Теорема Рисса – Фишера - Riesz–Fischer theorem

В математика, то Теорема Рисса – Фишера в реальный анализ является одним из ряда тесно связанных результатов, касающихся свойств пространства L² из квадратично интегрируемый функции. Теорема была независимо доказана в 1907 г. Фриджес Рис и Эрнст Сигизмунд Фишер.

Для многих авторов теорема Рисса – Фишера указывает на то, что L^п пробелы из Интеграция Лебега теория полный.

Современные формы теоремы

Наиболее распространенная форма теоремы утверждает, что измеримая функция на [-π, π] является квадратично интегрируемый если и только если соответствующий Ряд Фурье сходится в Космос L². Это означает, что если Nth частичная сумма ряда Фурье, соответствующего интегрируемой с квадратом функции ж дан кем-то

${ Displaystyle S_ {N} е (х) = сумма _ {n = -N} ^ {N} F_ {n} , mathrm {e} ^ {inx},}$

куда F_п, то пth Фурье коэффициент, дан кем-то

${ displaystyle F_ {n} = { frac {1} {2 pi}} int _ {- pi} ^ { pi} f (x) , mathrm {e} ^ {- inx} , mathrm {d} x,}$

тогда

${ displaystyle lim _ {N to infty} left Vert S_ {N} f-f right | _ {2} = 0,}$

куда ${ Displaystyle | cdot | _ {2}}$ это L²-норма.

Наоборот, если ${ Displaystyle {а_ {п} } ,}$ двусторонний последовательность из сложные числа (то есть его индексы диапазон от отрицательного бесконечность в положительную бесконечность) такая, что

${ displaystyle sum _ {n = - infty} ^ { infty} left | a_ {n} right vert ^ {2} < infty,}$

тогда существует функция ж такой, что ж интегрируем с квадратом, а значения ${ displaystyle a_ {n}}$ коэффициенты Фурье ж.

Эта форма теоремы Рисса – Фишера является более сильной формой Неравенство Бесселя, и может использоваться для доказательства Личность Парсеваля за Ряд Фурье.

Другие результаты часто называют теоремой Рисса – Фишера (Данфорд и Шварц 1958, §IV.16). Среди них есть теорема о том, что если А является ортонормированный установлен в Гильбертово пространство ЧАС, и Икс ∈ ЧАС, тогда

${ displaystyle langle x, y rangle = 0}$

для всех, кроме бесчисленного множества у ∈ А, и

${ displaystyle sum _ {y in A} | langle x, y rangle | ^ {2} leq | x | ^ {2}.}$

Кроме того, если А ортонормированный базис для ЧАС и Икс произвольный вектор, ряд

${ displaystyle sum _ {y in A} langle x, y rangle , y}$

сходится коммутативно (или же безусловно) к Икс. Это равносильно утверждению, что для каждого ε > 0 существует конечное множество B₀ в А такой, что

${ displaystyle | x- sum _ {y in B} langle x, y rangle y | < varepsilon}$

для каждого конечного множества B содержащий B₀. Кроме того, следующие условия на множестве А эквивалентны:

• набор А является ортонормированным базисом ЧАС
• для каждого вектора Икс ∈ ЧАС,

${ displaystyle | x | ^ {2} = sum _ {y in A} | langle x, y rangle | ^ {2}.}$

Другой результат, который также иногда носит имя Рисса и Фишера, - это теорема о том, что L² (или в более общем смысле L^п, 0 < п ≤ ∞) является полный.

Пример

Теорема Рисса – Фишера применима и в более общем случае. Позволять р быть внутренний продукт пространство, состоящее из функций (например, измеримых функций на прямой, аналитических функций в единичном круге; в старой литературе иногда называют евклидовым пространством), и пусть ${ Displaystyle { varphi _ {п} }}$ быть ортонормированной системой в р (например, базис Фурье, Эрмита или Полиномы Лагерра и т.д. - см. ортогональные многочлены ), не обязательно полный (во внутреннем пространстве продукта ортонормированный набор является полный если ни один ненулевой вектор не ортогонален каждому вектору в наборе). Теорема утверждает, что если нормированное пространство р полный (таким образом р это Гильбертово пространство ), то любая последовательность ${ displaystyle {c_ {n} }}$ который имеет конечный ℓ² норма определяет функцию ж в пространстве р.

Функция ж определяется${ displaystyle f = lim _ {n to infty} sum _ {k = 0} ^ {n} c_ {k} varphi _ {k}}$, предел в р-норма.

В сочетании с Неравенство Бесселя, мы знаем и обратное: если ж функция в р, то коэффициенты Фурье ${ displaystyle (е, varphi _ {n})}$ иметь конечный ℓ² норма.

История: записка Рисса и записка Фишера (1907 г.)

В своей заметке Рисса (1907 г., п. 616) констатирует следующий результат (переведенный здесь на современный язык в одном месте: обозначение L²([а, б]) не использовался в 1907 г.).

Позволять {φ_п } быть ортонормированной системой в L²([а, б]) и {а_п } последовательность действительных чисел. Сходимость ряда ${ Displaystyle сумма а_ {п} ^ {2}}$ является необходимым и достаточным условием существования функции ж такой, что

${ displaystyle int _ {a} ^ {b} f (x) varphi _ {n} (x) , mathrm {d} x = a_ {n}}$

для каждого п.

Сегодня этот результат Рисса является частным случаем основных фактов о сериях ортогональных векторов в гильбертовых пространствах.

Записка Рисса появилась в марте. В мае, Фишер (1907 г., п. 1023) явно утверждает в теореме (почти современными словами), что Последовательность Коши в L²([а, б]) сходится в L²-норма некоторой функции ж в L²([а, б]). В этой заметке последовательности Коши называются "последовательности, сходящиеся в среднем" и L²([а, б]) обозначается через Ω. Кроме того, сходимость к пределу в L²–Норма называется "сходимость в среднем к функции". Вот заявление, переведенное с французского:

Теорема. Если последовательность функций, принадлежащих Ω, сходится в среднем, то в Ω существует функция f, к которой эта последовательность сходится в среднем.

Фишер продолжает доказывать предыдущий результат Рисса как следствие ортогональности системы и полноты L².

Доказательство полноты Фишера несколько косвенное. Он использует тот факт, что неопределенные интегралы от функций грамм_п в данной последовательности Коши, а именно

${ displaystyle G_ {n} (x) = int _ {a} ^ {x} g_ {n} (t) , mathrm {d} t,}$

сходятся равномерно на [а, б] к некоторой функции грамм, непрерывная с ограниченной вариацией. Существование предела грамм ∈ L² для последовательности Коши получается применением к грамм дифференцирующие теоремы из теории Лебега.
Рисс использует аналогичные рассуждения в своей заметке, но не делает явного упоминания о полноте L², хотя его результат можно интерпретировать и так. Он говорит, что, почленно интегрировав тригонометрический ряд с заданными квадратичными суммируемыми коэффициентами, он получает ряд, равномерно сходящийся к непрерывной функции F с ограниченной вариацией. Производная ж из F, определенная почти всюду, суммируема с квадратом и имеет для Коэффициенты Фурье данные коэффициенты.

Полнота L^п,  0 < п ≤ ∞

Некоторые авторы, особенно Ройден,^[1] Теорема Рисса-Фишера является результатом того, что L^п является полный: каждая последовательность функций Коши из L^п сходится к функции в L^п, под метрикой, индуцированной п-норма. Следующее ниже доказательство основано на теоремах сходимости для Интеграл Лебега; результат также можно получить при ${ displaystyle p in [1, infty]}$ показывая, что каждый Последовательность Коши имеет быстро сходящуюся подпоследовательность Коши, что каждая последовательность Коши с сходящейся подпоследовательностью сходится, и что каждая быстро сходящаяся последовательность Коши в L^п сходится в L^п.

Когда 1 ≤ п ≤ ∞, то Неравенство Минковского означает, что Космос L^п это нормированное пространство. Чтобы доказать, что L^п полное, т.е. что L^п это Банахово пространство, этого достаточно (см., например, Банахово пространство # Определение ), чтобы доказать, что всякая серия ∑ты_п функций в L^п(μ) такие, что

${ Displaystyle сумма | и_ {п} | _ {р} < infty}$

сходится в L^п-норма некоторой функции ж ∈ L^п(μ). За п <∞, неравенство Минковского и теорема о монотонной сходимости подразумевают, что

${ displaystyle int { Bigl (} sum _ {n = 0} ^ { infty} | u_ {n} | { Bigr)} ^ {p} , mathrm {d} mu leq { Bigl (} sum _ {n = 0} ^ { infty} | u_ {n} | _ {p} { Bigr)} ^ {p} < infty, { text {следовательно} } f = sum _ {n = 0} ^ { infty} u_ {n}}$

определено μ–Почти везде и ж ∈ L^п(μ). В теорема о доминируемой сходимости затем используется, чтобы доказать, что частичные суммы ряда сходятся к ж в L^п-норма,

${ displaystyle int left | f- sum _ {k = 0} ^ {n} u_ {k} right | ^ {p} , mathrm {d} mu leq int left ( sum _ { ell> n} | u _ { ell} | right) ^ {p} , mathrm {d} mu rightarrow 0 { text {as}} n rightarrow infty.}$

Случай 0 < п <1 требует некоторых изменений, потому что п-norm больше не является субаддитивом. Начнем с более сильного предположения, что

${ Displaystyle сумма | u_ {п} | _ {p} ^ {p} < infty}$

и неоднократно использует это

${ displaystyle left | sum _ {k = 0} ^ {n} u_ {k} right | ^ {p} leq sum _ {k = 0} ^ {n} | u_ {k} | ^ {p} { text {когда}} p <1}$

Дело п = ∞ сводится к простому вопросу о равномерной сходимости вне μ-небольшой набор.

Рекомендации

• Билс, Ричард (2004), Анализ: введение, Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-60047-2.
• Dunford, N .; Шварц, Дж. (1958), Линейные операторы, часть I, Wiley-Interscience.
• Фишер, Эрнст (1907), "Sur la convergence en moyenne", Comptes rendus de l'Académie des Sciences, 144: 1022–1024.
• Рис, Фриджес (1907), "Sur les systèmes orthogonaux de fonctions", Comptes rendus de l'Académie des Sciences, 144: 615–619.