Супервыбор - Superselection

В квантовая механика, супервыбор расширяет понятие правила отбора.

Правила суперотбора постулируемые правила, запрещающие приготовление квантовые состояния эта выставка согласованность между собственные состояния определенных наблюдаемые.^[1]Первоначально он был введен Виком, Вайтманом и Вигнером, чтобы наложить дополнительные ограничения на квантовую теорию помимо ограничений правила отбора.

Математически говоря, два квантовых состояния ${ displaystyle psi _ {1}}$ и ${ displaystyle psi _ {2}}$ разделены правилом выбора, если ${ Displaystyle langle psi _ {1} | H | psi _ {2} rangle = 0}$ для данного гамильтониана ${ displaystyle H}$ , а они разделены правилом суперотбора, если ${ Displaystyle langle psi _ {1} | A | psi _ {2} rangle = 0}$ за все физические наблюдаемые ${ displaystyle A}$ . Потому что никаких наблюдаемых связей ${ Displaystyle langle psi _ {1} |}$ и ${ displaystyle | psi _ {2} rangle}$ они не могут быть помещены в квантовую суперпозицию ${ Displaystyle альфа | psi _ {1} rangle + beta | psi _ {2} rangle}$ , и / или квантовую суперпозицию нельзя отличить от классической смеси двух состояний. Это также означает, что существует классически сохраняющаяся величина, которая различается между двумя состояниями.^[2]

А сектор суперотбора это концепция, используемая в квантовая механика когда представление из *-алгебра раскладывается на неприводимые компоненты. Это формализует представление о том, что не все самосопряженные операторы находятся наблюдаемые потому что относительная фаза суперпозиции ненулевых состояний из разных неприводимых компонент не наблюдается ( ожидаемые значения наблюдаемых не может различить их).

Формулировка

Предполагать А это единый * -алгебра и О это единица * -подалгебра чей самосопряженный элементы соответствуют наблюдаемым. А унитарное представительство из О можно разложить как прямую сумму несводимый унитарные представления О. Каждый изотипический компонент в этом разложении называется сектор суперотбора. Наблюдаемые сохраняют сектора суперселекции.

Отношение к симметрии

Симметрии часто приводят к появлению секторов суперселекции (хотя это не единственный способ их возникновения). Предположим, что группа грамм действует на А, и это ЧАС является унитарным представлением обоих А и грамм который эквивариантный в том смысле, что для всех грамм в грамм, а в А и ψ в ЧАС,

{ Displaystyle г (а cdot psi) = (ga) cdot (g psi)}

Предположим, что О является инвариантный подалгебра А под грамм (все наблюдаемые инвариантны относительно грамм, но не всякий самосопряженный оператор, инвариантный относительно грамм обязательно наблюдаемая). ЧАС раскладывается на секторы суперселекции, каждый из которых является тензорным произведением неприводимого представления грамм с представлением О.

Это можно обобщить, если предположить, что ЧАС это только представление расширения или покрытия K из грамм. (Например грамм может быть группа Лоренца, и K соответствующий спин двойная крышка.) В качестве альтернативы можно заменить грамм по Алгебра Ли, Супералгебра Ли или Алгебра Хопфа.

Примеры

Рассмотрим квантово-механическую частицу, ограниченную замкнутым контуром (т. Е. Периодической линией периода L). Секторы суперселекции помечены углом θ от 0 до 2π. Все волновые функции в пределах одного сектора суперотбора удовлетворяют

{ Displaystyle psi (x + L) = e ^ {i theta} psi (x).}

Секторы суперселекции

Большая физическая система с бесконечным числом степеней свободы не всегда посещает все возможные состояния, даже если у нее достаточно энергии. Если магнит намагничен в определенном направлении, каждое вращение будет колебаться при любой температуре, но чистая намагниченность никогда не изменится. Причина в том, что бесконечно маловероятно, чтобы все бесконечное количество вращений в каждой разной позиции все вместе колебались одинаково.

В большой системе часто секторы суперотбора. В твердом теле различные повороты и трансляции, которые не являются симметриями решетки, определяют сектора суперотбора. В целом правило суперотбора это величина, которая никогда не может измениться из-за местных колебаний. Помимо параметры заказа Подобно намагничиванию магнита, существуют топологические величины, например, номер обмотки. Если струна наматывается на круглую проволоку, общее количество ее намоток никогда не меняется из-за местных колебаний. Это обычный закон сохранения. Если провод представляет собой бесконечную линию, в условиях, когда в вакууме отсутствуют колебания числа витков, которые когерентны по всей системе, закон сохранения является правилом суперотбора - вероятность того, что обмотка размотается, равна нулю.

Существуют квантовые флуктуации, суперпозиции, возникающие из различных конфигураций интегралов по траекториям фазового типа, и статистические флуктуации из интегралов по траекториям типа Больцмана. Оба этих интеграла по траектории обладают тем свойством, что большие изменения в фактически бесконечной системе требуют невероятного сговора между флуктуациями. Итак, существуют как статистико-механические, так и квантово-механические правила суперотбора.

В теории, где вакуум инвариантен относительно симметрии, сохраняющийся заряд приводит к секторам суперселекции в том случае, если заряд сохраняется. Электрический заряд в нашей Вселенной сохраняется, поэтому сначала это может показаться тривиальным примером. Но когда сверхпроводник заполняет пространство или, что то же самое, в фазе Хиггса, электрический заряд все еще сохраняется в глобальном масштабе, но больше не определяет секторы суперселекции. Раскачивание сверхпроводника может вызвать заряды любого объема при очень небольших затратах. В этом случае секторы суперселекции вакуума помечены направлением поля Хиггса. Поскольку разные направления Хиггса связаны точной симметрией, все они в точности эквивалентны. Это предполагает глубокую связь между направлениями нарушения симметрии и сохраняющимися зарядами.

Дискретная симметрия

В 2D Модель Изинга, на низком уровне температуры, есть два различных чистых состояния: одно со средним вращением вверх, а другое со средним вращением вниз. Это упорядоченная фаза. При высоких температурах есть только одно чистое состояние со средним спином нуля. Это неупорядоченная фаза. На фаза перехода между ними нарушается симметрия между вращением вверх и вниз.

Ниже температуры фазового перехода модель бесконечного Изинга может иметь конфигурацию либо в основном плюс, либо в большую часть минуса. Если он начинается в фазе «в основном плюс», он никогда не достигнет «в основном минуса», даже если перевертывание всех вращений даст одинаковую энергию. Изменяя температуру, система приобрела новое правило суперселекции - средний спин. Есть два сектора супервыбора - в основном минус и в основном плюс.

Есть и другие сектора суперселекции; например, состояния, в которых левая половина плоскости в основном положительная, а правая половина плоскости - в основном отрицательная.

Когда появляется новое правило супервыбора, система спонтанно заказанный. Выше критической температуры модель Изинга неупорядочена. В принципе, он мог бы посетить любой штат. Ниже перехода система случайным образом выбирает одну из двух возможностей и никогда не меняет своего решения.

Для любой конечной системы суперселекция несовершенна. Модель Изинга на конечной решетке в конечном итоге будет колебаться от наиболее положительного до наиболее отрицательного при любой ненулевой температуре, но это займет очень много времени. Время экспоненциально мало по сравнению с размером системы, измеренным в корреляционные длины, поэтому для всех практических целей переворот никогда не происходит даже в системах, которые всего в несколько раз превышают длину корреляции.

Непрерывные симметрии

Если статистическое или квантовое поле имеет три действительных скалярных поля ${ displaystyle phi _ {1}, phi _ {2}, phi _ {3}}$ , а энергия или действие зависят только от комбинаций, которые являются симметричными относительно вращения этих компонентов друг в друга, вклады с наименьшей размерностью равны (соглашение о суммировании ):

{ Displaystyle | набла фи _ {я} | ^ {2} + т фи ^ {2} + лямбда ( фи _ {я} ^ {2}) ^ {2} ,}

и определить действие в контексте квантового поля или свободную энергию в статистическом контексте. Есть две фазы. Когда t велико, потенциал стремится сдвинуть среднее значение ${ displaystyle phi}$ до нуля. При больших и отрицательных t квадратичный потенциал подталкивает ${ displaystyle phi}$ вне, но потенциал четвертой степени не позволяет ему стать бесконечным. Если это делается в квантовом интеграле по путям, это квантовый фазовый переход, в классической статистической сумме a классический фазовый переход.

Так как t движется к более отрицательным значениям в любом контексте, поле должно выбрать какое-то направление, чтобы указать. Сделав это, он не может изменить свое мнение. В системе есть упорядоченный. В упорядоченной фазе все еще есть небольшая симметрия - вращения вокруг оси разрушения. Поле может указывать в любом направлении, отмеченном всеми точками на единичной сфере в ${ displaystyle phi}$ пространство, которое является смежный пространство непрерывной подгруппы SO (2) в полной группе симметрии SO (3).

В неупорядоченной фазе секторы суперотбора описываются представлением SO (3), при котором данная конфигурация преобразуется глобально. Поскольку SO (3) не нарушен, разные представления не будут смешиваться друг с другом. Никакая локальная флуктуация никогда не приведет к появлению нетривиальных конфигураций SO (3) из бесконечности. Локальная конфигурация полностью определяется своим представлением.

Существует разрыв масс, или корреляционная длина, которая отделяет конфигурации с нетривиальными преобразованиями SO (3) от вращательно-инвариантного вакуума. Это верно до тех пор, пока не достигнет критической точки по t, когда массовый разрыв исчезнет, а корреляционная длина станет бесконечной. Исчезающая щель является признаком того, что флуктуации поля SO (3) вот-вот начнутся.

В упорядоченной области есть конфигурации полей, которые могут нести топологический заряд. Они помечены элементами второго гомотопическая группа ${ Displaystyle scriptstyle pi _ {2} (SO (3) / SO (2)) = mathbb {Z}}$ . Каждый из них описывает различную конфигурацию поля, которая на больших расстояниях от источника является конфигурацией обмотки. Хотя каждая такая изолированная конфигурация имеет бесконечную энергию, она помечает секторы суперселекции, где разница в энергии между двумя состояниями конечна. Кроме того, пары конфигураций обмоток с противоположным топологическим зарядом могут быть изготовлены в большом количестве при приближении к переходу снизу.

Когда номер намотки равен нулю, так что поле повсюду указывает в одном направлении, появляется дополнительная бесконечность секторов суперселекции, каждый из которых помечен разными значениями непрерывного заряда SO (2).

В упорядоченном состоянии есть массовый разрыв для секторов суперселекции, помеченных ненулевым целым числом, потому что топологические солитоны массивны, даже бесконечно массивны. Но для всех секторов суперселекции, помеченных нулем, нет разрыва в массе, потому что есть безмассовые Бозоны Голдстоуна описывающие колебания в направлении конденсата.

Если значения полей указаны под Z₂ отражение (соответствующее переворачиванию знака всех ${ displaystyle phi}$ поля), секторы суперселекции помечаются неотрицательным целым числом (абсолютное значение топологического заряда).

Заряды O (3) имеют смысл только в неупорядоченной фазе, а не в упорядоченной фазе. Это потому, что при нарушении симметрии возникает конденсат заряженный, не инвариантный относительно группы симметрии. И наоборот, топологический заряд имеет смысл только в упорядоченной фазе, а вовсе не в неупорядоченной фазе, потому что в неупорядоченной фазе каким-то размахивая рукой есть «топологический конденсат», который рандомизирует поле от точки к точке. Рандомизацию можно представить как пересечение множества сжатых границ топологической обмотки.

Сам вопрос о том, какие обвинения имеют смысл, во многом зависит от фазы. При приближении к фазовому переходу с неупорядоченной стороны масса заряженных частиц приближается к нулю. Подходя к нему с упорядоченной стороны, массовая щель, связанная с флуктуациями топологических солитонов, приближается к нулю.

Примеры в физике элементарных частиц

Механизм Хиггса

в стандартная модель Из физики элементарных частиц в электрослабом секторе модель низких энергий представляет собой SU (2) и U (1), разбитую на U (1) дублетом Хиггса. Единственное правило суперотбора, определяющее конфигурацию, - это полный электрический заряд. Если есть монополи, то монопольный заряд должен быть включен.

Если изменить t-параметр Хиггса так, чтобы он не приобрел вакуумного математического ожидания, Вселенная теперь симметрична относительно непрерывной калибровочной группы SU (2) и U (1). Если SU (2) имеет бесконечно слабые связи, так что он ограничивается только на огромных расстояниях, то представление группы SU (2) и заряда U (1) являются правилами суперотбора. Но если SU (2) имеет ненулевую связь, то суперселективные сектора разделены бесконечной массой, потому что масса любого состояния в нетривиальном представлении бесконечна.

Изменяя температуру, флуктуации Хиггса могут обнулить ожидаемое значение при конечной температуре. Выше этой температуры квантовые числа SU (2) и U (1) описывают сектора суперселекции. Ниже фазового перехода только электрический заряд определяет сектор суперселекции.

Киральный кварковый конденсат

Рассмотрим глобальный вкус симметрия QCD в киральном пределе, когда массы кварки равны нулю. Это не совсем та Вселенная, в которой мы живем, где верхние и нижние кварки имеют крошечную, но ненулевую массу, но это очень хорошее приближение, поскольку изоспин сохраняется.

Ниже определенной температуры, которая является температурой восстановления симметрии, фаза упорядочивается, образуется хиральный конденсат и образуются пионы малой массы. Солнце_ж) обвинения, Изоспин и Гиперзаряд и SU (3) имеют смысл. Выше температуры КХД находится неупорядоченная фаза, где SU (N_ж) × SU (N_ж) и цветные заряды SU (3) имеют смысл.

Остается открытым вопрос, является ли температура деконфайнмента КХД также температурой плавления хирального конденсата.

Примечания

^ Бартлетт, Стивен Д .; Рудольф, Терри; Спеккенс, Роберт В. (апрель – июнь 2007 г.). «Системы отсчета, правила суперотбора и квантовая информация». Обзоры современной физики. 79 (2): 555–606. arXiv:Quant-ph / 0610030. Bibcode:2007РвМП ... 79..555Б. Дои:10.1103 / RevModPhys.79.555.
^ Джулини, Доменико (2007). «Правила суперотбора». arXiv:0710.1516 [Quant-ph ].