Теорема Витали о сходимости - Википедия - Vitali convergence theorem

В реальный анализ и теория меры, то Теорема сходимости Витали, названный в честь Итальянский математик Джузеппе Витали, является обобщением наиболее известных теорема о доминируемой сходимости из Анри Лебег. Это характеристика сходимости в Lп с точки зрения сходимости по мере и условия, связанного с равномерная интегрируемость.

Формулировка теоремы

Позволять , с . Потом, в если и только если у нас есть

  • (я) сходиться в меру к .
  • (ii) Для каждого существует измеримое множество с так что для каждого не пересекаться с у нас на каждый
  • (iii) Для каждого Существует так что, если и то за каждый у нас есть

Замечание: Если конечно, то второе условие тривиально верно (просто выберите подмножество, которое покрывает все, кроме достаточно небольшой части всего диапазона). Кроме того, (i) и (iii) влечет равномерную интегрируемость , и равномерная интегрируемость следует (iii).[1]

Схема доказательства

Для доказательства утверждения 1 воспользуемся Лемма Фату:
  • Используя равномерную интегрируемость, существует так что у нас есть для каждого набора с
  • К Теорема Егорова, сходится равномерно на множестве . для большого и . С помощью неравенство треугольника,
  • Подстановка вышеуказанных оценок на правую часть леммы Фату дает нам утверждение 1.
Для утверждения 2 используйте , куда и .
  • Члены в правой части ограничены соответственно с помощью утверждения 1, равномерной интегрируемости и теорема Егорова для всех .

Обратное к теореме

Позволять быть позитивным измерить пространство. Если

  1. ,
  2. и
  3. существует для каждого

тогда равномерно интегрируемо.[2]

Цитаты

  1. ^ Сан-Мартин, Хайме (2016). Теория де ла Медида. п. 280.
  2. ^ Рудин, Вальтер (1986). Реальный и комплексный анализ. п. 133. ISBN  978-0-07-054234-1.

Рекомендации

  • Современные методы вариационного исчисления. 2007. ISBN  9780387357843.
  • Фолланд, Джеральд Б. (1999). Реальный анализ. Чистая и прикладная математика (Нью-Йорк) (второе изд.). Нью-Йорк: John Wiley & Sons Inc., стр. Xvi + 386. ISBN  0-471-31716-0. МИСТЕР1681462
  • Розенталь, Джеффри С. (2006). Первый взгляд на строгую теорию вероятностей (Второе изд.). Hackensack, NJ: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. стр. Xvi + 219. ISBN  978-981-270-371-2. МИСТЕР2279622

внешняя ссылка