Трехзначная логика - Three-valued logic

В логика, а трехзначная логика (также тройная логика, трехвалентный, тройной, или же трилеан,^[1] иногда сокращается 3VL) является одним из нескольких многозначная логика системы, в которых есть три ценности истины указание истинный, ложный и какое-то неопределенное третье значение. Это контрастирует с более известными двухвалентный логики (например, классические предложения или Логическая логика ), которые предусматривают только истинный и ложный.

Эмиль Леон Пост часто приписывают впервые введение дополнительных логических степеней истинности в его теории элементарных предложений 1921 года.. Тем не менее, более десяти лет назад Чарльз Сандерс Пирс уже определил многозначная логическая система. Просто он этого не опубликовал. Фактически, он даже не пронумеровал три страницы заметок, где определял свои трехзначные операторы.^[2] Пирс категорически отверг идею, что все предложения должны быть либо истинными, либо ложными; он пишет, что граничные предложения находятся «на границе между Р и не Р».^[3] Однако как бы он ни был уверен в том, что «Триадическая логика универсально верна», он также записал: «Все это очень близко к чепухе». Возможно, неудивительно, что только в 1966 году, когда Макс Фиш и Этвелл Тюркетт начали публиковать то, что они заново открыли в его неопубликованных рукописях, триадные эксперименты Пирса стали широко известны.^[4]

Концептуальная форма и основные идеи изначально были созданы Ян Лукасевич и Кларенс Ирвинг Льюис. Затем они были переформулированы Григоре Константин Мойсиль в аксиоматической алгебраической форме, а также распространяется на п-значная логика в 1945 году.

Представление ценностей

Как и в случае с бивалентной логикой, значения истинности в троичной логике могут быть представлены численно с использованием различных представлений троичная система счисления. Вот несколько наиболее распространенных примеров:

в сбалансированный тройной, каждая цифра имеет одно из трех значений: -1, 0 или +1; эти значения также могут быть упрощены до -, 0, + соответственно;^[5]
в избыточное двоичное представление, каждая цифра может иметь значение -1, 0, 0/1 (значение 0/1 имеет два разных представления);
в троичная система счисления, каждый цифра это трость (трехзначная цифра), имеющая значение: 0, 1 или 2;
в косая двоичная система счисления, только самая старшая ненулевая цифра имеет значение 2, а остальные цифры имеют значение 0 или 1;
1 для истинный, 2 для ложный, и 0 для неизвестный, непознаваемый/неразрешимый, не имеющий отношения, или же обе;^[6]
0 для ложный, 1 для истинныйи третий нецелочисленный символ «может быть», например?, #, ½,^[7] или ху.

Внутри троичный компьютер, троичные значения представлены троичные сигналы.

Эта статья в основном иллюстрирует систему троичных логика высказываний используя значения истинности {false, unknown, true}, и расширяет обычные логические связки к трехвалентному контексту. Троичный логика предикатов тоже существуют;^{[нужна цитата ]} у них могут быть показания квантификатор отличается от классической (бинарной) логики предикатов и может также включать альтернативные кванторы.

Логика

Где Логическая логика имеет 2² = 4 унарные операторы, добавление третьего значения в тернарной логике дает всего 3³ = 27 различных операторов для одного входного значения. Точно так же, где логика имеет 2^2×2 = 16 различных бинарных операторов (операторы с 2 входами), троичная логика имеет 3^3×3 = 19 683 таких оператора. Где мы можем легко назвать значительную часть булевых операторов (нет, и, или же, nand, ни, Эксклюзивный или, эквивалентность, значение ), неразумно пытаться назвать все возможные тернарные операторы, кроме небольшой части.^[8]

Клини и Прист логики

Ниже представлен набор таблицы истинности показывая логические операции для Стивен Коул Клини "строгая логика неопределенности" и Грэм Прист «Логика парадокса».

(F - ложь; U - неизвестно; T - истина)

НЕ (А)
А	¬A
F	Т
U	U
Т	F

И (А, В)
А ∧ Б		B
А ∧ Б		F	U	Т
А	F	F	F	F
	U	F	U	U
	Т	F	U	Т

ИЛИ (A, B)
А ∨ Б		B
А ∨ Б		F	U	Т
А	F	F	U	Т
	U	U	U	Т
	Т	Т	Т	Т

(-1, ложь; 0, неизвестно; +1, истина)

ОТРИЦАТЕЛЬНЫЙ (A)
А	¬A
−1	+1
0	0
+1	−1

МИН (A, B)
А ∧ Б		B
А ∧ Б		−1	0	+1
А	−1	−1	−1	−1
	0	−1	0	0
	+1	−1	0	+1

МАКС (А, В)
А ∨ Б		B
А ∨ Б		−1	0	+1
А	−1	−1	0	+1
	0	0	0	+1
	+1	+1	+1	+1

В этих таблицах истинности неизвестный состояние не может считаться ни истинным, ни ложным в логике Клини, или одновременно истинным и ложным в логике Жреца. Разница заключается в определении тавтологий. Там, где единственным обозначенным значением истинности логики Клини является Т, обозначенными значениями истинности логики Жреца являются как Т, так и U. В логике Клини знание того, неизвестный государственная тайна представляет истинный или же ложный в любой момент времени нет в наличии. Однако некоторые логические операции могут дать однозначный результат, даже если в них участвует хотя бы один неизвестный операнд. Например, потому что истинный ИЛИ ЖЕ истинный равно истинный, и истинный ИЛИ ЖЕ ложный также равно истинный, можно сделать вывод, что истинный ИЛИ ЖЕ неизвестный равно истинный, также. В этом примере, поскольку любое двухвалентное состояние может лежать в основе неизвестный состояние, но любое состояние также дает тот же результат, окончательный истинный результаты во всех трех случаях.

Если числовые значения, например сбалансированный тройной значения, присваиваются ложный, неизвестный и истинный такой, что ложный меньше чем неизвестный и неизвестный меньше чем истинный, то A AND B AND C ... = MIN (A, B, C ...) и A OR B OR C ... = MAX (A, B, C ...).

Существенное значение для логики Клини можно определить как:

${ Displaystyle A rightarrow B { overset { underset { mathrm {def}} {}} {=}} { mbox {OR}} ( { mbox {NOT}} (A), B)}$ , и его таблица истинности

IMP_K(A, B), ИЛИ (¬A, B)
А → Б		B
А → Б		F	U	Т
А	F	Т	Т	Т
	U	U	U	Т
	Т	F	U	Т

IMP_K(A, B), МАКС (-A, B)
А → Б		B
А → Б		−1	0	+1
А	−1	+1	+1	+1
	0	0	0	+1
	+1	−1	0	+1

которая отличается от логики Лукасевича (описанной ниже).

Логика Клини не имеет тавтологий (действительных формул), потому что всякий раз, когда всем атомарным компонентам правильно сформированной формулы присваивается значение Неизвестно, сама формула также должна иметь значение Неизвестно. (И единственный назначенный значение истинности для логики Клини - Истина.) Однако отсутствие действительных формул не означает, что в ней отсутствуют действительные аргументы и / или правила вывода. Аргумент семантически действителен в логике Клини, если всякий раз (для любой интерпретации / модели) все его посылки истинны, вывод также должен быть истинным. (Обратите внимание, что Логика парадокса (LP) имеет те же таблицы истинности, что и логика Клини, но имеет две назначенный значения истинности вместо единицы; это: Истина и Оба (аналог Неизвестного), так что LP действительно имеет тавтологии, но имеет меньше действительных правил вывода.)^[9]

Логика лукасевича

Лукасевич №3 имеет те же таблицы для И, ИЛИ и НЕ, что и приведенная выше логика Клини, но отличается в своем определении импликации тем, что «неизвестное подразумевает неизвестное» - это истинный. Этот раздел следует за презентацией главы Малиновского Справочник по истории логики, т. 8.^[10]

Существенное значение для логической таблицы истинности Лукасевича:

IMP_Ł(А, Б)
А → Б		B
А → Б		F	U	Т
А	F	Т	Т	Т
	U	U	Т	Т
	Т	F	U	Т

IMP_Ł(A, B), МИН (1, 1 − A + B)
А → Б		B
А → Б		−1	0	+1
А	−1	+1	+1	+1
	0	0	+1	+1
	+1	−1	0	+1

Фактически, используя импликацию и отрицание Лукасевича, другие обычные связки могут быть получены как:

$А \lor B = (А \to B) \to B$
$А \land B = \neg(\neg А \lor \neg B)$
$А \Leftrightarrow B = (А \to B) \land (B \to А)$

Также возможно вывести несколько других полезных унарных операторов (впервые выведенных Тарским в 1921 году):

$M А = \neg А \to А$
$L А = \neg M \neg А$
$я А = M А \land \neg L А$

У них есть следующие таблицы истинности:

$А$	$M А$
F	F
U	Т
Т	Т

$А$	$L А$
F	F
U	F
Т	Т

$А$	$я А$
F	F
U	Т
Т	F

M читается как «это не неправда, что ...» или в (неудачной) попытке Тарского – Лукасевича аксиоматизировать модальная логика используя трехзначную логику, "возможно, что ..." L читается "верно, что ..." или "необходимо, чтобы ..." Наконец я прочитал "неизвестно, что ... "или" возможно, что ... "

В №3 Лукасевича назначенное значение истинно, что означает, что только предложение, имеющее это значение везде, считается тавтология. Например, $А \to А$ и $А \leftrightarrow А$ являются тавтологиями в 3, а также в классической логике. Не все тавтологии классической логики переводятся в Ł3 «как есть». Например, закон исключенного среднего, $А \lor \neg А$ , а закон непротиворечия, $\neg(А \land \neg А)$ не являются тавтологиями в §3. Однако с помощью оператора $я$ Определенные выше, можно сформулировать тавтологии, являющиеся их аналогами:

$А \lor я А \lor \neg А$ (закон исключенной четвертой )
$\neg(А \land \neg я А \land \neg А)$ (принцип расширенного противоречия ).

Логика Бочвара

Тернарная логика сообщения

not (a) = (a + 1) mod 3, или

not (a) = (a + 1) mod (n), где (n) - значение логической

Модульные алгебры

Некоторые 3VL модульные алгебры были введены совсем недавно, мотивированные скорее проблемами схемы, чем философскими вопросами:^[11]

Алгебра Кона
Алгебра прадхана
Дуброва и алгебра Муцио

Приложения

SQL

Язык структурных запросов базы данных SQL реализует троичную логику как средство обработки сравнений с НОЛЬ содержание поля. Первоначальное намерение NULL в SQL состояло в том, чтобы представить отсутствующие данные в базе данных, то есть предположить, что фактическое значение существует, но что значение в настоящее время не записано в базе данных. SQL использует общий фрагмент логики Kleene K3, ограниченный таблицами AND, OR и NOT.

В SQL это промежуточное значение должно интерпретироваться как НЕИЗВЕСТНО. Явное сравнение с NULL, включая сравнение другого NULL, дает UNKNOWN. Однако от этого выбора семантики отказываются для некоторых операций над наборами, например UNION или INTERSECT, где NULL считаются равными друг другу. Критики утверждают, что это несоответствие лишает SQL интуитивной семантики в его обработке NULL.^[12] Стандарт SQL определяет дополнительную функцию под названием F571, которая добавляет некоторые унарные операторы, среди которых НЕИЗВЕСТНО соответствующий Лукасевичу я в этой статье. Добавление НЕИЗВЕСТНО к другим операторам трехзначной логики SQL делает трехзначную логику SQL функционально полный,^[13] это означает, что его логические операторы могут выражать (в комбинации) любую мыслимую трехзначную логическую функцию.

Смотрите также

Бинарная логика (значения)
Булева алгебра (структура)
Логическая функция
Цифровая схема
Четырехзначная логика
Параконсистентная логика § Идеальная трехзначная паранепротиворечивая логика
Сетунь - экспериментальный российский компьютер, основанный на троичной логике
Троичная система счисления (и Сбалансированный тройной )
Логика с тремя состояниями (буфер с тремя состояниями )

дальнейшее чтение

Бергманн, Мерри (2008). Введение в многозначную и нечеткую логику: семантика, алгебры и системы вывода. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-88128-9. Получено 24 августа 2013., главы 5-9
Мундичи, Д. C * -алгебры трехзначной логики. Логический коллоквиум '88, Труды коллоквиума, проведенного в Падуе 61–77 (1989). Дои:10.1016 / s0049-237x (08) 70262-3
Райхенбах, Ганс (1944). Философские основы квантовой механики. Калифорнийский университет Press. Дувр 1998: ISBN 0-486-40459-5

внешняя ссылка

Введение в многозначную логику пользователя Bertram Fronhöfer. Раздаточный материал с летнего курса 2011 г. Technische Universität Dresden. (Несмотря на название, это почти полностью о трехзначной логике.)

[1] «Стэнфордский API JavaNLP». Стэндфордский Университет. Стэнфордская группа НЛП.

[2] "Дедуктивная логика Пирса> Трехзначная логика Пирса (Стэнфордская энциклопедия философии)". plato.stanford.edu. Получено 2020-07-30.

[3] Лейн, Р. (2001). «Триадическая логика».

[4] Лейн, Роберт. «Триадическая логика». www.digitalpeirce.fee.unicamp.br. Получено 2020-07-30.

[5] Кнут, Дональд Э. (1981). Искусство программирования Том. 2. Ридинг, Массачусетс: издательство Addison-Wesley Publishing Company. п. 190.

[6] Хейс, Брайан (Ноябрь – декабрь 2001 г.). «Третья база» (PDF). Американский ученый. Сигма Си, Научно-исследовательское общество. 89 (6): 490–494. Дои:10.1511/2001.40.3268. В архиве (PDF) с оригинала на 2019-10-30. Получено 2020-04-12.

[7] Нельсон, Дэвид (2008). Математический словарь Penguin. Четвертый выпуск. Лондон, Англия: Penguin Books. Вступление для «трехзначной логики». ISBN 9780141920870.

[8] Дуглас В. Джонс, Стандартная тернарная логика, 11 февраля 2013 г.

[9] ttp://www.uky.edu/~look/Phi520-Lecture7.pdf

[10] Гжегож Малиновский "Многоценная логика и ее философия "в Дов М. Габбэй, Джон Вудс (ред.) Справочник по истории логики Том 8. Многозначный и немонотонный поворот в логике., Эльзевир, 2009

[11] Миллер, Д. Майкл; Торнтон, Митчелл А. (2008). Многозначная логика: концепции и представления. Синтез лекций по цифровым схемам и системам. 12. Издательство Morgan & Claypool. С. 41–42. ISBN 978-1-59829-190-2.

[Meyden-12] Рон ван дер Мейден "Логические подходы к неполной информации: опрос "in Chomicki, Jan; Saake, Gunter (Eds.) Логика для баз данных и информационных систем, Kluwer Academic Publishers ISBN 978-0-7923-8129-7, п. 344; Препринт PS (примечание: нумерация страниц в препринте отличается от опубликованной версии)

[13] C. J. Date, Работы по реляционным базам данных, 1991–1994 гг., Аддисон-Уэсли, 1995, стр. 371

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

Неклассическая логика
Интуиционистский	Интуиционистская логика Конструктивный анализ Арифметика Гейтинга Интуиционистская теория типов Конструктивная теория множеств
Нечеткое	Степень истины Нечеткое правило Нечеткое множество Нечеткий конечный элемент Операции с нечеткими множествами
Субструктурный	Структурное правило Логика релевантности Линейная логика
Непротиворечивый	Диалетеизм
Описание	Онтология Язык онтологий
Многозначный	Трехзначный Четырехзначный Лукасевич
Цифровая логика	Логика с тремя состояниями Буфер с тремя состояниями Четырехзначный Verilog IEEE 1164 VHDL