Теория аффинной калибровки - Википедия - Affine gauge theory

Аффинная калибровочная теория является классическая калибровочная теория где калибровочные поля аффинные связи на касательный пучок через гладкое многообразие ${ displaystyle X}$ . Например, это калибровочная теория вывихи в непрерывные СМИ когда ${ Displaystyle X = mathbb {R} ^ {3}}$ , обобщение метрическо-аффинная теория гравитации когда ${ displaystyle X}$ это мировое многообразие и, в частности, калибровочная теория пятая сила.

Аффинный касательный пучок

Быть векторный набор, касательное расслоение ${ displaystyle TX}$ из ${ displaystyle n}$ -мерное многообразие ${ displaystyle X}$ допускает естественную структуру аффинный пучок ${ displaystyle ATX}$ , называется аффинно-касательное расслоение, обладающие атласами расслоений с аффинными функциями перехода. Это связано с основной пакет ${ displaystyle AFX}$ аффинных реперов в касательном пространстве над ${ displaystyle X}$ , чей структурная группа это общая аффинная группа ${ Displaystyle GA (п, mathbb {R})}$ .

Касательный пучок ${ displaystyle TX}$ связан с принципалом линейный пучок кадров ${ Displaystyle FX}$ , структурная группа которого является общая линейная группа ${ Displaystyle GL (п, mathbb {R})}$ . Это подгруппа ${ Displaystyle GA (п, mathbb {R})}$ так что последний является полупрямым произведением ${ Displaystyle GL (п, mathbb {R})}$ и группа ${ Displaystyle Т ^ {п}}$ переводов.

Есть каноническое вложение ${ Displaystyle FX}$ к ${ displaystyle AFX}$ на сокращенная основная подгруппа что соответствует канонической структуре векторного расслоения ${ displaystyle TX}$ как аффинный.

Даны координаты линейного пучка

{ displaystyle (x ^ { mu}, { dot {x}} ^ { mu}), qquad { dot {x}} '^ { mu} = { frac { partial x' ^ { mu}} { partial x ^ { nu}}} { dot {x}} ^ { nu}, qquad qquad (1)}

на касательном расслоении ${ displaystyle TX}$ , аффинному касательному расслоению могут быть заданы координаты

{ displaystyle (x ^ { mu}, { widetilde {x}} ^ { mu} = { dot {x}} ^ { mu} + a ^ { mu} (x ^ { alpha}) )), qquad { widetilde {x}} '^ { mu} = { frac { partial x' ^ { mu}} { partial x ^ { nu}}} { widetilde {x} } ^ { nu} + b ^ { mu} (x ^ { alpha}). qquad qquad (2)}

и, в частности, с линейными координатами (1).

Аффинные калибровочные поля

Аффинное касательное расслоение ${ displaystyle ATX}$ признает аффинная связь ${ displaystyle A}$ который связан с основная связь на связке аффинных фреймов ${ displaystyle AFX}$ . В аффинной калибровочной теории это рассматривается как аффинное калибровочное поле.

Учитывая координаты линейного расслоения (1) на ${ displaystyle ATX = TX}$ , аффинная связь ${ displaystyle A}$ представлен касательная форма связи

{ displaystyle A = dx ^ { lambda} otimes [ partial _ { lambda} + ( Gamma _ { lambda} {} ^ { mu} {} _ { nu} (x ^ { alpha }) { dot {x}} ^ { nu} + sigma _ { lambda} ^ { mu} (x ^ { alpha})) { dot { partial}} _ { mu}] . qquad qquad (3)}

Эта аффинная связь определяет уникальное линейное соединение

{ displaystyle Gamma = dx ^ { lambda} otimes [ partial _ { lambda} + Gamma _ { lambda} {} ^ { mu} {} _ { nu} (x ^ { alpha }) { dot {x}} ^ { nu} { dot { partial}} _ { mu}] qquad qquad (4)}

на ${ displaystyle TX}$ , который связан с основным подключением на ${ Displaystyle FX}$ .

И наоборот, каждая линейная связь ${ displaystyle Gamma}$ (4) на ${ displaystyle TX to X}$ продолжается до аффинного ${ displaystyle A Gamma}$ на ${ displaystyle ATX}$ которое дается тем же выражением (4), что и ${ displaystyle Gamma}$ относительно координат расслоения (1) на ${ displaystyle ATX = TX}$ , но он принимает форму

{ displaystyle A Gamma = dx ^ { lambda} otimes [ partial _ { lambda} + ( Gamma _ { lambda} {} ^ { mu} {} _ { nu} (x ^ { alpha}) { widetilde {x}} ^ { nu} + s _ { lambda} ^ { mu} (x ^ { alpha})) { widetilde { partial}} _ { mu}] , qquad s _ { lambda} ^ { mu} = - Gamma _ { lambda} {} ^ { mu} {} _ { nu} a ^ { nu} + partial _ { lambda} а ^ { mu},}

относительно аффинных координат (2).

Тогда любая аффинная связность ${ displaystyle A}$ (3) на ${ displaystyle ATX to X}$ представлен суммой

{ Displaystyle А = А Гамма + сигма qquad qquad (5)}

протяженной линейной связи ${ displaystyle A Gamma}$ и основная форма пайки

{ displaystyle sigma = sigma _ { lambda} ^ { mu} (x ^ { alpha}) dx ^ { lambda} otimes partial _ { mu} qquad qquad (6)}

на ${ displaystyle TX}$ , куда ${ Displaystyle { точка { partial}} _ { mu} = partial _ { mu}}$ из-за канонического изоморфизма ${ displaystyle VATX = ATX times _ {X} TX}$ из вертикальный касательный пучок ${ displaystyle VATX}$ из ${ displaystyle ATX}$ .

Относительно линейных координат (1) сумма (5) сводится к сумме ${ Displaystyle А = Гамма + сигма}$ линейной связи ${ displaystyle Gamma}$ и форма пайки ${ displaystyle sigma}$ (6). В этом случае форма пайки ${ displaystyle sigma}$ (6) часто рассматривается как поле датчика перевода, хотя это не связь.

Отметим, что истинное трансляционное калибровочное поле (т. Е. Аффинная связность, которая дает плоскую линейную связность на ${ displaystyle TX}$ ) корректно определена только на параллелизируемое многообразие ${ displaystyle X}$ .

Калибровочная теория дислокаций

В теории поля встречается проблема физической интерпретации трансляционных калибровочных полей, поскольку нет полей, подверженных калибровочным трансляциям. ${ Displaystyle и (х) к и (х) + а (х)}$ . В то же время такое поле наблюдается в калибровочной теории дислокаций в сплошных средах, поскольку при наличии дислокаций векторы смещения ${ displaystyle u ^ {k}}$ , ${ displaystyle k = 1,2,3}$ , малых деформаций определяются только с точностью до калибровочных переводов ${ Displaystyle и ^ {к} к и ^ {к} + а ^ {к} (х)}$ .

В этом случае пусть ${ Displaystyle X = mathbb {R} ^ {3}}$ , и пусть аффинная связность принимает вид

{ displaystyle A = dx ^ {i} otimes ( partial _ {i} + A_ {i} ^ {j} (x ^ {k}) { widetilde { partial}} _ {j})}

относительно координат аффинного расслоения (2). Это трансляционное калибровочное поле, коэффициенты которого ${ displaystyle A_ {l} ^ {j}}$ описать пластик искажение, ковариантные производные ${ displaystyle D_ {j} u ^ {i} = partial _ {j} u ^ {i} -A_ {j} ^ {i}}$ совпадают с упругой деформацией, а сила ${ displaystyle F_ {ji} ^ {k} = partial _ {j} A_ {i} ^ {k} - partial _ {i} A_ {j} ^ {k}}$ - плотность дислокаций.

Уравнения калибровочной теории дислокаций выводятся из калибровочного инварианта Плотность лагранжиана

{ displaystyle L _ {( sigma)} = mu D_ {i} u ^ {k} D ^ {i} u_ {k} + { frac { lambda} {2}} (D_ {i} u ^ {i}) ^ {2} - epsilon F ^ {k} {} _ {ij} F_ {k} {} ^ {ij},}

где ${ displaystyle mu}$ и ${ displaystyle lambda}$ являются Параметры Ламе изотропных сред. Однако эти уравнения не являются независимыми, поскольку поле смещения ${ Displaystyle и ^ {к} (х)}$ может быть удален с помощью калибровочных преобразований и, следовательно, не может быть динамической переменной.

Калибровочная теория пятой силы

В калибровочная теория гравитации на мировом многообразии ${ displaystyle X}$ , можно рассматривать аффинную, но не линейную связность на касательном расслоении ${ displaystyle TX}$ из ${ displaystyle X}$ . Заданы координаты расслоения (1) на ${ displaystyle TX}$ , она принимает вид (3) где линейная связь ${ displaystyle Gamma}$ (4) и основная форма пайки ${ displaystyle sigma}$ (6) рассматриваются как независимые переменные.

Как было сказано выше, форма пайки ${ displaystyle sigma}$ (6) часто рассматривается как поле калибровки сдвига, хотя это не связь. С другой стороны, ошибочно идентифицируют ${ displaystyle sigma}$ с тетрадное поле. Однако это разные математические объекты, потому что форма пайки - это часть тензорного пучка. ${ displaystyle TX otimes T ^ {*} X}$ , а тетрадное поле - это локальный участок Редуцированная подгруппа Лоренца комплекта кадров ${ Displaystyle FX}$ .

В духе вышеупомянутой калибровочной теории дислокаций было высказано предположение, что поле пайки ${ displaystyle sigma}$ могу описать sui generi деформации мирового многообразия ${ displaystyle X}$ которые задаются морфизмом расслоений

{ displaystyle s: TX ni partial _ { lambda} to partial _ { lambda} rfloor ( theta + sigma) = ( delta _ { lambda} ^ { nu} + sigma _ { lambda} ^ { nu}) partial _ { nu} in TX,}

где ${ displaystyle theta = dx ^ { mu} otimes partial _ { mu}}$ это тавтологический однообразный.

Тогда считается метрическо-аффинная теория гравитации ${ displaystyle (g, Gamma)}$ на деформированном мировом многообразии как на деформированной псевдоримановой метрике ${ displaystyle { widetilde {g}} ^ { mu nu} = s _ { alpha} ^ { mu} s _ { beta} ^ { nu} g ^ { alpha beta}}$ когда лагранжиан поля пайки ${ displaystyle sigma}$ принимает форму

{ displaystyle L _ {( sigma)} = { frac {1} {2}} [a_ {1} T ^ { mu} {} _ { nu mu} T _ { alpha} {} ^ { nu alpha} + a_ {2} T _ { mu nu alpha} T ^ { mu nu alpha} + a_ {3} T _ { mu nu alpha} T ^ { nu mu alpha} + a_ {4} epsilon ^ { mu nu alpha beta} T ^ { gamma} {} _ { mu gamma} T _ { beta nu alpha} - mu sigma ^ { mu} {} _ { nu} sigma ^ { nu} {} _ { mu} + lambda sigma ^ { mu} {} _ { mu} sigma ^ { nu} {} _ { nu}] { sqrt {-g}}}

,

где ${ Displaystyle эпсилон ^ { му ню альфа бета}}$ это Символ Леви-Чивита, и

{ Displaystyle T ^ { alpha} {} _ { nu mu} = D _ { nu} sigma ^ { alpha} {} _ { mu} -D _ { mu} sigma ^ { alpha } {} _ { nu}}

это кручение линейной связи ${ displaystyle Gamma}$ относительно формы пайки ${ displaystyle sigma}$ .

В частности, рассмотрим эту калибровочную модель в случае малых гравитационных полей и полей пайки, источником вещества которых является точечная масса. Затем приходит модифицированный Ньютоновский потенциал из пятая сила тип.

Смотрите также

использованная литература

А. Кадич, Д. Эделен, Калибровочная теория дислокаций и дисклинаций, Конспект лекций по физике 174 (Спрингер, Нью-Йорк, 1983), ISBN 3-540-11977-9
Г. Сарданашвили, О. Захаров, Теория калибровочной гравитации (World Scientific, Сингапур, 1992 г.), ISBN 981-02-0799-9
К. Малышев, Функции дислокационных напряжений из уравнений двойного ротора T (3): линейность и перспективы, Анналы физики 286 (2000) 249.

внешние ссылки

Г. Сарданашвили, Гравитация как поле Хиггса. III. Негравитационные отклонения гравитационного поля, arXiv:gr-qc / 9411013.