Снарк (теория графов) - Snark (graph theory)

Эта статья посвящена термину из теории графов. Для использования в других целях см. Снарк (значения).
В Граф Петерсена самый маленький снарк.
В цветок snark J5 является одним из шести снарков на 20 вершинах.

в математический поле теория графов, а язвить это просто, связаны, без моста кубический граф с хроматический индекс равно 4. Другими словами, это граф, в котором каждая вершина имеет трех соседей, связность избыточна, так что удаление ни одного ребра не приведет к разделению графа, а ребра не могут быть окрашены только в три цвета без двух ребер графа. тот же цвет встречается в точке. (К Теорема Визинга, хроматический индекс кубического графа равен 3 или 4.) Чтобы избежать тривиальных случаев, снарки часто ограничиваются обхват не менее 5.

Писать в Электронный журнал комбинаторики, Мирослав Хладны утверждает, что

При изучении различных важных и сложных проблем теории графов (таких как Гипотеза о двойном покрытии цикла и Гипотеза 5-потоков ), можно встретить интересную, но несколько загадочную разновидность графов, называемых снарками. Несмотря на их простое определение ... и более чем вековые исследования, их свойства и структура в значительной степени неизвестны.[1]

История

Питер Гатри Тейт инициировал изучение снарков в 1880 году, когда доказал, что теорема четырех цветов эквивалентно утверждению, что никакой снарк не планарный.[2] Первым известным снарком был Граф Петерсена, открытый в 1898 г. В 1946 г. хорватский математик Данило Блануша обнаружил еще два снарка, оба на 18 вершинах, теперь названные Blanuša Snarks.[3] Четвертый известный снарк был обнаружен двумя годами позже В. Т. Тутте под псевдонимом Бланш Декарт; он имеет порядок 210.[4][5] В 1973 г. Джордж Секерес нашел пятый известный снарк - Секерес Снарк.[6] В 1975 г. Руфус Айзекс обобщил метод Блануши для построения двух бесконечных семейств снарков: цветок snark и BDS или Снарк Блануша-Декарта-Секереса, семья, в которую входят два снарка Блануша, Декарт Снарк и Szekeres snark.[7] Исаакс также обнаружил снарк с 30 вершинами, который не принадлежит к семейству BDS и не является цветочным снарком: двойная звезда снарк.

Так назвал Снарков американский математик. Мартин Гарднер в 1976 году, после загадочного и неуловимого объекта поэмы Охота на Снарка к Льюис Кэрролл.[8]

Характеристики

Все снарки не-Гамильтониан, и многие известные снарки гипогамильтониан: удаление любой единственной вершины оставляет гамильтонов подграф. Гипогамильтоновой снарк должен быть бикритический: удаление любых двух вершин оставляет подграф, раскрашиваемый 3-ребрами.[9][10]

Было показано, что количество снарков для заданного четного числа вершин ограничено снизу экспоненциальной функцией.[11] (Будучи кубическими графами, все снарки должны иметь четное число вершин.) OEIS последовательность A130315 содержит количество нетривиальных снарков 2n вершины для малых значений п.

В Гипотеза о двойном покрытии цикла утверждает, что в каждом графе без мостов можно найти набор циклов, покрывающих каждое ребро дважды, или, что то же самое, граф может быть встроенный на поверхность таким образом, чтобы все грани вложения были простыми циклами. Снарки составляют сложный случай для этой гипотезы: если она верна для снарков, то она верна для всех графов.[12] В этой связи, Бранко Грюнбаум предположил, что невозможно встроить какой-либо снарк на поверхность таким образом, чтобы все грани были простыми циклами и чтобы каждые две грани либо не пересекались, либо имели только одно ребро; однако контрпример к гипотезе Грюнбаума нашел Мартин Кохоль.[13][14][15]

Работа Питера Тейта установила, что теорема о четырех цветах верна тогда и только тогда, когда каждый снарк не является плоским. Таким образом, все снарки неплоские.

Гипотеза Снарка

В. Т. Тутте предположил, что каждый снарк имеет граф Петерсена как незначительный. То есть он предположил, что наименьший снарк, граф Петерсена, может быть образован из любого другого снарка путем сжатия одних ребер и удаления других. Эквивалентно (поскольку граф Петерсена имеет максимальную степень три) каждый снарк имеет подграф, который может быть сформирован из графа Петерсена с помощью разделение некоторых его краев. Эта гипотеза является усиленной формой теорема четырех цветов, потому что любой граф, содержащий граф Петерсена в качестве минора, должен быть неплоским. В 1999 году, Нил Робертсон, Дэниел П. Сандерс, Пол Сеймур, и Робин Томас объявил доказательство этой гипотезы.[16] По состоянию на 2020 год, их доказательства остаются в основном неопубликованными.[17] Увидеть Гипотеза Хадвигера для других проблем и результатов, связанных с раскраской графа минорами графа.

Тутте также выдвинул гипотезу об обобщении на произвольные графы: каждый граф без мостов и минор Петерсена имеет нигде ноль 4-поточный. То есть ребрам графа может быть присвоено направление и номер из набора {1, 2, 3}, так что сумма входящих чисел за вычетом суммы исходящих чисел в каждой вершине делится на четыре . Как показал Тутте, для кубических графов такое назначение существует тогда и только тогда, когда ребра можно раскрасить в три цвета, поэтому в этом случае гипотеза следует из теоремы Снарка. Однако эта гипотеза остается открытой для некубических графов.[18]

Список снарков

Список всех снарков до 36 вершин, кроме тех, которые имеют 36 вершин и обхват 4, был создан Гуннаром Бринкманном, Яном Гёджебером, Йонасом Хэгглундом и Класом Маркстрёмом в 2012 году.[19]

Рекомендации

  1. ^ Хладны, Мирослав; Шковьера, Мартин (2010), «Факторизация снарков», Электронный журнал комбинаторики, 17: R32.
  2. ^ Тейт, Питер Гатри (1880 г.), «Замечания о раскраске карт», Труды Королевского общества Эдинбурга, 10: 729
  3. ^ Блануша, Данило (1946), "Проблема четырех боя", Гласник Мат. Физ. Astr. Сер II, 1: 31–42
  4. ^ Бланш Декарт, Раскраски сети, The Mathematical Gazette (Лондон) 32, 67-69, 1948.
  5. ^ Мартин Гарднер, Последние развлечения: гидры, яйца и другие математические мистификации, Springer, 2007 г., ISBN  0-387-25827-2, ISBN  978-0-387-25827-0
  6. ^ Секерес, Джордж (1973), "Многогранные разложения кубических графов", Бюллетень Австралийского математического общества, 8 (3): 367–387, Дои:10.1017 / S0004972700042660.
  7. ^ Айзекс, Р. (1975), "Бесконечные семейства нетривиальных трехвалентных графов, которые не раскрашиваются по Тэту", Американский математический ежемесячный журнал, 82 (3): 221–239, Дои:10.2307/2319844, JSTOR  2319844
  8. ^ Гарднер, Мартин (1976), "Математические игры ", Scientific American, 4 (234): 126–130
  9. ^ Штеффен, Э. (1998), "Классификация и характеристики снарков", Дискретная математика, 188 (1–3): 183–203, Дои:10.1016 / S0012-365X (97) 00255-0, МИСТЕР  1630478
  10. ^ Штеффен, Э. (2001), "О бикритических снарках", Математика. Словака, 51 (2): 141–150, МИСТЕР  1841443
  11. ^ Скупень, Здислав (2007). «Экспоненциально много гипогамильтоновых снарков». Электронные заметки по дискретной математике. 6-й Чешско-словацкий международный симпозиум по комбинаторике, теории графов, алгоритмам и приложениям. 28. С. 417–424. Дои:10.1016 / j.endm.2007.01.059.
  12. ^ Jaeger, François (1985), "Обзор гипотезы о двойном покрытии цикла", Анналы дискретной математики 27 - Циклы в графах, Математические исследования Северной Голландии, 27, стр. 1–12, Дои:10.1016 / S0304-0208 (08) 72993-1, ISBN  978-0-444-87803-8.
  13. ^ Кохол, Мартин (1996), «Снарки без малых циклов», Журнал комбинаторной теории, серия B, 67, стр. 34–47.
  14. ^ Кохол, Мартин (2009), «3-регулярные не 3-крано-раскрашиваемые графы с полиэдральными вложениями в ориентируемые поверхности», Графический рисунок 2008, Редакторы: И.Г. Толлис, М. Патриньяни, Конспект лекций по информатике, 5417, стр. 319–323.
  15. ^ Кохол, Мартин (2009), "Полиэдральные вложения снарков в ориентируемые поверхности", Труды Американского математического общества, 137, стр. 1613–1619.
  16. ^ Томас, Робин (1999). «Недавние исключенные минорные теоремы для графов». Обзоры по комбинаторике, 1999 г. (PDF). Издательство Кембриджского университета. С. 201–222.
  17. ^ белкастро, Сара-мари (2012), «Продолжающаяся сага о снарках», Математический журнал колледжа, 43 (1): 82–87, Дои:10.4169 / College.math.j.43.1.082, МИСТЕР  2875562.
  18. ^ «Гипотеза 4-х потоков»., Открытый Проблемный сад.
  19. ^ Бринкманн, Гуннар; Goedgebeur, Ян; Хэгглунд, Йонас; Маркстрём, Клас (2012), Генерация и свойства снарков, arXiv:1206.6690, Bibcode:2012arXiv1206.6690B

внешняя ссылка