Уравнение Ванье - Wannier equation

В Уравнение Ванье описывает квантово-механический проблема собственных значений в твердые вещества где электрон в зона проводимости и электронная вакансия (то есть дыра) внутри валентная полоса привлекают друг друга через Кулоновское взаимодействие. Для одного электрона и одной дырки эта задача аналогична проблеме Уравнение Шредингера из атом водорода; и связанное состояние решения называются экситоны. Когда радиус экситона простирается на несколько элементарные ячейки, он называется Экситон Ванье в отличие от Экситоны Френкеля размер которой сравним с элементарной ячейкой. Возбужденное твердое тело обычно содержит много электронов и дырок; это значительно изменяет уравнение Ванье. Полученное обобщенное уравнение Ванье может быть определено из однородной части уравнения полупроводниковые уравнения Блоха или уравнения люминесценции полупроводников.

Уравнение названо в честь Грегори Ванье.

Фон

Поскольку электрон и дырка имеют противоположные обвинения их взаимное кулоновское взаимодействие привлекательно. Соответствующие Уравнение Шредингера, в относительной координате ${ displaystyle mathbf {r}}$ , имеет ту же форму, что и атом водорода:

{ displaystyle - left [{ frac { hbar ^ {2} nabla ^ {2}} {2 mu}} + V ( mathbf {r}) right] phi _ { lambda} ( mathbf {r}) = E _ { lambda} phi _ { lambda} ( mathbf {r}) ,,}

с потенциалом, данным

{ displaystyle V ( mathbf {r}) = { frac {e ^ {2}} {4 pi varepsilon _ {r} varepsilon _ {0} | mathbf {r} |}} ,. }

Здесь, ${ displaystyle hbar}$ это приведенная постоянная Планка, ${ displaystyle nabla}$ - оператор набла, ${ displaystyle mu}$ это уменьшенная масса, ${ displaystyle - | e |}$ ( ${ displaystyle + | e |}$ ) это элементарный заряд связанный с электрон (дыра), ${ displaystyle varepsilon _ {r}}$ это относительная диэлектрическая проницаемость, и ${ displaystyle varepsilon _ {0}}$ это диэлектрическая проницаемость вакуума. Решения атом водорода описаны собственная функция ${ Displaystyle phi _ { lambda} ( mathbf {r})}$ и собственная энергия ${ displaystyle E _ { lambda}}$ куда ${ displaystyle lambda}$ это квантовое число, обозначающее различные состояния.

В твердом теле масштабирование ${ displaystyle E _ { lambda}}$ а размер волновой функции на порядки отличается от водородной задачи, поскольку относительная диэлектрическая проницаемость ${ displaystyle varepsilon _ {r}}$ примерно десять, а приведенная масса в твердом теле намного меньше, чем масса покоя электрона ${ displaystyle m_ {e}}$ , т.е. ${ displaystyle mu ll m_ {e}}$ . В результате радиус экситона может быть большим, а экситонный радиус энергия связи небольшой, обычно от нескольких до сотен мэВ, в зависимости от материала, по сравнению с эВ для водородной проблемы.^[1]^[2]

В Преобразованный Фурье версия представленного гамильтониана может быть записана как

{ displaystyle E _ { mathbf {k}} phi _ { lambda} ( mathbf {k}) - sum _ { mathbf {k '}} V _ { mathbf {k} - mathbf {k' }} phi _ { lambda} ( mathbf {k '}) = E _ { lambda} phi _ { lambda} ( mathbf {k}) ,,}

куда ${ displaystyle mathbf {k}}$ электронный волновой вектор, ${ displaystyle E _ { mathbf {k}}}$ кинетическая энергия и ${ displaystyle V _ { mathbf {k}}}$ , ${ displaystyle phi _ { lambda} ( mathbf {k})}$ являются преобразованиями Фурье ${ Displaystyle V ( mathbf {r})}$ , ${ Displaystyle phi _ { lambda} ( mathbf {r})}$ , соответственно. Кулоновские суммы следует из теорема свертки и ${ displaystyle mathbf {k}}$ -представление полезно при введении обобщенного уравнения Ванье.

Обобщенное уравнение Ванье

В Ванье Уравнение можно обобщить, включив в возбужденную систему много электронов и дырок. Можно исходить из общей теории либо оптических возбуждений, либо излучения света в полупроводники которые можно систематически описать с помощью полупроводниковые уравнения Блоха (SBE) или уравнения люминесценции полупроводников (SLE) соответственно.^[1]^[3]^[4] В однородные части из этих уравнений дают уравнение Ванье в пределе низкой плотности. Следовательно, однородные части SBE и SLE обеспечивают физически значимый способ идентификации экситонов на произвольных уровнях возбуждения. Результирующий обобщенное уравнение Ванье является

{ displaystyle { tilde { epsilon}} _ { mathbf {k}} phi _ { lambda} ^ { mathrm {R}} ( mathbf {k}) - sum _ { mathbf {k '}} V _ { mathbf {k} - mathbf {k'}} ^ { mathrm {eff}} phi _ { lambda} ^ { mathrm {R}} ( mathbf {k '}) = epsilon _ { lambda} phi _ { lambda} ^ { mathrm {R}} ( mathbf {k}) ,,}

где кинетическая энергия становится перенормированной

{ displaystyle { tilde { epsilon}} _ { mathbf {k}} = E _ { mathbf {k}} - sum _ { mathbf {k} '} V _ {{ mathbf {k}}' - { mathbf {k}}} left (f _ { mathbf {k} '} ^ {e} + f _ { mathbf {k}'} ^ {h} right) ,,}

заселенностями электронов и дырок ${ displaystyle f _ { mathbf {k}} ^ {e}}$ и ${ displaystyle f _ { mathbf {k}} ^ {h}}$ , соответственно. Они также изменяют кулоновское взаимодействие на

{ displaystyle V _ { mathbf {k} - mathbf {k '}} ^ { mathrm {eff}} Equiv (1-f _ { mathbf {k}} ^ { mathrm {e}} -f_ { mathbf {k}} ^ { mathrm {h}}) V _ { mathbf {k} - mathbf {k '}} ,,}

куда ${ Displaystyle (1-е _ { mathbf {k}} ^ { mathrm {e}} -f _ { mathbf {k}} ^ { mathrm {h}})}$ ослабляет кулоновское взаимодействие за счет так называемого коэффициент заполнения фазового пространства это проистекает из Принцип исключения Паули предотвращение множественных возбуждений фермионов. Из-за фактора заполнения фазового пространства кулоновское притяжение становится отталкивающим для уровней возбуждений ${ displaystyle f _ { mathbf {k}} ^ { mathrm {e}} + f _ { mathbf {k}} ^ { mathrm {h}}> 1}$ . В этом режиме обобщенное уравнение Ванье дает только несвязанные решения, которые следуют из экситонного Переход Мотта от привязанного к ионизированный электронно-дырочные пары.

При наличии электронно-дырочной плотности обобщенное уравнение Ванье не является Эрмитский больше. В результате проблема собственных значений имеет как левое и правое собственные состояния ${ displaystyle phi _ { lambda} ^ { mathrm {L}} ( mathbf {k})}$ и ${ Displaystyle phi _ { lambda} ^ { mathrm {R}} ( mathbf {k})}$ , соответственно. Они связаны через коэффициент заполнения фазового пространства, т.е. ${ displaystyle phi _ { lambda} ^ { mathrm {L}} ( mathbf {k}) = phi _ { lambda} ^ { mathrm {R}} ( mathbf {k}) / ( 1-f _ { mathbf {k}} ^ { mathrm {e}} -f _ { mathbf {k}} ^ { mathrm {h}})}$ . Левое и правое собственные состояния имеют одинаковое собственное значение ${ displaystyle E _ { lambda}}$ (что является действительным знаком для показанной формы), и они образуют полный набор ортогональных решений, поскольку

{ displaystyle sum _ { mathbf {k}} left [ phi _ { lambda} ^ {L} ( mathbf {k}) right] ^ { star} , phi _ { nu } ^ {R} ( mathbf {k}) = sum _ { mathbf {k}} left [ phi _ { lambda} ^ {R} ( mathbf {k}) right] ^ { звезда} , phi _ { nu} ^ {L} ( mathbf {k}) = delta _ { lambda, nu}}

.

Уравнения Ванье также можно обобщить, чтобы включить эффекты рассеяния и экранирования, которые возникают из-за двухчастичные корреляции в рамках SBE. Это расширение также производит левое и правое собственное состояние, но их связь более сложна.^[4] чем представлено выше. Кроме того, ${ displaystyle E _ { lambda}}$ становится комплекснозначным, и мнимая часть ${ displaystyle E _ { lambda}}$ определяет продолжительность жизни резонанса ${ displaystyle lambda}$ .

Физически обобщенное уравнение Ванье описывает, как присутствие других электронно-дырочных пар изменяет связывание одной эффективной пары. В качестве основного следствия возбуждение имеет тенденцию ослаблять кулоновское взаимодействие и перенормировать одночастичные энергии в простейшей форме. После включения корреляционных эффектов можно дополнительно наблюдать экранирование кулоновского взаимодействия, дефазировку, вызванную возбуждением, и сдвиги энергии, вызванные возбуждением. Все эти аспекты важны при подробном объяснении экспериментов с полупроводниками.

Приложения

Из-за аналогии с проблемой водорода, собственные состояния нулевой плотности известны аналитически для любого объемного полупроводника, когда возбуждения близки к дну электронные группы изучаются.^[5] В наноструктурированный^[6] материалы, такие как квантовые ямы, квантовые провода, и квантовые точки, элемент кулоновской матрицы ${ displaystyle V _ { mathbf {k}}}$ сильно отклоняется от идеальных двумерных и трехмерных систем из-за конечных квантовое ограничение электронных состояний. Следовательно, нельзя аналитически решить уравнение Ванье с нулевой плотностью для таких ситуаций, но необходимо прибегать к численным методам расчета собственных значений. Вообще говоря, для всех полупроводниковых случаев возможны только численные решения, когда экситонные состояния решаются в возбужденном веществе. Дальнейшие примеры показаны в контексте Формула Эллиотта.

Уравнение Ванье - Wannier equation

Содержание

Фон

Обобщенное уравнение Ванье

Приложения

Смотрите также

Рекомендации