концепций.

История

Теория ревизии - это обобщение теорий ревизии правда развитый Анил Гупта, Ганс Херцбергер и Нуэль Белнап.^[1] В теориях пересмотра Гупты и Герцбергера пересмотр должен отражать интуитивные оценки предложений, в которых используется предикат истинности. Некоторые предложения стабильны в своих оценках, например, предложение, говорящее правду,

Истина верна.

Если предположить, что правдивый правдивый правдив, это правда, а если предположить, что это ложь, это ложь. Ни один из статусов не изменится. С другой стороны, некоторые предложения колеблются, например лжец,

Приговор лжеца не соответствует действительности.

Предполагая, что лжец правдив, можно показать, что это ложь, а в предположении, что это ложь, можно показать, что это правда. Эта нестабильность отражается в последовательностях проверок лжеца.

Обобщение круговых определений было разработано Гуптой в сотрудничестве с Белнапом. Их книга, Ревизионная теория истины, представляет собой углубленное развитие теории круговых определений, а также обзор и критическое обсуждение философских взглядов на истину и отношения между истиной и определением.

Философский фон

Философские основы теории пересмотра разработаны Гуптой и Белнапом.^[2]Другие философы, такие как Аладдин Якуб, разработали философские интерпретации теории пересмотра в контексте теорий истины, но не в общем контексте круговых определений.^[3]

Гупта и Белнап утверждают, что круговые концепции значимы и логически приемлемы. Круговые определения формально поддаются обработке, что демонстрирует формальная семантика теории пересмотра. Как выразились Гупта и Белнап, «мораль, которую мы извлекаем из парадоксов, состоит в том, что область значимого шире, чем кажется, что некоторые, казалось бы, бессмысленные концепции на самом деле значимы».^[4]

Значение циклического предиката не является расширением, как это часто присваивается некруглым предикатам. Скорее, его смысл - это правило пересмотра, которое определяет, как сгенерировать новое гипотетическое расширение при исходном. Эти новые расширения, по крайней мере, так же хороши, как и исходные, в том смысле, что при одном расширении новое расширение содержит именно то, что удовлетворяет требованиям Definiens для конкретного циклического предиката. В общем, не существует уникального расширения, на котором будет основана ревизия.^[5]

Теория ревизий предлагает альтернативу стандартная теория определений. Стандартная теория утверждает, что хорошие определения имеют две особенности. Во-первых, определенные символы всегда можно удалить, заменив тем, что их определяет. Во-вторых, определения должны быть консервативными в том смысле, что добавление определения не должно приводить к новым последствиям в исходном языке. Теория пересмотра отвергает первое, но поддерживает второе, что демонстрируется обоими сильными смыслами достоверности, представленными ниже.

Логик Альфред Тарский представили два критерия для оценки определений как анализов концепций: формальная правильность и адекватность материала. Критерий формальной корректности гласит, что в определении дефиниендум не должно происходить в Definiens. Критерий адекватности материала гласит, что определение должно соответствовать анализируемому понятию. Гупта и Белнап рекомендуют придерживаться материального соответствия в случаях, когда эти два критерия противоречат друг другу.^[6] Чтобы определить, обеспечивает ли циклическое определение хороший анализ концепции, необходимо оценить существенную адекватность определения. Некоторые круговые определения будут хорошим анализом, а некоторые - нет. В любом случае формальная корректность, по Тарскому, будет нарушена.

Семантика циклических предикатов

Центральный семантический Идея теории пересмотра состоит в том, что определение, например, быть ${ displaystyle G}$, обеспечивает правило пересмотра это говорит о том, что нового расширение для дефиниендум ${ displaystyle G}$ должно быть, учитывая гипотетическое расширение дефиниендум и информация о неопределенных выражениях. Повторное применение правила пересмотра порождает последовательности гипотез, которые могут быть использованы для определения логики круговых понятий. В работе над теорией пересмотра обычно используется символ ${ displaystyle = _ {df}}$, чтобы указать определение, с левой частью дефиниендум а в правой части Definiens.Пример

Быть ${ displaystyle G}$ определяется как синий и слева от ${ displaystyle G}$

тогда можно записать как

Быть ${ displaystyle G = _ {df}}$ будучи одновременно синим и слева от ${ displaystyle G}$.

Учитывая гипотезу о продолжении ${ displaystyle G}$, можно получить новое расширение для ${ displaystyle G}$ обращаясь к смыслу неопределенных выражений в определении, а именно синий и слева от.

Начнем с основного языка, ${ displaystyle L}$, который интерпретируется через классическое основание модель ${ displaystyle M}$, который представляет собой пару домен ${ displaystyle D}$ и функция интерпретации ${ displaystyle I}$.^[7] Предположим, что множество определений ${ displaystyle { mathcal {D}}}$ следующее,

${ displaystyle { begin {align} G_ {1} { overline {x}} & = _ {Df} A_ {G_ {1}} ({ overline {x}}) & {} , , , vdots G_ {n} { overline {x}} & = _ {Df} A_ {G_ {n}} ({ overline {x}}) & {} , , , vdots end {выровнены}}}$

где каждый ${ displaystyle A_ {G_ {i}}}$ формула, которая может содержать любой из дефиниенда ${ displaystyle G_ {j}}$, включая ${ displaystyle G_ {i}}$ сам. Требуется, чтобы в определениях только отображаемые переменные, ${ displaystyle { overline {x}}}$, свободны в определение, формулы ${ displaystyle A_ {G_ {i}}}$. Язык расширен этими новыми предикатами, ${ Displaystyle G_ {1}, ldots, G_ {n}, ldots}$, чтобы сформировать ${ displaystyle L}$⁺. Когда набор ${ Displaystyle { mathcal {D}}}$ содержит несколько определенных предикатов, обычно используются обозначения, ${ Displaystyle G { overline {x}} = _ {Df} A ({ overline {x}}, G)}$ чтобы подчеркнуть это ${ displaystyle A}$ может содержать ${ displaystyle G}$.

Гипотеза ${ displaystyle h}$ является функцией от дефиниенда из в кортежи из ${ Displaystyle { mathcal {D}}}$. Модель ${ displaystyle M + h}$ точно как модель ${ displaystyle M}$ Кроме этого ${ displaystyle h}$ интерпретирует каждый дефиниендум в соответствии со следующим двояким условием, левая часть которого читается как «${ Displaystyle G_ {я} ({ overline {t}})}$ верно в ${ displaystyle M + h}$.”

${ displaystyle M + h models G_ {i} ({ overline {t}}) { text {iff}} I ({ overline {t}}) in h (G_ {i})}$

Набор ${ displaystyle { mathcal {D}}}$ определений дает правило пересмотра или оператор пересмотра, ${ displaystyle delta _ {M, { mathcal {D}}}}$. Операторы ревизии подчиняются следующей эквивалентности для каждого дефиниендум, ${ displaystyle G}$, в ${ Displaystyle { mathcal {D}}}$.

${ displaystyle M + delta _ {M, { mathcal {D}}} (h) models G ({ overline {t}}) { text {iff}} M + h models A_ {G} ( { overline {t}})}$

Кортеж удовлетворяет дефиниендум ${ displaystyle G}$ после доработки на всякий случай удовлетворяет Definiens за ${ displaystyle G}$, а именно ${ displaystyle A_ {G}}$, до пересмотра. Это означает, что кортежи, удовлетворяющие ${ displaystyle A_ {G}}$ согласно гипотезе будут именно те, которые удовлетворяют ${ displaystyle G}$ согласно пересмотру этой гипотезы.

Классические связки вычисляются обычным рекурсивным способом в ${ displaystyle M + h}$. Только оценка определенного предиката обращается к гипотезам.

Последовательности

Последовательности ревизий последовательности гипотез, удовлетворяющих дополнительным условиям.^[8] Здесь мы сосредоточимся на последовательностях, которые ${ displaystyle omega}$-long, поскольку трансфинитные последовательности ревизий требуют дополнительной спецификации того, что делать на предельных стадиях.

Позволять ${ Displaystyle { mathcal {S}}}$ - последовательность гипотез, и пусть ${ displaystyle { mathcal {S}} _ { alpha}}$ быть ${ displaystyle alpha}$-я гипотеза в ${ Displaystyle { mathcal {S}}}$. An ${ displaystyle omega}$-длинная последовательность ${ Displaystyle { mathcal {S}}}$ гипотез - это последовательность пересмотра на всякий случай для всех ${ displaystyle n}$,

${ displaystyle { mathcal {S}} _ {n + 1} = delta _ {M, { mathcal {D}}} ({ mathcal {S}} _ {n}).}$

Рекурсивно определить итерацию как

• ${ displaystyle delta _ {M, { mathcal {D}}} ^ {0} (h) = h}$ и
• ${ displaystyle delta _ {M, { mathcal {D}}} ^ {n + 1} (h) = delta _ {M, { mathcal {D}}} ^ {n} ( delta _ { M, { mathcal {D}}} (h)).}$

В ${ displaystyle omega}$-долгая последовательность ревизий, начиная с ${ displaystyle h}$ можно записать следующим образом.

${ displaystyle h, delta _ {M, { mathcal {D}}} (h), delta _ {M, { mathcal {D}}} ^ {2} (h), ldots}$

Одно чувство справедливости, ${ displaystyle S_ {0}}$ валидность, можно определить следующим образом. Предложение ${ displaystyle A}$ действует в ${ displaystyle S_ {0}}$ в ${ displaystyle M}$ на ${ displaystyle {D}}$ если существует ${ displaystyle n}$ такой, что для всех ${ displaystyle h}$ и для всех ${ Displaystyle м geq п}$, ${ displaystyle M + delta _ {M, { mathcal {D}}} ^ {m} (h) models A}$. Предложение ${ displaystyle A}$ действует на ${ displaystyle D}$ на всякий случай действует во всех ${ displaystyle M}$.

Срок действия в ${ displaystyle S_ {0}}$ можно изменить с точки зрения стабильности в ${ displaystyle omega}$-длинные последовательности. Предложение ${ displaystyle A}$ стабильно верно в последовательности ревизий на всякий случай, если есть ${ displaystyle { alpha}}$ такой, что для всех ${ displaystyle beta geq alpha}$, ${ displaystyle M + {{ mathcal {S}} _ { beta}} models A}$. Предложение ${ displaystyle A}$ стабильно ложно в последовательности ревизий на тот случай, если есть ${ displaystyle { alpha}}$ такое, что для всех ${ displaystyle beta geq alpha}$, ${ displaystyle M + {{ mathcal {S}} _ { beta}} not models A}$. Таким образом, предложение ${ displaystyle A}$ действует в ${ displaystyle S_ {0}}$ в ${ displaystyle M}$ на всякий случай ${ displaystyle A}$ стабильно верно во всех ${ displaystyle omega}$-долгие ревизионные последовательности на ${ displaystyle M}$.

Примеры

Для первого примера пусть ${ displaystyle { mathcal {D}} _ {1}}$ быть ${ Displaystyle Gx = _ {Df} (x = a & sim Gx) lor (x = b & Gb).}$ Пусть область основной модели ${ displaystyle M}$ быть {а, б} , и разреши ${ Displaystyle I (а) = а}$ и ${ displaystyle I (b) = b}$. Тогда есть четыре возможных гипотезы ${ displaystyle M}$: ${ displaystyle emptyset}$, {а} , {b} , {а, б} . Первые несколько этапов последовательности пересмотра, исходя из этих гипотез, проиллюстрированы следующей таблицей.

Пример редакции для ${ displaystyle { mathcal {D}} _ {1}}$

этап 0	этап 1	2 этап	3 этап
${ displaystyle emptyset}$	{а}	${ displaystyle emptyset}$	{а}
{а}	${ displaystyle emptyset}$	{а}	${ displaystyle emptyset}$
{b}	{а, б}	{b}	{а, б}
{а, б}	{b}	{а, б}	{b}

Как видно из таблицы, ${ displaystyle a}$ входит и выходит из расширения ${ displaystyle G}$. Это никогда не стабилизируется. С другой стороны, ${ displaystyle b}$ либо остается, либо остается. Оно стабильно, но будет ли оно стабильно истинным или стабильно ложным, зависит от исходной гипотезы.

Далее пусть ${ displaystyle { mathcal {D}} _ {2}}$ быть ${ Displaystyle Hx = _ {Df} Hx lor sim Hx.}$ Как показано в следующей таблице, все гипотезы для наземной модели из предыдущего примера пересмотрены до набора {а, б} .

Пример редакции для ${ displaystyle { mathcal {D}} _ {2}}$

этап 0	этап 1	2 этап	3 этап
${ displaystyle emptyset}$	{а, б}	{а, б}	{а, б}
{а}	{а, б}	{а, б}	{а, б}
{b}	{а, б}	{а, б}	{а, б}
{а, б}	{а, б}	{а, б}	{а, б}

Для немного более сложного шаблона ревизии позвольте ${ displaystyle {L}}$ содержать ${ displaystyle <}$ и все цифры, ${ displaystyle { overline {k}}}$, и пусть наземная модель будет ${ Displaystyle mathbb {N}}$, область определения - натуральные числа, ${ displaystyle omega}$, с интерпретацией ${ displaystyle I}$ такой, что ${ displaystyle I ({ overline {k}}) = k}$ для всех цифр и ${ Displaystyle I (<)}$ это обычное упорядочивание натуральных чисел. Позволять ${ displaystyle { mathcal {D}} _ {3}}$ быть ${ displaystyle Jx = _ {Df} forall y (y$ Пусть исходная гипотеза ${ displaystyle h}$ быть ${ displaystyle emptyset}$. В этом случае последовательность расширений выстраивается поэтапно.

${ Displaystyle varnothing, {0 }, {0,1 }, {0,1,2, }, ldots}$

Хотя для каждого ${ displaystyle n}$, ${ displaystyle J { overline {n}}}$ действует в ${ Displaystyle mathbb {N}}$, ${ displaystyle forall xJx}$ не действует в ${ Displaystyle mathbb {N}}$.

Предположим, что исходная гипотеза содержит 0, 2 и все нечетные числа. После одной ревизии расширение ${ displaystyle J}$ будет {0, 1, 2, 3, 4} . Последующие версии будут создавать расширение, как в предыдущем примере. В более общем смысле, если расширение ${ displaystyle J}$ это не все из ${ Displaystyle mathbb {N}}$, то одна ревизия сократит расширение ${ displaystyle J}$ вплоть до возможно пустого начального сегмента натуральных чисел, а последующие исправления будут его восстанавливать.

Система доказательств

Существует Система доказательства естественных удержаний в стиле Fitch, ${ displaystyle C_ {0}}$, для круговых определений.^[9] Система использует индексированные формулы, ${ displaystyle {A} ^ {i}}$, куда ${ displaystyle i}$ может быть любым целым числом. Индексы можно рассматривать как относительное положение в последовательности пересмотра. Посылки и выводы правил для классических связок имеют один и тот же индекс. Например, вот правила введения союзов и отрицаний.

| ${ displaystyle B ^ {i}}$| ${ displaystyle C ^ {i}}$| ${ Displaystyle (B  & C) ^ {i}}$ ${ Displaystyle  &}$В

| |__ ${ displaystyle B ^ {i}}$| | ${ displaystyle  vdots}$| | ${ displaystyle  bot ^ {я}}$| ${ displaystyle  sim B ^ {i}}$ ${ displaystyle  sim}$В

Для каждого определения ${ displaystyle G { overline {x}} = _ {Df} A_ {G} ({ overline {x}})}$, в ${ displaystyle D}$, есть пара правил.

| ${ displaystyle A_ {G} ({ overline {t}}) ^ {i}}$| ${ Displaystyle G ({ overline {t}}) ^ {я + 1}}$ DfIn

| ${ Displaystyle G ({ overline {t}}) ^ {я + 1}}$| ${ displaystyle A_ {G} ({ overline {t}}) ^ {i}}$ DfElim

В этих правилах предполагается, что ${ displaystyle { overline {t}}}$ свободны для ${ displaystyle { overline {x}}}$ в ${ displaystyle A_ {G}}$.

Наконец, для формул ${ displaystyle B}$ из ${ displaystyle {L}}$, есть еще одно правило - правило сдвига индекса.

| ${ displaystyle B ^ {i}}$| ${ displaystyle B ^ {j}}$ ЯВЛЯЕТСЯ

В этом правиле ${ displaystyle i}$ и ${ displaystyle j}$ могут быть любыми различными индексами. Это правило отражает тот факт, что формулы из основного языка не меняют своей интерпретации в процессе пересмотра.

Система ${ displaystyle C_ {0}}$ является звук и полный относительно ${ displaystyle S_ {0}}$ действительность, то есть предложение действительно в ${ displaystyle S_ {0}}$ на всякий случай можно получить в ${ displaystyle C_ {0}}$.

Недавно Риккардо Бруни разработал Система аксиом гильберта и последовательная система которые являются одновременно надежными и полными в отношении ${ displaystyle S_ {0}}$.^[10]

Трансфинитная ревизия

Для некоторых определений ${ displaystyle S_ {0}}$ обоснованность недостаточно сильна.^[11] Например, в определении ${ displaystyle { mathcal {D}} _ {3}}$, даже если каждое число в конечном итоге стабильно находится в расширении ${ displaystyle J}$, универсальное количественное предложение ${ displaystyle forall xJx}$ не действует. Причина в том, что для того, чтобы любое данное предложение было действительным, оно должно стабилизироваться до истинного после конечного числа исправлений. С другой стороны, ${ displaystyle forall xJx}$ требует бесконечного количества пересмотров, если исходная гипотеза уже не назначает все натуральные числа как расширение ${ displaystyle J}$.

Природные усиления ${ displaystyle S_ {0}}$ валидность и альтернативы ей используют бесконечно длинные последовательности ревизий. Позволять ${ displaystyle On}$ быть классом всех порядковые. Определения будут сосредоточены на последовательностях гипотез, которые ${ displaystyle On}$-длинный.

Предполагать ${ Displaystyle { mathcal {S}}}$ является ${ displaystyle On}$-долгая последовательность гипотез. Кортеж ${ displaystyle { overline {d}}}$ стабильно находится в расширении определенного предиката ${ displaystyle G}$ в предельный порядковый номер ${ displaystyle beta}$ в последовательности ${ Displaystyle { mathcal {S}}}$ на всякий случай есть ${ Displaystyle альфа leq beta}$ такой, что для всех ${ displaystyle gamma}$ с ${ Displaystyle альфа Leq гамма < бета}$, ${ displaystyle { overline {d}} in { mathcal {S}} _ { gamma}}$. Аналогично кортеж ${ displaystyle { overline {d}}}$ стабильно вне расширения ${ displaystyle G}$ по предельному порядковому номеру ${ displaystyle beta}$ на всякий случай есть сцена ${ displaystyle alpha}$ такое, что для всех ${ displaystyle gamma}$ с ${ Displaystyle альфа Leq гамма < бета}$, ${ displaystyle { overline {d}} not in { mathcal {S}} _ { gamma}}$. Иначе ${ displaystyle { overline {d}}}$ нестабилен в ${ displaystyle beta}$ в ${ Displaystyle { mathcal {S}}}$. Неформально кортеж стабильно находится в расширении на пределе, на всякий случай, если есть этап, после которого кортеж находится в расширении до предела, а кортеж стабильно отсутствует на случай, если есть этап, после которого он остается до предельной стадии.

Гипотеза ${ displaystyle h}$ совпадает с ${ Displaystyle { mathcal {S}}}$ по предельному порядковому номеру ${ displaystyle beta}$ iff для всех кортежей ${ displaystyle { overline {d}}}$, если ${ displaystyle { overline {d}}}$ стабильно в [стабильно вне] расширении ${ displaystyle G}$ в ${ displaystyle beta}$ в ${ Displaystyle { mathcal {S}}}$, тогда ${ displaystyle { overline {d}} in [ not in] h (G)}$.

An ${ displaystyle On}$-длинная последовательность ${ Displaystyle { mathcal {S}}}$ гипотез является последовательностью пересмотра тогда и только тогда, когда для всех ${ displaystyle alpha}$,

• если ${ Displaystyle альфа = бета +1}$, тогда ${ displaystyle { mathcal {S}} _ { alpha} = delta _ {M, { mathcal {D}}} ({ mathcal {S}} _ { beta})}$, и
• если ${ displaystyle alpha}$ это предел, то ${ displaystyle { mathcal {S}} _ { alpha}}$ совпадает с ${ Displaystyle { mathcal {S}}}$ в ${ displaystyle alpha}$.

Как и в случае с ${ displaystyle omega}$ последовательности, последующие этапы последовательности генерируются оператором ревизии. Однако на предельных стадиях единственным ограничением является то, что предельная гипотеза согласуется с тем, что было раньше. Неустойчивые элементы устанавливаются в соответствии с правилом ограничения, детали которого остаются открытыми в соответствии с набором определений.

Правила ограничения можно разделить на два класса: постоянные и непостоянные, в зависимости от того, выполняют ли они разные действия на разных этапах ограничения. Правило постоянного предела делает то же самое с нестабильными элементами на каждом пределе. Одно конкретное правило постоянного предела, правило Герцбергера, исключает все нестабильные элементы из расширений. Согласно другому постоянному правилу, правилу Гупта, нестабильные элементы включаются в расширения на случай, если они были в ${ displaystyle { mathcal {S}} _ {0}}$. Правила непостоянных пределов изменяют обработку нестабильных элементов на предельных значениях.

Два смысла действительности можно определить с помощью ${ displaystyle On}$-длинные последовательности. Первый, ${ Displaystyle S ^ {*}}$ валидность определяется с точки зрения стабильности. Предложение ${ displaystyle A}$ действует в ${ Displaystyle S ^ {*}}$ в ${ displaystyle M}$ на ${ Displaystyle { mathcal {D}}}$ если и только для всех ${ displaystyle On}$-долгие ревизионные последовательности ${ displaystyle {S}}$, есть сцена ${ displaystyle alpha}$ такой, что ${ displaystyle A}$ стабильно верно в ${ Displaystyle { mathcal {S}}}$ после стадии ${ displaystyle alpha}$. Предложение ${ displaystyle A}$ является ${ Displaystyle S ^ {*}}$ действительно на ${ Displaystyle { mathcal {D}}}$ на всякий случай для всех классических наземных моделей ${ displaystyle M}$, ${ displaystyle A}$ является ${ Displaystyle S ^ {*}}$ действует в ${ displaystyle M}$ на ${ Displaystyle { mathcal {D}}}$.

Второе чувство справедливости, ${ Displaystyle S ^ { #}}$ действительность, использование почти стабильность а не стабильность. Предложение ${ displaystyle {A}}$ почти стабильно верно в последовательности ${ Displaystyle { mathcal {S}}}$ если есть ${ displaystyle alpha}$ такое, что для всех ${ displaystyle beta geq alpha}$, есть натуральное число ${ displaystyle n}$ такое, что для всех ${ Displaystyle м geq п}$, ${ displaystyle M + delta _ {M, { mathcal {D}}} ^ {m} ({ mathcal {S}} _ { beta}) models A.}$ Предложение ${ displaystyle {A}}$ почти стабильно ложно в последовательности ${ Displaystyle { mathcal {S}}}$ если есть ${ displaystyle alpha}$ такое, что для всех ${ displaystyle beta geq alpha}$, есть натуральное число ${ displaystyle n}$ такое, что для всех ${ Displaystyle м geq п}$, ${ displaystyle M + delta _ {M, { mathcal {D}}} ^ {m} ({ mathcal {S}} _ { beta}) not models A.}$ Почти стабильное предложение может иметь конечные длительные периоды нестабильности после пределов, после которых оно стабилизируется до следующего предела.

Предложение ${ displaystyle A}$ действует в ${ Displaystyle S ^ { #}}$ в ${ displaystyle M}$ по iff для всех ${ displaystyle On}$-долгие ревизионные последовательности ${ displaystyle {S}}$, есть сцена ${ displaystyle alpha}$ такой, что ${ displaystyle A}$ почти стабильно верно в ${ Displaystyle { mathcal {S}}}$ после стадии ${ displaystyle alpha}$. Предложение ${ displaystyle A}$ действует в ${ Displaystyle S ^ { #}}$ на всякий случай действителен в ${ Displaystyle S ^ { #}}$ во всех наземных моделях.

Если предложение действительно в ${ Displaystyle S ^ {*}}$, то оно действительно в ${ Displaystyle S ^ { #}}$, но не наоборот. Пример использования ${ displaystyle { mathcal {D}} _ {3}}$ показывает это для достоверности в модели. Приговор ${ displaystyle forall xJx}$ не действует в ${ Displaystyle mathbb {N}}$ в ${ displaystyle S_ {0}}$, но это действительно в ${ Displaystyle S ^ { #}}$.

Привлечение ${ Displaystyle S ^ { #}}$ справедливость в том, что он генерирует более простую логику, чем ${ Displaystyle S ^ {*}}$. Система доказательств ${ displaystyle C_ {0}}$ подходит для ${ Displaystyle S ^ { #}}$, но в целом он не полон. В свете полноты ${ displaystyle C_ {0}}$, если предложение действительно в ${ displaystyle S_ {0}}$, то оно действительно в ${ Displaystyle S ^ { #}}$, но обратное, как правило, неверно. Срок действия в ${ displaystyle S_ {0}}$ И в ${ Displaystyle S ^ {*}}$ вообще несравнимы. Как следствие, ${ displaystyle C_ {0}}$ не подходит для ${ Displaystyle S ^ {*}}$.

Конечные определения

Пока ${ Displaystyle S ^ { #}}$ опережает действительность ${ displaystyle S_ {0}}$ справедливость, в общем, есть частный случай, в котором два совпадают, конечные определения. Грубо говоря, определение является конечным, если все последовательности исправлений перестают генерировать новые гипотезы после конечного числа проверок. Точнее, определим гипотезу ${ displaystyle h}$ в качестве рефлексивный на всякий случай есть ${ displaystyle n> 0}$ такой, что ${ displaystyle h = delta _ {M, { mathcal {D}}} ^ {n} (h)}$. Определение конечно тогда и только тогда, когда для всех моделей ${ displaystyle M}$, для всех гипотез ${ displaystyle h}$, есть натуральное число ${ displaystyle n}$, так что ${ displaystyle delta _ {M, { mathcal {D}}} ^ {n} (h)}$ рефлексивно. Гупта показал, что если ${ Displaystyle { mathcal {D}}}$ конечно, то ${ Displaystyle S ^ { #}}$ обоснованность и ${ displaystyle S_ {0}}$ Срок действия совпадают.

Не существует известной синтаксической характеристики множества конечных определений, и конечные определения не закрываются стандартными логическими операциями, такими как конъюнкция и дизъюнкция. Марикармен Мартинес определил некоторые синтаксические особенности, при которых набор конечных определений замкнут.^[12] Она показала, что если ${ displaystyle {L}}$ содержит только унарные предикаты, кроме тождества, не содержит функциональных символов, а дефиниенда из ${ Displaystyle { mathcal {D}}}$ все унарны, то ${ Displaystyle { mathcal {D}}}$ конечно.

Хотя многие стандартные логические операции не сохраняют конечность, она сохраняется с помощью операции самосоставление.^[13] Для определения ${ Displaystyle G { overline {x}} = _ {Df} A ({ overline {x}}, G)}$, рекурсивно определим самокомпозицию следующим образом.

• ${ displaystyle A ^ {0} ({ overline {x}}, G) = G { overline {x}}}$ и
• ${ displaystyle A ^ {n + 1} ({ overline {x}}, G) = A ^ {n} ({ overline {x}}, G) [A ({ overline {t}}, G ) / G { overline {t}}]}$.

Последний говорит, что ${ Displaystyle А ^ {п + 1}}$ получается заменой всех экземпляров ${ displaystyle G { overline {t}}}$ в ${ Displaystyle А ^ {п}}$, с ${ Displaystyle А ({ overline {t}}, G)}$. Если ${ Displaystyle { mathcal {D}}}$ конечное определение и ${ Displaystyle { mathcal {D}} ^ {п}}$ является результатом замены каждого Definiens ${ displaystyle B}$ в ${ Displaystyle { mathcal {D}}}$ с ${ displaystyle B ^ {n}}$, тогда ${ Displaystyle { mathcal {D}} ^ {п}}$ также является конечным определением.

Примечательные формальные особенности

Теория пересмотра отличает материальную эквивалентность от эквивалентности по определениям.^[14] В наборах определений используется последнее. В общем, эквивалентность определений - это не то же самое, что эквивалентность материалов. Учитывая определение

${ Displaystyle Gx = _ {Df} А (х, G),}$

его материальный аналог,

${ Displaystyle forall х (Gx эквив А (х, G)),}$

в общем случае не будет действительным.^[15]Определение

${ Displaystyle Gx = _ {Df} sim Gx}$

иллюстрирует недействительность. Его Definiens и дефиниендум не будет иметь такое же значение истинности после любого пересмотра, поэтому двусмысленность материала не будет действительной. Для некоторых определений действительны существенные аналоги определяющих статей. Например, если определение of содержат только символы из основного языка, тогда материальные аналоги будут действительны.

Приведенные выше определения относятся к классической схеме. Определения можно настроить для работы с любой семантической схемой.^[16] Сюда входят трехзначные схемы, такие как Сильная Клини, с исключение отрицание, чья таблица истинности следующая.

Отрицание исключения

${ Displaystyle lnot}$
${ displaystyle { textbf {t}}}$	${ displaystyle { textbf {f}}}$
${ displaystyle { textbf {n}}}$	${ displaystyle { textbf {f}}}$
${ displaystyle { textbf {f}}}$	${ displaystyle { textbf {t}}}$

Примечательно, что многие подходы к истине, такие как Саул Крипке Теория Сильного Клини не может использоваться в языке с отрицанием исключения.

Теория пересмотра, хотя в некоторых отношениях похожа на теорию индуктивных определений, отличается в нескольких отношениях.^[17] Самое главное, доработка не должна быть монотонной, то есть расширения на более поздних стадиях не обязательно должны быть надмножествами расширений на более ранних стадиях, как показано в первом примере выше. Соответственно, теория пересмотра не постулирует никаких ограничений на синтаксическую форму определений. Индуктивные определения требуют определение быть положительный, в том смысле, что дефиниенда может появиться только в определение при четном числе отрицаний. (Это предполагает, что отрицание, конъюнкция, дизъюнкция и универсальный квантор являются примитивными логическими связками, а остальные классические связки являются просто определенными символами.) Определение

${ displaystyle Gx = _ {Df} (x { text {четно}} & Gx) vee (x { text {нечетно}} & sim Gx)}$

приемлемо в теории пересмотра, но не в теории индуктивных определений.

Индуктивные определения семантически интерпретируются через фиксированные точки, гипотезы. ${ displaystyle h}$ для которого ${ displaystyle h = delta _ {M, { mathcal {D}}} (h)}$. Как правило, последовательности ревизий не достигают фиксированных точек. Если определение из ${ Displaystyle { mathcal {D}}}$ все положительны, то последовательности пересмотра достигнут фиксированных точек, если исходная гипотеза имеет свойство, которое ${ Displaystyle ч (G) substeq delta _ {M, { mathcal {D}}} (ч) (G)}$, для каждого ${ displaystyle G}$. В частности, при таком ${ Displaystyle { mathcal {D}}}$, если исходная гипотеза присваивает пустое расширение всем дефиниенда, то последовательность ревизий достигнет минимальной фиксированной точки.

Наборы допустимых предложений по некоторым определениям могут быть очень сложными, в частности ${ displaystyle Pi _ {2} ^ {1}}$. Это показали Филип Кремер и Альдо Антонелли.^[18] Следовательно, не существует системы доказательств для ${ Displaystyle S ^ { #}}$ срок действия.

Правда

Наиболее известное применение теории пересмотра - это теория истины, разработанная, например, в Гупте и Белнапе (1993). Круговое определение истины - это совокупность всех бикондиционалов Тарского, «${ displaystyle A}$'Верно, если и только если ${ displaystyle A}$, где ‘iff’ понимается как эквивалентность определений, ${ displaystyle = _ {Df}}$, а не материальный эквивалент. Каждый двояковыпук Тарского дает частичное определение понятия истины. Концепция истины является круговой, потому что некоторые двояковыпуклые термины Тарского используют в своем Definiens. Например, предположим, что ${ displaystyle b}$ это название приговора, говорящего правду, ${ displaystyle b}$ правда. Это предложение имеет двояковыпуклое условие Тарского: ${ displaystyle b}$ верно, если и только если ${ displaystyle b}$ правда. Предикат истинности справа не может быть устранен. Этот пример зависит от того, кто говорит правду. Этот и другие примеры показывают, что истина, определяемая двусмысленностями Тарского, является круговой концепцией.

Некоторые языки, такие как язык арифметики, будут иметь порочные ссылки на себя. Лжец и другие патологические предложения гарантированно написаны на языке правды. Можно определить другие языки с истиной, в которых отсутствует порочная самооценка.^[19] На таком языке любая последовательность изменений ${ displaystyle {S}}$ истина неизбежно достигнет стадии, когда ${ displaystyle {S} _ { alpha} = {S} _ { alpha +1}}$, поэтому предикат истинности ведет себя как некруговой предикат.^[20] В результате в таких языках истина имеет стабильное расширение, которое определено для всех предложений языка. Это контрастирует со многими другими теориями истины, например, минимальным Strong Kleene и минимальным сверхоценочный теории. Расширение и антирасширение предиката истины в этих теориях не исчерпывают набор предложений языка.

Разница между ${ Displaystyle S ^ { #}}$ и ${ Displaystyle S ^ {*}}$ важно при рассмотрении пересмотренных теорий истины. Частично разница проявляется в семантических законах, которые являются следующими эквивалентностями, где Т предикат истины.^[21]

• ${ Displaystyle forall А (Т ( ulcorner сим А urcorner) эквив сим Т ( ulcorner A urcorner))}$
• ${ Displaystyle forall A, B (T ( ulcorner {A & B} urcorner) Equiv T ( ulcorner {A} urcorner) & T ( ulcorner {B} urcorner))}$
• ${ Displaystyle forall A, B (T ( ulcorner {A lor B} urcorner) эквив T ( ulcorner {A} urcorner) lor T ( ulcorner {B} urcorner))}$
• ${ Displaystyle forall A (T ( ulcorner forall xA urcorner) Equiv forall tT ( ulcorner A [x / t] urcorner))}$

Все они действительны в ${ Displaystyle S ^ { #}}$, хотя последний действителен только тогда, когда домен является счетным и каждый элемент имеет имя. В ${ Displaystyle S ^ {*}}$однако ни один из них не действителен. Можно понять, почему закон отрицания не работает, если рассмотреть лжеца, ${ displaystyle a = ulcorner { sim Ta} urcorner}$. Лжец и все конечные итерации предиката истинности для него нестабильны, поэтому можно установить ${ displaystyle T ulcorner {Ta} urcorner}$ и ${ displaystyle T ulcorner { sim Ta} urcorner}$ иметь одинаковое значение истинности в некоторых пределах, что приводит к ${ displaystyle sim T ulcorner {Ta} urcorner}$ и ${ displaystyle T ulcorner { sim Ta} urcorner}$ имеющие разные значения истинности. Это исправляется после доработки, но закон отрицания не будет стабильно верным. Следствием теоремы Ванна МакГи является то, что пересмотренная теория истины в ${ Displaystyle S ^ { #}}$ является ${ displaystyle omega}$непоследовательный.^[22] В ${ Displaystyle S ^ {*}}$ теория не ${ displaystyle omega}$непоследовательный.

Существует аксиоматическая теория истины, связанная с ${ Displaystyle S ^ { #}}$ теория на языке арифметики с истиной. Теория Фридмана-Шеарда (ФС) получается добавлением к обычным аксиомам Арифметика Пеано

• аксиома ${ Displaystyle forall s, t (T ( ulcorner {s = t} urcorner) Equiv s = t)}$,
• семантические законы,
• в аксиомы индукции с предикатом истины, и
• два правила
  • если ${ displaystyle vdash A}$, тогда ${ Displaystyle vdash T ( ulcorner A urcorner)}$, и
  • если ${ Displaystyle vdash T ( ulcorner A urcorner)}$, тогда ${ displaystyle vdash A}$.^[23]

По теореме МакГи эта теория ${ displaystyle omega}$непоследовательный. Тем не менее, FS не содержит в качестве теорем ложных чисто арифметических предложений.^[24] Теорема FS имеет глобальное отражение для арифметики Пеано,

${ Displaystyle forall x (( mathrm {Sent} (x) & mathrm {Bew} _ {PA} (x)) supset Tx),}$

куда ${ displaystyle mathrm {Осторожно} _ {PA}}$ является предикатом доказуемости арифметики Пеано и ${ displaystyle mathrm {отправлено}}$ является предикатом истинным для всех и только предложений языка с истиной. Следовательно, это теорема FS, согласно которой арифметика Пеано непротиворечива.

FS - это подтеория теории истины для арифметики, набор предложений, действительных в ${ Displaystyle S ^ { #}}$. Стандартный способ показать, что FS согласован, - это использовать ${ displaystyle omega}$-долгая последовательность ревизий.^[25] Была проделана некоторая работа по аксиоматизации ${ Displaystyle S ^ {*}}$ теория истины для арифметики.^[26]

Другие приложения

Теория пересмотра использовалась для изучения замкнутых концепций отдельно от истины и для обеспечения альтернативного анализа концепций, таких как рациональность.

А необоснованная теория множеств это теория множеств который постулирует существование необоснованного множества, которое является множеством ${ displaystyle x}$ который имеет бесконечная нисходящая цепочка по отношению принадлежности,

${ displaystyle cdots x_ {n + 1} in x_ {n} in cdots in x_ {1} in x.}$

Антонелли использовал теорию пересмотра, чтобы построить модели недостаточно обоснованной теории множеств.^[27] Одним из примеров является теория множеств, которая постулирует множество, единственным членом которого является он сам, ${ Displaystyle х = {х }}$.

Бесконечное время Машины Тьюринга модели вычислений, которые позволяют вычислениям продолжаться бесконечно много шагов. Они обобщают стандартные машины Тьюринга, используемые в теории вычислимости. Бенедикт Лёве показал, что существуют тесные связи между вычислениями машин Тьюринга с бесконечным временем и процессами пересмотра.^[28]

Рациональный выбор в теория игры был проанализирован как круговое понятие. Андре Шапюи утверждал, что рассуждающие агенты, использующие рациональный выбор, демонстрируют взаимозависимость, характерную для круговых концепций.^[29]

Теорию пересмотра можно адаптировать для моделирования других видов явлений. Например, неопределенность был проанализирован в терминах теории пересмотра Конрадом Асмусом.^[30] Чтобы смоделировать расплывчатый предикат этого подхода, нужно указать пары похожих объектов, и какие объекты не являются пограничными и поэтому не подлежат изменению. Пограничные объекты меняют свой статус по отношению к предикату в зависимости от статуса объектов, на которые они похожи.

Теория пересмотра использовалась Гуптой для объяснения логического вклада опыта в убеждения человека.^[31] Согласно этой точке зрения, вклад опыта представлен правилом пересмотра, которое принимает в качестве входных данных точку зрения агента, концепции и убеждения и выдает в качестве выходных перцептивных суждений. Эти суждения могут использоваться для обновления точки зрения агента.

Смотрите также

• Анил Гупта
• Круговое определение
• Определение
• Парадокс
• Философская логика
• Правда

Рекомендации

внешняя ссылка

• Кремер, П. (2014) Ревизионная теория истины. В «Залте» Е.Н., редактор, Стэнфордская энциклопедия философии. Выпуск лето 2014 года.