Пространство Ротбергера - Википедия - Rothberger space

В математике Пространство Ротбергера это топологическое пространство что удовлетворяет определенный базовый принцип выбора. Пространство Ротбергера - это пространство, в котором для каждой последовательности открытых покрытий ${ displaystyle { mathcal {U}} _ {1}, { mathcal {U}} _ {2}, ldots}$ пространства есть наборы ${ Displaystyle U_ {1} in { mathcal {U}} _ {1}, U_ {2} in { mathcal {U}} _ {2}, ldots}$ такая, что семья ${ displaystyle {U_ {n}: п in mathbb {N} }}$ покрывает пространство.

История

В 1938 году Фриц Ротбергер представил свою собственность, известную как ${ displaystyle C ''}$.^[1]

Характеристики

Комбинаторная характеристика

Для подмножеств вещественной прямой свойство Ротбергера можно охарактеризовать с помощью непрерывных функций в Пространство Бэра ${ Displaystyle mathbb {N} ^ { mathbb {N}}}$. Подмножество ${ displaystyle A}$ из ${ Displaystyle mathbb {N} ^ { mathbb {N}}}$ можно угадать, если есть функция ${ displaystyle g in A}$ такие, что множества ${ Displaystyle {п: е (п) = г (п) }}$ бесконечны для всех функций ${ displaystyle f in A}$. Подмножество реальной линии является Ротбергером тогда и только тогда, когда каждое непрерывное изображение этого пространства в пространстве Бэра можно угадать. В частности, каждое подмножество действительной линии мощности меньше, чем ${ Displaystyle mathrm {cov} ({ mathcal {M}})}$^[2] Ротбергер.

Топологическая характеристика игры

Позволять ${ displaystyle X}$ быть топологическим пространством. Игра Ротбергера ${ displaystyle { text {G}} _ {1} ( mathbf {O}, mathbf {O})}$ играл на ${ displaystyle X}$ это игра с двумя игроками Алисой и Бобом.

1-й тур: Алиса выбирает открытую обложку ${ displaystyle { mathcal {U}} _ {1}}$ из ${ displaystyle X}$. Боб выбирает набор ${ Displaystyle U_ {1} in { mathcal {U}} _ {1}}$.

2-й тур: Алиса выбирает открытую обложку ${ displaystyle { mathcal {U}} _ {2}}$ из ${ displaystyle X}$. Боб выбирает конечное множество ${ Displaystyle U_ {2} in { mathcal {U}} _ {2}}$.

и Т. Д.

Если семья ${ displaystyle {U_ {n}: п in mathbb {N} }}$ это прикрытие пространства ${ displaystyle X}$, тогда Боб выигрывает игру ${ displaystyle { text {G}} _ {1} ( mathbf {O}, mathbf {O})}$. В противном случае выигрывает Алиса.

У игрока есть выигрышная стратегия, если он знает, как играть, чтобы выиграть игру. ${ displaystyle { text {G}} _ {1} ( mathbf {O}, mathbf {O})}$ (формально выигрышная стратегия - это функция).

• Топологическое пространство называется Ротбергером, если у Алисы нет выигрышной стратегии в игре. ${ displaystyle { text {G}} _ {1} ( mathbf {O}, mathbf {O})}$ играл на этом пространстве.^[3]
• Позволять ${ displaystyle X}$ - метрическое пространство. У Боба есть выигрышная стратегия в игре ${ displaystyle { text {G}} _ {1} ( mathbf {O}, mathbf {O})}$ играл в космосе ${ displaystyle X}$ если и только тогда пространство ${ displaystyle X}$ счетно.^[3][4][5]

Характеристики

• Каждое счетное топологическое пространство является Ротбергеровским.
• Каждый Набор Лузина Ротбергер^[1]
• Каждое подмножество Ротбергера реальной линии имеет ноль сильной меры.^[1]
• в Модель Laver для согласованности Гипотеза Бореля каждое подмножество Ротбергера реальной линии счетно

Рекомендации