Оператор Собеля - Sobel operator

Цветное изображение паровой машины

К этому изображению применен оператор Собеля.

В Оператор Собеля, иногда называемый Оператор Собеля – Фельдмана или Фильтр Собеля, используется в обработка изображений и компьютерное зрение, особенно в обнаружение края алгоритмы, в которых он создает изображение с подчеркиванием краев. Он назван в честь Ирвин Собель и Гэри Фельдман, коллеги из Стэнфордской лаборатории искусственного интеллекта (SAIL). Собел и Фельдман представили идею "Изотропный 3x3 Image Gradient Operator »на выступлении в SAIL в 1968 году.^[1] Технически это оператор дискретного дифференцирования, вычисляя приближение градиент функции интенсивности изображения. В каждой точке изображения результатом оператора Собеля – Фельдмана является либо соответствующий вектор градиента, либо норма этого вектора. Оператор Собела – Фельдмана основан на свертке изображения с помощью небольшого, разделяемого и целочисленного фильтра в горизонтальном и вертикальном направлениях и, следовательно, относительно недорог с точки зрения вычислений. С другой стороны, приближение градиента, которое он создает, является относительно грубым, особенно для высокочастотных вариаций изображения.

Формулировка

Оператор использует два ядра 3 × 3, которые свернутый с исходным изображением для расчета приближений производные - один для горизонтального изменения и один для вертикального. Если мы определим А в качестве исходного изображения и грамм_Икс и грамм_у два изображения, которые в каждой точке содержат приближения производной по горизонтали и вертикали соответственно, вычисления выглядят следующим образом:^[2]

{ displaystyle mathbf {G} _ {x} = { begin {bmatrix} + 1 & 0 & -1 + 2 & 0 & -2 + 1 & 0 & -1 end {bmatrix}} * mathbf {A} quad { mbox {and}} quad mathbf {G} _ {y} = { begin {bmatrix} + 1 & + 2 & + 1 0 & 0 & 0 - 1 & -2 & -1 end {bmatrix}} * mathbf {A}}

куда ${ displaystyle *}$ здесь обозначает 2-мерную обработку сигнала свертка операция.

Поскольку ядра Собеля можно разложить как продукты усреднения и ядра дифференцирования, они вычисляют градиент со сглаживанием. Например, ${ displaystyle mathbf {G} _ {x}}$ можно записать как

{ displaystyle mathbf {G} _ {x} = { begin {bmatrix} 1 2 1 end {bmatrix}} * left ({ begin {bmatrix} + 1 & 0 & -1 end {bmatrix }} * mathbf {A} right) quad { mbox {and}} quad mathbf {G} _ {y} = { begin {bmatrix} +1 0 - 1 end { bmatrix}} * left ({ begin {bmatrix} 1 & 2 & 1 end {bmatrix}} * mathbf {A} right)}

В Икс-координата здесь определяется как возрастающая в «правом» направлении, а у-координата определяется как возрастающая в направлении «вниз». В каждой точке изображения полученные аппроксимации градиента можно объединить, чтобы получить величину градиента, используя:

{ displaystyle mathbf {G} = { sqrt {{ mathbf {G} _ {x}} ^ {2} + { mathbf {G} _ {y}} ^ {2}}}}

Используя эту информацию, мы также можем вычислить направление градиента:

{ displaystyle mathbf { Theta} = operatorname {atan} left ({ mathbf {G} _ {y} over mathbf {G} _ {x}} right)}

где, например, Θ равен 0 для вертикального края, который светлее с правой стороны.

Более формально

Поскольку функция интенсивности цифрового изображения известна только в дискретных точках, производные этой функции не могут быть определены, если мы не предположим, что существует лежащая в основе дифференцируемая функция интенсивности, которая была выбрана в точках изображения. С некоторыми дополнительными предположениями, производная непрерывной функции интенсивности может быть вычислена как функция от дискретизированной функции интенсивности, то есть цифрового изображения. Оказывается, производные в любой конкретной точке являются функциями значений интенсивности практически во всех точках изображения. Однако приближения этих производных функций могут быть определены с большей или меньшей степенью точности.

Оператор Собеля-Фельдмана представляет собой довольно неточную аппроксимацию градиента изображения, но все же имеет достаточное качество для практического использования во многих приложениях. Точнее, он использует значения интенсивности только в области 3 × 3 вокруг каждой точки изображения, чтобы аппроксимировать соответствующий градиент изображения, и он использует только целые значения для коэффициентов, которые взвешивают интенсивности изображения, чтобы произвести аппроксимацию градиента.

Расширение на другие измерения

Оператор Собеля – Фельдмана состоит из двух разделимых операций:^[3]

Сглаживание перпендикулярно производному направлению с помощью треугольного фильтра: ${ displaystyle h (-1) = 1, h (0) = 2, h (1) = 1}$
Простая центральная разница в производном направлении: ${ displaystyle h '(- 1) = 1, h' (0) = 0, h '(1) = - 1}$

Фильтры Собеля – Фельдмана для производные изображения в разных размерах с ${ displaystyle x, y, z, t in left {0, -1,1 right }}$ :

1D: ${ displaystyle h_ {x} '(x) = h' (x);}$

2D: ${ displaystyle h_ {x} '(x, y) = h' (x) h (y)}$

3D: ${ displaystyle h_ {x} '(x, y, z) = h' (x) h (y) h (z)}$

4D: ${ displaystyle h_ {x} '(x, y, z, t) = h' (x) h (y) h (z) h (t)}$

Так, например, трехмерное ядро Собеля – Фельдмана в z-направление:

{ displaystyle h_ {z} '(:,:, - 1) = { begin {bmatrix} + 1 & + 2 & + 1 + 2 & + 4 & + 2 + 1 & + 2 & + 1 end {bmatrix} } quad h_ {z} '(:,:, 0) = { begin {bmatrix} 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 end {bmatrix}} quad h_ {z}' (:,:, 1) = { begin {bmatrix} -1 & -2 & -1 - 2 & -4 & -2 - 1 & -2 & -1 end {bmatrix}}}

Технические детали

Как следствие его определения, оператор Собеля может быть реализован простыми средствами как в аппаратном, так и в программном обеспечении: для вычисления соответствующего результата требуется только восемь точек изображения вокруг точки, а для вычисления приближения вектора градиента требуется только целочисленная арифметика. Кроме того, оба описанных выше дискретных фильтра можно разделить:

{ displaystyle { begin {bmatrix} 1 & 0 & -1 2 & 0 & -2 1 & 0 & -1 end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} 1 2 1 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} 1 & 0 & -1 end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} 1 1 end {bmatrix}} * { begin {bmatrix} 1 1 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} 1 & -1 end {bmatrix}} * { begin {bmatrix} 1 & 1 end {bmatrix}}}

{ Displaystyle { begin {bmatrix} 1 & 2 & 1 0 & 0 & 0 - 1 & -2 & -1 end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} 1 0 - 1 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} 1 & 2 & 1 end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} 1 1 end {bmatrix}} * { begin {bmatrix} 1 - 1 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} 1 & 1 end {bmatrix}} * { begin {bmatrix} 1 & 1 end {bmatrix}}}

и две производные грамм_Икс и грамм_у следовательно, можно вычислить как

{ displaystyle mathbf {G} _ {x} = { begin {bmatrix} 1 2 1 end {bmatrix}} * left ({ begin {bmatrix} 1 & 0 & -1 end {bmatrix} } * mathbf {A} right) quad { mbox {and}} quad mathbf {G} _ {y} = { begin {bmatrix} 1 0 - 1 конец {bmatrix}} * left ({ begin {bmatrix} 1 & 2 & 1 end {bmatrix}} * mathbf {A} right)}

В некоторых реализациях это разделяемое вычисление может быть выгодным, поскольку оно подразумевает меньшее количество арифметических вычислений для каждой точки изображения.

Применение свертки K в группу пикселей п может быть представлен в псевдокоде как:

N (x, y) = сумма {K (i, j) .P (x-i, y-j)} для i, j от -1 до 1.

N (x, y) представляет новую матрицу, полученную после применения свертки K к п, где п матрица пикселей.

пример

Результатом оператора Собеля – Фельдмана является двумерная карта градиента в каждой точке. Его можно обрабатывать и просматривать, как если бы оно само было изображением, с областями с высоким градиентом (вероятными краями), видимыми в виде белых линий. Следующие изображения иллюстрируют это, показывая вычисление оператора Собеля-Фельдмана на простом изображении.

Тестовое изображение в оттенках серого кирпичной стены и стойки для велосипедов	Нормализованная величина градиента от оператора Собеля – Фельдмана
Нормализованный Икс-градиент от оператора Собеля – Фельдмана	Нормализованный у-градиент от оператора Собеля – Фельдмана

На изображениях ниже показано изменение направления градиента на круге в градациях серого. Когда знак ${ displaystyle mathbf {G_ {x}}}$ и ${ displaystyle mathbf {G_ {y}}}$ одинаковы, угол градиента положительный, и отрицательный, если он отличается. В приведенном ниже примере красный и желтый цвета на краю круга обозначают положительные углы, а синий и голубой цвета обозначают отрицательные углы. Вертикальные грани на левой и правой сторонах круга имеют угол 0, потому что нет локального изменения в ${ displaystyle mathbf {G_ {y}}}$ . Горизонтальные края на верхней и нижней сторонах круга имеют углы - $π$ /2 и $π$ /2 соответственно, потому что нет локального изменения в ${ displaystyle mathbf {G_ {x}}}$ . Отрицательный угол для верхнего края означает переход от яркой области к темной, а положительный угол для нижнего края означает переход от темной области к яркой. Все остальные пиксели отмечены черным цветом из-за отсутствия локальных изменений ни в одном из них. ${ displaystyle mathbf {G_ {x}}}$ или ${ displaystyle mathbf {G_ {y}}}$ , поэтому угол не определен. Поскольку угол является функцией отношения ${ displaystyle mathbf {G_ {y}}}$ к ${ displaystyle mathbf {G_ {x}}}$ пиксели с небольшой скоростью изменения могут по-прежнему иметь отклик под большим углом. В результате шум может иметь отклик под большим углом, что обычно нежелательно. При использовании информации об углах градиента для приложений обработки изображений следует постараться удалить шум изображения чтобы уменьшить этот ложный ответ.

Изображение черного круга на белом фоне в оттенках серого.

Направление градиента оператора Собеля.

Альтернативные операторы

Оператор Собела – Фельдмана, уменьшая количество артефактов, связанных с чистым оператором центральных разностей, не обладает идеальной симметрией вращения. Шарр попытался оптимизировать это свойство.^[4]^[5] Там были представлены ядра фильтров размером до 5 x 5, но наиболее часто используемые:

{ displaystyle { begin {bmatrix} + 3 & 0 & -3 + 10 & 0 & -10 + 3 & 0 & -3 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} + 3 & + 10 & +3 0 & 0 & 0 - 3 & -10 & -3 end {bmatrix}}}

Это факторы аналогичным образом:

${ displaystyle { begin {bmatrix} 3 & 10 & 3 end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} 3 & 1 end {bmatrix}} * { begin {bmatrix} 1 & 3 end {bmatrix}}}$

Операторы шарра результат оптимизации, сводящей к минимуму взвешенную среднеквадратичную угловую ошибку в области Фурье. Эта оптимизация выполняется при условии, что результирующие фильтры численно согласованы. Следовательно, они действительно являются производными ядрами, а не просто сохраняют ограничения симметрии. Оптимальный 8-битный целочисленный фильтр 3x3, вытекающий из теории Шарра, равен

{ displaystyle { begin {bmatrix} 47 & 0 & -47 162 & 0 & -162 47 & 0 & -47 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} 47 & 162 & 47 0 & 0 & 0 - 47 & -162 & -47 end {bmatrix}}}

Аналогичную стратегию оптимизации и результирующие фильтры также представили Фарид и Симончелли.^[6]^[7] Они также исследуют производные схемы высшего порядка. В отличие от работы Шарра, эти фильтры не требуют согласованности числовых значений.

Проблема проектирования производных фильтров была пересмотрена, например, пользователя Kroon.^[8]

Производные фильтры на основе произвольных кубических сплайнов были представлены Хастом.^[9] Он показал, как производные первого и второго порядка могут быть правильно вычислены с использованием кубических или тригонометрических сплайнов с помощью подхода двойной фильтрации, дающего фильтры длины 7.

Другой подобный оператор, который изначально был создан из оператора Собеля, - это оператор Каяли,^[10] фильтр свертки 3x3 на основе совершенной вращательной симметрии.

Оптимальные по ориентации производные ядра значительно сокращают систематические ошибки оценки при оценке оптического потока. Более крупные схемы с еще более высокой точностью и оптимизированные семейства фильтров для расширенной оценки оптического потока были представлены в последующей работе Шарра.^[11] Наборы фильтров второй производной были исследованы для прозрачной оценки движения.^[12] Было замечено, что чем больше получаемые ядра, тем лучше они аппроксимируют производную гауссовых фильтров.

Примеры сравнения

Здесь четыре разных оператора градиента используются для оценки величины градиента тестового изображения.

Тестовое изображение в оттенках серого кирпичной стены и стойки для велосипедов	Величина градиента от оператора Собеля – Фельдмана	Величина градиента от оператора Шарра
Величина градиента от Робертс Кросс оператор	Величина градиента от Оператор Prewitt

Реализация псевдокода

функцияСобель(A: как двумерный массив изображений)	Gx = [-1 0 1; -2 0 2; -1 0 1]	Гр = [-1 -2 -1; 0 0 0; 1 2 1]		ряды = размер(А, 1)	столбцы = размер(А, 2)	mag = нули(А)за я = 1: строки-2за j = 1: столбцы-2			S1 = сумма(сумма(Gx.*А(я:я+2,j:j+2)))			S2 = сумма(сумма(Гр.*А(я:я+2,j:j+2)))			mag(я+1, j+1) = sqrt(S1.^2+S2.^2)конец законец за		порог = 70 % зависит от приложения [0 255]	output_image = Максимум(mag, порог)	output_image(output_image == круглый(порог)) = 0;вернуть output_imageконец функция

Смотрите также

внешняя ссылка

[1] Ирвин Собел, 2014 год, История и определение оператора Собеля

[2] Детекторы функций - Детектор края Собеля

[3] К. Энгель (2006). Объемная графика в реальном времени. С. 112–114.

[4] Шарр, Ханно, 2000, Диссертация (на немецком языке), Оптимальные операторы в цифровой обработке изображений.

[5] Б. Яне, Х. Шарр и С. Кёркель. Принципы построения фильтров. В Справочнике по компьютерному зрению и приложениям. Академическая пресса, 1999.

[6] Х. Фарид и Э. П. Симончелли, Оптимально эквивариантные вращению ядра производных по направлению, Международная конференция «Компьютерный анализ изображений и узоров», стр. 207–214, сентябрь 1997 г.

[7] Х. Фарид и Э. П. Симончелли, Дифференциация дискретных многомерных сигналов, IEEE Trans Image Processing, том 13 (4), стр. 496–508, апрель 2004 г.

[8] Д. Крун, 2009, Краткая статья, Университет Твенте, Численная оптимизация производных изображений на основе ядра.

[9] А. Хаст., «Простая конструкция фильтра для производных первого и второго порядка с использованием метода двойной фильтрации», Письма о распознавании образов, Vol. 42, № 1, июнь, стр. 65–71. 2014 г.

[10] Dim, Jules R .; Такамура, Тамио (11 декабря 2013 г.). «Альтернативный подход к классификации спутникового облака: приложение с граничным градиентом». Достижения в метеорологии. 2013: 1–8. Дои:10.1155/2013/584816. ISSN 1687-9309.

[Scharr_pp._14–29-11] Шарр, Ханно (2007). «Оптимальные фильтры для расширенного оптического потока». Сложное движение. Конспект лекций по информатике. 3417. Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. С. 14–29. Дои:10.1007/978-3-540-69866-1_2. ISBN 978-3-540-69864-7.

[12] Шарр, Ханно, ОПТИМАЛЬНЫЕ СЕМЕЙСТВА ПРОИЗВОДНЫХ ФИЛЬТРОВ ВТОРОГО ПОРЯДКА ДЛЯ ПРОЗРАЧНОЙ ОЦЕНКИ ДВИЖЕНИЯ 15-я Европейская конференция по обработке сигналов (EUSIPCO 2007), Познань, Польша, 3–7 сентября 2007 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]