Полупроводниковые уравнения Блоха - Semiconductor Bloch equations

В полупроводник Блох уравнения^[1] (сокращенно SBE) описывают оптический отклик полупроводники взволнован последовательный классические источники света, такие как лазеры. Они основаны на полной квантовой теории и образуют замкнутый набор интегро-дифференциальные уравнения для квантовая динамика микроскопических поляризация и носитель заряда распространение.^[2]^[3] SBE названы в честь структурной аналогии с оптические уравнения Блоха описывающие динамику возбуждения в двухуровневый атом взаимодействуя с классическим электромагнитное поле. В качестве основной сложности, выходящей за рамки атомарного подхода, SBE должны учитывать многотельный взаимодействия в результате Кулон сила между зарядами и связь между колебания решетки и электроны. SBE - один из самых сложных и успешных подходов к описанию оптических свойств полупроводников, происходящих из классического взаимодействия света и вещества, когда-то теория многих тел систематически включены.

Задний план

Оптический отклик полупроводника следует, если можно определить его макроскопическую поляризацию ${ displaystyle mathbf {P}}$ как функция электрического поля ${ displaystyle mathbf {E}}$ это возбуждает его. Связь между ${ displaystyle mathbf {P}}$ и микроскопическая поляризация ${ displaystyle P _ { mathbf {k}}}$ дан кем-то

${ displaystyle mathbf {P} = mathbf {d} , sum _ { mathbf {k}} P _ { mathbf {k}} + operatorname {c.c.} ;,}$

где в сумму входят импульсы кристалла ${ displaystyle hbar { mathbf {k}}}$ всех соответствующих электронных состояний. В полупроводниковой оптике обычно возбуждаются переходы между валентность и зона проводимости. В этой связи, ${ displaystyle mathbf {d}}$ это диполь матричный элемент между зоной проводимости и валентной зоной и ${ displaystyle P _ { mathbf {k}}}$ определяет соответствующую амплитуду перехода.

Вывод SBE начинается с системы Гамильтониан это полностью включает свободные частицы, Кулоновское взаимодействие, дипольное взаимодействие между классическим световым и электронным состояниями, а также фонон взносы.^[3] Как почти всегда в физика многих тел, удобнее всего применять вторичное квантование формализм после соответствующего системного гамильтониана ${ displaystyle { hat {H}} _ { mathrm {System}}}$ идентифицирован. Затем можно вывести квантовую динамику соответствующих наблюдаемые ${ displaystyle { hat { mathcal {O}}}}$ используя Уравнение движения Гейзенберга

${ displaystyle mathrm {i} hbar { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} t}} langle { hat { mathcal {O}}} rangle = langle [{ шляпа { mathcal {O}}}, { hat {H}} _ { mathrm {System}}] _ {-} rangle ;.}$

Из-за взаимодействия многих тел внутри ${ displaystyle { hat {H}} _ { mathrm {System}}}$ , динамика наблюдаемых ${ displaystyle { hat { mathcal {O}}}}$ пары с новыми наблюдаемыми, и структура уравнения не может быть закрыта. Это всем известный Иерархия BBGKY проблема, которая может быть систематически усечена различными методами, такими как кластерный подход.^[4]

На уровне оператора микроскопическая поляризация определяется математическим ожиданием одного электронного перехода между валентной зоной и зоной проводимости. При вторичном квантовании электроны в зоне проводимости определяются как фермионный операторы создания и уничтожения ${ displaystyle { hat {a}} _ {c, { mathbf {k}}} ^ { dagger}}$ и ${ displaystyle { hat {a}} _ {c, { mathbf {k}}}}$ соответственно. Аналогичная идентификация, т. Е. ${ displaystyle { hat {a}} _ {v, { mathbf {k}}} ^ { dagger}}$ и ${ displaystyle { hat {a}} _ {v, { mathbf {k}}}}$ , сделана для электронов валентной зоны. Тогда соответствующий электронный межзонный переход принимает вид

${ displaystyle P _ { mathbf {k}} ^ { star} = langle { hat {a}} _ {c, mathbf {k}} ^ { dagger} { hat {a}} _ { v, mathbf {k}} rangle ,, qquad P _ { mathbf {k}} = langle { hat {a}} _ {v, mathbf {k}} ^ { dagger} { шляпа {а}} _ {с, mathbf {k}} rangle ,,}$

описывающие амплитуды переходов для перемещения электрона из зоны проводимости в валентную зону ( ${ displaystyle P _ { mathbf {k}} ^ { star}}$ срок) или наоборот ( ${ displaystyle P _ { mathbf {k}}}$ срок). В то же время распределение электронов следует из

${ displaystyle f _ { mathbf {k}} ^ {e} = langle { hat {a}} _ {c, mathbf {k}} ^ { dagger} { hat {a}} _ {c , mathbf {k}} rangle ;.}$

Также удобно проследить за распределением электронных вакансий, т.е. дыры,

${ displaystyle f _ { mathbf {k}} ^ {h} = 1- langle { hat {a}} _ {v, mathbf {k}} ^ { dagger} { hat {a}} _ {v, mathbf {k}} rangle = langle { hat {a}} _ {v, mathbf {k}} { hat {a}} _ {v, mathbf {k}} ^ { dagger} rangle}$

которые остаются в валентной зоне из-за процессов оптического возбуждения.

Принципиальная структура SBE

Квантовая динамика оптических возбуждений дает интегро-дифференциальные уравнения которые составляют SBE^[1]^[3]

Полупроводниковые уравнения Блоха

${ displaystyle mathrm {i} hbar { frac { partial} { partial t}} P _ { mathbf {k}} = { tilde { varepsilon}} _ { mathbf {k}} P_ { mathbf {k}} - left [1-f _ { mathbf {k}} ^ {e} (t) -f _ { mathbf {k}} ^ {h} (t) right] Omega _ { mathbf {k}} + mathrm {i} hbar left. { frac { partial} { partial t}} P _ { mathbf {k}} right | _ { mathrm {scatter}} ,,}$

${ displaystyle hbar { frac { partial} { partial t}} f _ { mathbf {k}} ^ {e} = 2 operatorname {Im} left [ Omega _ { mathbf {k}} ^ { star} P _ { mathbf {k}} right] + hbar left. { frac { partial} { partial t}} f _ { mathbf {k}} ^ {e} right | _ { mathrm {scatter}} ,,}$

${ displaystyle hbar { frac { partial} { partial t}} f _ { mathbf {k}} ^ {h} = 2 operatorname {Im} left [ Omega _ { mathbf {k}} ^ { star} P _ { mathbf {k}} right] + hbar left. { frac { partial} { partial t}} f _ { mathbf {k}} ^ {h} right | _ { mathrm {scatter}} ;}$

Они содержат перенормированный Энергия раби

${ displaystyle Omega _ { mathbf {k}} = mathbf {d} cdot mathbf {E} + sum _ { mathbf {k} ' neq mathbf {k}} V _ { mathbf { k} - mathbf {k} '} P _ { mathbf {k}'}}$

так же хорошо как перенормированная энергия носителя

${ displaystyle { tilde { varepsilon}} _ { mathbf {k}} = varepsilon _ { mathbf {k}} - sum _ { mathbf {k} ' neq mathbf {k}} V_ { mathbf {k} - mathbf {k} '} left [f _ { mathbf {k}'} ^ {e} + f _ { mathbf {k} '} ^ {h} right] ,, }$

где ${ displaystyle varepsilon _ { mathbf {k}}}$ соответствует энергии свободного электронно-дырочные пары и ${ displaystyle V _ { mathbf {k}}}$ кулоновский матричный элемент, выраженный здесь через несущий волновой вектор ${ displaystyle mathbf {k}}$ .

Символически обозначенный ${ displaystyle left. cdots right | _ { mathrm {scatter}}}$ вклады проистекают из иерархической связи из-за взаимодействий многих тел. Концептуально, ${ displaystyle P _ { mathbf {k}}}$ , ${ displaystyle f _ { mathbf {k}} ^ {e}}$ , и ${ displaystyle f _ { mathbf {k}} ^ {h}}$ представляют собой одночастичные математические ожидания, в то время как иерархическая связь возникает из двухчастичных корреляций, таких как корреляции поляризационной плотности или корреляции поляризационных фононов. Физически эти двухчастичные корреляции вносят несколько нетривиальных эффектов, таких как скрининг кулоновского взаимодействия, больцмановского рассеяния ${ displaystyle f _ { mathbf {k}} ^ {e}}$ и ${ displaystyle f _ { mathbf {k}} ^ {h}}$ к Распределение Ферми – Дирака, дефазировка, вызванная возбуждением, и др. перенормировка энергий за счет корреляций.

Все эти корреляционные эффекты можно систематически включить, решив также динамику двухчастичных корреляций.^[5] На этом уровне сложности можно использовать SBE для прогнозирования оптического отклика полупроводников без феноменологический параметры, что дает SBE очень высокую степень предсказуемости. Действительно, можно использовать SBE для прогнозирования подходящих конструкций лазеров на основе точных знаний, которые они дают о спектр усиления полупроводника. Можно даже использовать SBE для вывода о существовании корреляций, таких как связанные экситоны, из количественных измерений.^[6]

Представленные SBE сформулированы в импульсном пространстве, поскольку импульс кристалла носителя следует из ${ displaystyle hbar mathbf {k}}$ . Эквивалентная система уравнений также может быть сформулирована в пространстве позиций.^[7] Однако, особенно, корреляционные вычисления намного проще выполнять в импульсном пространстве.

Толкование и последствия

Характерный линейный спектр поглощения

{ Displaystyle альфа (E)}

объемного GaAs с использованием двухзонных SBE. Затухание поляризации аппроксимируется постоянной затухания

{ displaystyle hbar gamma = 0,13 , mathrm {мэВ}}

и

{ Displaystyle альфа (E)}

вычисляется как функция энергии фотона поля накачки

{ displaystyle E}

. Энергия сдвинута относительно энергии запрещенной зоны

{ Displaystyle E _ { mathrm {пробел}} = 1,490 , mathrm {мэВ}}

и полупроводник изначально невозбужден. Из-за использования небольшой постоянной дефазировки несколько экситонных резонансов появляются значительно ниже запрещенной энергии. Величина высокоэнергетических резонансов умножается на 5 для наглядности.

В ${ displaystyle P _ { mathbf {k}}}$ динамический показывает структуру, в которой ${ displaystyle P _ { mathbf {k}}}$ связан с все другие микроскопические поляризации из-за кулоновского взаимодействия ${ displaystyle V _ { mathbf {k}}}$ . Следовательно, амплитуда перехода ${ displaystyle P _ { mathbf {k}}}$ коллективно модифицируется наличием других амплитуд переходов. Только если установить ${ Displaystyle V _ { mathbf {k}}}$ к нулю обнаруживаются изолированные переходы внутри каждого ${ displaystyle { mathbf {k}}}$ состояния, которые следуют точно такой же динамике, как оптические уравнения Блоха предсказывать. Следовательно, уже кулоновское взаимодействие между ${ displaystyle P _ { mathbf {k}}}$ производит новый твердое состояние эффект по сравнению с оптическими переходами в простых атомах.

Концептуально, ${ displaystyle P _ { mathbf {k}}}$ представляет собой просто амплитуду перехода для возбуждения электрона из валентной зоны в зону проводимости. В то же время однородная часть ${ displaystyle P _ { mathbf {k}}}$ динамика дает проблема собственных значений что может быть выражено через обобщенное уравнение Ванье. Собственные состояния уравнения Ванье аналогичны связанным решениям уравнения водород проблема квантовой механики. Их часто называют экситон растворов, и они формально описывают кулоновское связывание противоположно заряженными электронами и дырками.

Однако реальный экситон является истинной двухчастичной корреляцией, потому что тогда должна быть корреляция между одним электроном и другой дыркой. Поэтому появление экситонных резонансов в поляризации не означает наличия экситонов, поскольку ${ displaystyle P _ { mathbf {k}}}$ - амплитуда одночастичного перехода. Экситонные резонансы являются прямым следствием кулоновского взаимодействия всех возможных переходов в системе. Другими словами, сами одночастичные переходы подвержены влиянию кулоновского взаимодействия, что позволяет детектировать экситонный резонанс в оптическом отклике, даже когда истинных экситонов нет.^[8]

Поэтому часто оптические резонансы принято называть экситоннымиIC вместо экситонных резонансов. Реальную роль экситонов в оптическом отклике можно вывести только по количественным изменениям, вызывающим ширина линии энергетический сдвиг экситонных резонансов.^[6]

Решения уравнения Ванье могут дать ценную информацию об основных свойствах оптического отклика полупроводника. В частности, можно решить стационарные решения SBE для аналитического прогнозирования спектра оптического поглощения с помощью так называемого Формула Эллиотта. В таком виде можно проверить, что невозбужденный полупроводник демонстрирует несколько резонансов экситонного поглощения, значительно меньших энергии основной запрещенной зоны. Очевидно, что эта ситуация не может быть зондированием экситонов, поскольку исходная система многих тел изначально не содержит электронов и дырок. Кроме того, в принципе зондирование может проводиться настолько аккуратно, что электронно-дырочные пары практически не возбуждаются. Эта мысленный эксперимент хорошо иллюстрирует, почему можно обнаруживать экситонные резонансы, не имея экситонов в системе, все благодаря кулоновскому взаимодействию между амплитудами переходов.

Расширения

SBE особенно полезны при решении проблемы распространения света через полупроводниковую структуру. В этом случае необходимо решать SBE вместе с Уравнения Максвелла управляемый оптической поляризацией. Эта самосогласованный Набор называется Maxwell – SBEs и часто применяется для анализа современных экспериментов и моделирования конструкций устройств.

На этом уровне SBE обеспечивают чрезвычайно универсальный метод, который описывает как линейные, так и нелинейные явления, такие как экситонный эффекты, эффекты распространения, полупроводник микрополость эффекты, четырехволновое смешение, поляритоны в полупроводниковых микрополостях, спектроскопия усиления, и так далее.^[4]^[8]^[9] Можно также обобщить SBE, включив возбуждение терагерцовыми (ТГц) полями^[5] которые обычно резонируют с внутризонными переходами. Можно также квантовать световое поле и исследовать квантово-оптический эффекты, которые результат. В этой ситуации SBE становятся связанными с уравнения люминесценции полупроводников.

Смотрите также

дальнейшее чтение

Эшкрофт, Нил У .; Мермин, Н. Дэвид (1976). Физика твердого тела. Холт, Райнхарт и Уинстон. ISBN 978-0-03-083993-1.
Шах, Дж. (1999). Сверхбыстрая спектроскопия полупроводников и полупроводниковых наноструктур (2-е изд.). Springer. ISBN 978-3-540-64226-8.
Киттель, К. (2004). Введение в физику твердого тела (8-е изд.). World Scientific. ISBN 978-0471415268.
Haug, H .; Кох, С. В. (2009). Квантовая теория оптических и электронных свойств полупроводников. (5-е изд.). World Scientific. ISBN 978-9812838841.
Клингширн, К. Ф. (2006). Полупроводниковая оптика. Springer. ISBN 978-3540383451.
Кира, М .; Кох, С. В. (2011). Полупроводниковая квантовая оптика. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521875097.

использованная литература

^ ^а ^б Lindberg, M .; Кох, С. В. (1988). «Эффективные уравнения Блоха для полупроводников». Физический обзор B 38 (5): 3342–3350. doi:10.1103% 2FPhysRevB.38.3342
^ Schäfer, W .; Вегенер, М. (2002). Полупроводниковая оптика и явления переноса. Springer. ISBN 3540616144.
^ ^а ^б ^c Haug, H .; Кох, С. В. (2009). Квантовая теория оптических и электронных свойств полупроводников. (5-е изд.). World Scientific. п. 216. ISBN 9812838848.
^ ^а ^б Кира, М .; Кох, С. В. (2011). Полупроводниковая квантовая оптика. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521875097.
^ ^а ^б Кира, М .; Кох, С. (2006). «Многотельные корреляции и экситонные эффекты в спектроскопии полупроводников». Прогресс в квантовой электронике 30 (5): 155–296. doi:10.1016 / j.pquantelec.2006.12.002
^ ^а ^б Smith, R.P .; Wahlstrand, J. K .; Funk, A.C .; Мирин, Р. П .; Cundiff, S.T .; Steiner, J. T .; Schafer, M .; Кира, М. и др. (2010). «Извлечение многочастичных конфигураций из нелинейного поглощения в полупроводниковых квантовых ямах». Письма с физическими проверками 104 (24). doi:10.1103 / PhysRevLett.104.247401
^ Шталь, А. (1984). «Электродинамика запрещенной зоны в прямозонном полупроводнике». Твердотельные коммуникации 49 (1): 91–93. doi:10.1016/0038-1098(84)90569-6
^ ^а ^б Koch, S.W .; Кира, М .; Хитрова, Г.; Гиббс, Х. М. (2006). «Полупроводниковые экситоны в новом свете». Материалы Природы 5 (7): 523–531. doi:10.1038 / nmat1658
^ Клингширн, К. Ф. (2006). Полупроводниковая оптика. Springer. ISBN 978-3540383451.

[Lindberg88-1] а ^б Lindberg, M .; Кох, С. В. (1988). «Эффективные уравнения Блоха для полупроводников». Физический обзор B 38 (5): 3342–3350. doi:10.1103% 2FPhysRevB.38.3342

[Schafer2002-2] Schäfer, W .; Вегенер, М. (2002). Полупроводниковая оптика и явления переноса. Springer. ISBN 3540616144.

[Haug2009-3] а ^б ^c Haug, H .; Кох, С. В. (2009). Квантовая теория оптических и электронных свойств полупроводников. (5-е изд.). World Scientific. п. 216. ISBN 9812838848.

[Kira2011-4] а ^б Кира, М .; Кох, С. В. (2011). Полупроводниковая квантовая оптика. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521875097.

[Kira2006-5] а ^б Кира, М .; Кох, С. (2006). «Многотельные корреляции и экситонные эффекты в спектроскопии полупроводников». Прогресс в квантовой электронике 30 (5): 155–296. doi:10.1016 / j.pquantelec.2006.12.002

[Smith2010-6] а ^б Smith, R.P .; Wahlstrand, J. K .; Funk, A.C .; Мирин, Р. П .; Cundiff, S.T .; Steiner, J. T .; Schafer, M .; Кира, М. и др. (2010). «Извлечение многочастичных конфигураций из нелинейного поглощения в полупроводниковых квантовых ямах». Письма с физическими проверками 104 (24). doi:10.1103 / PhysRevLett.104.247401

[Stahl1984-7] Шталь, А. (1984). «Электродинамика запрещенной зоны в прямозонном полупроводнике». Твердотельные коммуникации 49 (1): 91–93. doi:10.1016/0038-1098(84)90569-6

[Koch2006-8] а ^б Koch, S.W .; Кира, М .; Хитрова, Г.; Гиббс, Х. М. (2006). «Полупроводниковые экситоны в новом свете». Материалы Природы 5 (7): 523–531. doi:10.1038 / nmat1658

[Klingshirn2006-9] Клингширн, К. Ф. (2006). Полупроводниковая оптика. Springer. ISBN 978-3540383451.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]