Метрическо-аффинная теория гравитации - Википедия - Metric-affine gravitation theory

По сравнению с Общая теория относительности, динамические переменные метрическо-аффинная теория гравитации оба являются псевдориманова метрика и общая линейная связь на мировое многообразие ${ displaystyle X}$ . Метрически-аффинная теория гравитации была предложена как естественное обобщение Теория Эйнштейна – Картана гравитации с кручение где линейная связность подчиняется условию, что ковариантная производная метрики равна нулю.

Метрическо-аффинная теория гравитации прямо исходит из калибровочная теория гравитации где общая линейная связность играет роль калибровочное поле. Позволять ${ displaystyle TX}$ быть касательный пучок над многообразием ${ displaystyle X}$ снабжены координатами связки ${ Displaystyle (х ^ { му}, { точка {х}} ^ { му})}$ . Общая линейная связь на ${ displaystyle TX}$ представлен касательная форма связи

{ displaystyle Gamma = dx ^ { lambda} otimes ( partial _ { lambda} + Gamma _ { lambda} {} ^ { mu} {} _ { nu} { dot {x} } ^ { nu} { dot { partial}} _ { mu}).}

Это связано с основная связь на главном комплект кадров ${ Displaystyle FX}$ реперов в касательных пространствах к ${ displaystyle X}$ чей структурная группа это общая линейная группа ${ Displaystyle GL (4, mathbb {R})}$ . Следовательно, его можно рассматривать как калибровочное поле. Псевдориманова метрика ${ displaystyle g = g _ { mu nu} dx ^ { mu} otimes dx ^ { nu}}$ на ${ displaystyle TX}$ определяется как глобальная секция фактор-расслоения ${ Displaystyle FX / SO (1,3) к X}$ , куда ${ Displaystyle SO (1,3)}$ это Группа Лоренца. Следовательно, можно рассматривать его как классическое поле Хиггса в калибровочная теория гравитации. Калибровочные симметрии метрически-аффинной теории гравитации общековариантные преобразования.

Существенно, что для псевдоримановой метрики ${ displaystyle g}$ , любая линейная связь ${ displaystyle Gamma}$ на ${ displaystyle TX}$ допускает расщепление

{ displaystyle Gamma _ { mu nu alpha} = {_ { mu nu alpha} } + S _ { mu nu alpha} + { frac {1} {2}} C_ { mu nu alpha}}

в Символы Кристоффеля

{ displaystyle {_ { mu nu alpha} } = - { frac {1} {2}} ( partial _ { mu} g _ { nu alpha} + partial _ { alpha } g _ { nu mu} - partial _ { nu} g _ { mu alpha}),}

а тензор неметричности

{ displaystyle C _ { mu nu alpha} = C _ { mu alpha nu} = nabla _ { mu} ^ { Gamma} g _ { nu alpha} = partial _ { mu} g _ { nu alpha} + Gamma _ { mu nu alpha} + Gamma _ { mu alpha nu}}

и тензор искривления

{ displaystyle S _ { mu nu alpha} = - S _ { mu alpha nu} = { frac {1} {2}} (T _ { nu mu alpha} + T _ { nu alpha mu} + T _ { mu nu alpha} + C _ { alpha nu mu} -C _ { nu alpha mu}),}

куда

{ displaystyle T _ { mu nu alpha} = { frac {1} {2}} ( Gamma _ { mu nu alpha} - Gamma _ { alpha nu mu})}

это тензор кручения из ${ displaystyle Gamma}$ .

Из-за этого расщепления метрически-аффинная теория гравитации обладает другим набором динамических переменных, которые представляют собой псевдориманову метрику, тензор неметричности и тензор кручения. Как следствие, Лагранжиан метрически-аффинной теории гравитации могут содержать разные члены, выраженные как в кривизне связности ${ displaystyle Gamma}$ и его тензоры кручения и неметричности. В частности, метрико-аффинная f (R) гравитация, лагранжиан которой является произвольной функцией скалярная кривизна ${ displaystyle R}$ из ${ displaystyle Gamma}$ , Считается.

Линейная связь ${ displaystyle Gamma}$ называется метрическое соединение для апсевдоримановой метрики ${ displaystyle g}$ если ${ displaystyle g}$ является его целым сечением, т. е. условие метричности

{ displaystyle nabla _ { mu} ^ { Gamma} г _ { nu alpha} = 0}

держит. Метрическое соединение читает

{ displaystyle Gamma _ { mu nu alpha} = {_ { mu nu alpha} } + { frac {1} {2}} (T _ { nu mu alpha} + T _ { nu alpha mu} + T _ { mu nu alpha}).}

Например, Леви-Чивита связь в общей теории относительности - это метрическая связность без кручения.

Метрическая связь связана с главной связью на лоренцевом сокращенная подгруппа ${ displaystyle F ^ {g} X}$ комплекта кадров ${ Displaystyle FX}$ соответствующий разделу ${ displaystyle g}$ фактор-расслоения ${ Displaystyle FX / SO (1,3) к X}$ . Ограничиваясь метрическими связями, метрически-аффинная теория гравитации сводится к вышеупомянутому Теория гравитации Эйнштейна-Картана.

При этом любая линейная связь ${ displaystyle Gamma}$ определяет основной адаптированное соединение ${ displaystyle Gamma ^ {g}}$ на редуцированном подрасслоении Лоренца ${ displaystyle F ^ {g} X}$ своим ограничением на подалгебру Лоренца алгебры Ли полной линейной группы ${ Displaystyle GL (4, mathbb {R})}$ . Например, Оператор Дирака в метрически-аффинной теории гравитации при наличии общей линейной связности ${ displaystyle Gamma}$ хорошо определен, и это зависит только от адаптированного подключения ${ displaystyle Gamma ^ {g}}$ . Следовательно, теория гравитации Эйнштейна – Картана может быть сформулирована как метрическо-аффинная, без обращения к ограничению на метричность.

В метрическо-аффинной теории гравитации, по сравнению с теорией Эйнштейна - Картана, возникает вопрос о материальном источнике тензора неметричности. Это так называемый гиперимпульс, например, Ток Нётер из масштабирующая симметрия.

Метрическо-аффинная теория гравитации - Википедия - Metric-affine gravitation theory

Смотрите также

Рекомендации