Объемный модуль - Bulk modulus

Иллюстрация равномерного сжатия

В объемный модуль ( ${ displaystyle K}$ или же ${ displaystyle B}$ ) вещества является показателем устойчивости этого вещества к сжатию. Он определяется как отношение бесконечно малый давление увеличить в результате относительный уменьшение объем.^[1] Остальные модули описывают реакцию материала (напряжение ) на другие виды стресс: the модуль сдвига описывает реакцию на сдвиг, а Модуль для младших описывает реакцию на линейное напряжение. Для жидкость, имеет значение только объемный модуль. Для комплекса анизотропный твердые, такие как дерево или же бумага, эти три модуля не содержат достаточно информации, чтобы описать его поведение, и необходимо использовать полную обобщенную Закон Гука.

Определение

Объемный модуль ${ displaystyle K> 0}$ можно формально определить уравнением

{ displaystyle K = -V { frac {dP} {dV}}}

куда ${ displaystyle P}$ давление, ${ displaystyle V}$ - начальный объем вещества, а ${ displaystyle dP / dV}$ обозначает производная давления по объему. Учитывая единицу массы,

{ displaystyle K = rho { frac {dP} {d rho}}}

куда ρ начальный плотность и гп/ дρ обозначает производную давления по плотности (то есть скорость изменения давления в зависимости от объема). Обратный модуль объемного сжатия дает веществу сжимаемость.

Термодинамическое соотношение

Строго говоря, объемный модуль упругости термодинамический количество, и чтобы указать объемный модуль, необходимо указать, как давление изменяется во время сжатия: постоянный-температура (изотермический ${ displaystyle K_ {T}}$ ), постоянный-энтропия (изэнтропический ${ displaystyle K_ {S}}$ ), возможны и другие варианты. Такие различия особенно актуальны для газы.

Для идеальный газ, изоэнтропический процесс имеет:

{ Displaystyle PV ^ { gamma} = const. , Rightarrow P propto left ({ frac {1} {V}} right) ^ { gamma} propto rho ^ { gamma}, }

следовательно, изоэнтропический объемный модуль ${ displaystyle K_ {S}}$ дан кем-то:

{ displaystyle K_ {S} = gamma P.}

Точно так же изотермический процесс идеального газа имеет:

{ Displaystyle PV = const. , Rightarrow P propto { frac {1} {V}} propto rho,}

поэтому изотермический объемный модуль ${ displaystyle K_ {T}}$ дан кем-то

{ displaystyle K_ {T} = P}

куда γ это коэффициент теплоемкости и п это давление.

Когда газ не идеален, эти уравнения дают только приближение модуля объемного сжатия. В жидкости объемный модуль K и плотность ρ определить скорость звука c (волны давления ), согласно формуле Ньютона-Лапласа

{ displaystyle c = { sqrt { frac {K} { rho}}}.}

В твердых телах ${ displaystyle K_ {S}}$ и ${ displaystyle K_ {T}}$ имеют очень похожие значения. Твердые тела также могут выдерживать поперечные волны: для этих материалов один дополнительный модуль упругости, например модуль сдвига, необходим для определения скорости волны.

Измерение

Модуль объемной упругости можно измерить с помощью порошковая дифракция под приложенным давлением. Это свойство жидкости, которое показывает ее способность изменять свой объем под действием давления.

Выбранные значения

Приблизительный модуль объемной упругости (K) для обычных материалов
Материал	Объемный модуль в ГПа	Масса модуль в psi
Резинка ^[2]	1.5 к 2	0.22×10⁶ к 0.29×10⁶
Натрия хлорид	24.42	3.542×10⁶
Стекло (см. также диаграмму ниже таблицы)	35 к 55	5.8×10⁶
Стали	160	23.2×10⁶
Алмаз (при 4K) ^[3]	443	64×10⁶
Гранит	50	7.3×10⁶
Сланец	10	1.5×10⁶
Известняк	65	9.4×10⁶
Мел	9	1.3×10⁶
Песчаник	0.7	0.1×10⁶

Влияние добавок выбранных стеклянных компонентов на модуль объемной упругости определенного базового стекла.^[4]

Материал с объемным модулем 35 ГПа теряет один процент своего объема при воздействии внешнего давления 0,35 ГПа (~3500 бар).

Приблизительный модуль объемной упругости (K) для других веществ
Вода	2,2 ГПа (значение увеличивается при повышении давления)
Метанол	823 МПа (при 20 ° C и 1 атм)
Воздуха	142 кПа (адиабатический объемный модуль [или изоэнтропический объемный модуль])
Воздуха	101 кПа (изотермический объемный модуль)
Твердый гелий	50 МПа (приблизительно)

Микроскопическое происхождение

Межатомный потенциал и линейная упругость

Межатомный потенциал и сила

Поскольку линейная эластичность является прямым результатом межатомного взаимодействия, она связана с растяжением / сжатием связей. Затем его можно вывести из межатомный потенциал для кристаллических материалов.^[5] Сначала рассмотрим потенциальную энергию двух взаимодействующих атомов. Начиная с очень далеких точек, они почувствуют влечение друг к другу. По мере приближения друг к другу их потенциальная энергия будет уменьшаться. С другой стороны, когда два атома находятся очень близко друг к другу, их полная энергия будет очень высокой из-за отталкивающего взаимодействия. Вместе эти потенциалы гарантируют межатомное расстояние, при котором достигается минимальное энергетическое состояние. Это происходит на некотором расстоянии₀, где полная сила равна нулю:

{ Displaystyle F = - { partial U over partial r} = 0}

Где U - межатомный потенциал, а r - межатомное расстояние. Это означает, что атомы находятся в равновесии.

Чтобы расширить подход двух атомов к твердому телу, рассмотрим простую модель, скажем, одномерный массив из одного элемента с межатомным расстоянием a, а равновесное расстояние равно а₀. Его соотношение потенциальной энергии и межатомного расстояния имеет такую же форму, как и в случае двух атомов, которое достигает минимума при а₀, Разложение Тейлора для этого:

{ displaystyle u (a) = u (a_ {0}) + left ({ partial u over partial r} right) _ {r = a_ {0}} (a-a_ {0}) + {1 over 2} left ({ partial ^ {2} over partial r ^ {2}} u right) _ {r = a_ {0}} (a-a_ {0}) ^ {2 } + O left ((a-a_ {0}) ^ {3} right)}

В состоянии равновесия первая производная равна 0, поэтому доминирующий член - квадратичный. Когда смещение невелико, члены более высокого порядка следует опускать. Выражение становится:

{ Displaystyle и (а) = и (а_ {0}) + {1 над 2} влево ({ partial ^ {2} over partial r ^ {2}} и справа) _ {г = а_ {0}} (а-а_ {0}) ^ {2}}

{ Displaystyle F (a) = - { partial u over partial r} = left ({ partial ^ {2} over partial r ^ {2}} u right) _ {r = a_ { 0}} (а-а_ {0})}

Это явно линейная эластичность.

Обратите внимание, что вывод выполняется с учетом двух соседних атомов, поэтому коэффициент Хука равен:

{ displaystyle K = a_ {0} * {dF over dr} = a_ {0} left ({ partial ^ {2} over partial r ^ {2}} u right) _ {r = a_ {0}}}

Эта форма может быть легко расширена до трехмерного случая с объемом на атом (Ω) вместо межатомного расстояния.

{ Displaystyle К = Omega _ {0} влево ({ partial ^ {2} over partial Omega ^ {2}} u right) _ { Omega = Omega _ {0}}}

Связь с атомным радиусом

Как было выведено выше, объемный модуль напрямую связан с межатомным потенциалом и объемом, приходящимся на атом. Мы можем дополнительно оценить межатомный потенциал для соединения K с другими свойствами. Обычно межатомный потенциал может быть выражен как функция расстояния, которая имеет два члена: один член для притяжения, а другой - для отталкивания.

{ displaystyle u = -Ar ^ {- n} + Br ^ {- m}}

Где А > 0 представляет член притяжения и B > 0 представляет отталкивание. n и m обычно целые, а м обычно больше, чем п, что представляет собой ближний характер отталкивания. В положении равновесия ты минимальна, поэтому производная первого порядка равна 0.

{ displaystyle left ({ partial u over partial r} right) _ {r_ {0}} = Anr ^ {- n-1} + - Bmr ^ {- m-1} = 0}

{ displaystyle {B over A} = {n over m} r_ {0} ^ {m-n}}

{ displaystyle u = -Ar ^ {- n} left (1- {B over A} r ^ {nm} right) = - Ar ^ {- n} left (1- {n over m} r_ {0} ^ {mn} r ^ {nm} right)}

когда р близок к, напомним, что п (обычно от 1 до 6) меньше, чем м (обычно от 9 до 12), игнорируйте второй член, оценивайте вторую производную

{ displaystyle left ({ partial ^ {2} over partial r ^ {2}} u right) _ {r = a_ {0}} = - An (n + 1) r_ {0} ^ { -n-2}}

Напомним связь между r и Ω

{ displaystyle Omega = {4 pi over 3} r ^ {3}}

{ displaystyle left ({ partial ^ {2} over partial Omega ^ {2}} u right) = left ({ partial ^ {2} over partial r ^ {2}} и right) left ({ partial r over partial Omega} right) ^ {2} = left ({ partial ^ {2} over partial r ^ {2}} u right) Омега ^ {- { frac {4} {3}}}}

{ displaystyle K = Omega _ {0} left ({ partial ^ {2} u over partial r ^ {2}} right) _ { Omega = Omega _ {0}} propto r_ {0} ^ {- n-3}}

Во многих случаях, например, в металлических или ионных материалах, сила притяжения является электростатической, поэтому п = 1, имеем

{ displaystyle K propto r_ {0} ^ {- 4}}

Это относится к атомам с аналогичной природой связи. Эта взаимосвязь подтверждается для щелочных металлов и многих ионных соединений.^[6]

дальнейшее чтение

Де Йонг, Маартен; Чен, Вэй (2015). «Схема полных упругих свойств неорганических кристаллических соединений». Научные данные. 2: 150009. Bibcode:2013НатSD ... 2E0009D. Дои:10.1038 / sdata.2015.9. ЧВК 4432655. PMID 25984348.

Формулы преобразования
Однородные изотропные линейные упругие материалы обладают своими упругими свойствами, однозначно определяемыми любыми двумя модулями из них; таким образом, для любых двух любых других модулей упругости можно рассчитать по этим формулам.
	${ Displaystyle К = ,}$	${ Displaystyle E = ,}$	${ Displaystyle lambda = ,}$	${ Displaystyle G = ,}$	${ Displaystyle Nu = ,}$	${ Displaystyle M = ,}$	Примечания
${ Displaystyle (К, , Е)}$			${ displaystyle { tfrac {3K (3K-E)} {9K-E}}}$	${ displaystyle { tfrac {3KE} {9K-E}}}$	${ displaystyle { tfrac {3K-E} {6K}}}$	${ displaystyle { tfrac {3K (3K + E)} {9K-E}}}$
${ Displaystyle (К, , лямбда)}$		${ displaystyle { tfrac {9K (K- lambda)} {3K- lambda}}}$		${ Displaystyle { tfrac {3 (K- lambda)} {2}}}$	${ displaystyle { tfrac { lambda} {3K- lambda}}}$	${ displaystyle 3K-2 lambda ,}$
${ Displaystyle (К, , G)}$		${ displaystyle { tfrac {9KG} {3K + G}}}$	${ displaystyle K - { tfrac {2G} {3}}}$		${ Displaystyle { tfrac {3K-2G} {2 (3K + G)}}}$	${ displaystyle K + { tfrac {4G} {3}}}$
${ Displaystyle (К, , ню)}$		${ Displaystyle 3К (1-2 ню) ,}$	${ displaystyle { tfrac {3K nu} {1+ nu}}}$	${ displaystyle { tfrac {3K (1-2 nu)} {2 (1+ nu)}}}$		${ displaystyle { tfrac {3K (1- nu)} {1+ nu}}}$
${ Displaystyle (К, , М)}$		${ displaystyle { tfrac {9K (M-K)} {3K + M}}}$	${ displaystyle { tfrac {3K-M} {2}}}$	${ Displaystyle { tfrac {3 (М-К)} {4}}}$	${ displaystyle { tfrac {3K-M} {3K + M}}}$
${ Displaystyle (Е, , лямбда)}$	${ displaystyle { tfrac {E + 3 lambda + R} {6}}}$			${ displaystyle { tfrac {E-3 lambda + R} {4}}}$	${ displaystyle { tfrac {2 lambda} {E + lambda + R}}}$	${ displaystyle { tfrac {E- lambda + R} {2}}}$	${ displaystyle R = { sqrt {E ^ {2} +9 lambda ^ {2} + 2E lambda}}}$
${ Displaystyle (Е, , G)}$	${ displaystyle { tfrac {EG} {3 (3G-E)}}}$		${ displaystyle { tfrac {G (E-2G)} {3G-E}}}$		${ displaystyle { tfrac {E} {2G}} - 1}$	${ displaystyle { tfrac {G (4G-E)} {3G-E}}}$
${ Displaystyle (Е, , ню)}$	${ displaystyle { tfrac {E} {3 (1-2 nu)}}}$		${ displaystyle { tfrac {E nu} {(1+ nu) (1-2 nu)}}}$	${ displaystyle { tfrac {E} {2 (1+ nu)}}}$		${ displaystyle { tfrac {E (1- nu)} {(1+ nu) (1-2 nu)}}}$
${ Displaystyle (Е, , М)}$	${ displaystyle { tfrac {3M-E + S} {6}}}$		${ displaystyle { tfrac {M-E + S} {4}}}$	${ displaystyle { tfrac {3M + E-S} {8}}}$	${ displaystyle { tfrac {E-M + S} {4M}}}$		${ displaystyle S = pm { sqrt {E ^ {2} + 9M ^ {2} -10EM}}}$ Есть два верных решения. Знак плюс ведет к ${ displaystyle nu geq 0}$ . Знак минус ведет к ${ displaystyle nu leq 0}$ .
${ Displaystyle ( лямбда, , G)}$	${ displaystyle lambda + { tfrac {2G} {3}}}$	${ Displaystyle { tfrac {G (3 lambda + 2G)} { lambda + G}}}$			${ Displaystyle { tfrac { lambda} {2 ( lambda + G)}}}$	${ displaystyle lambda + 2G ,}$
${ Displaystyle ( лямбда, , ню)}$	${ displaystyle { tfrac { lambda (1+ nu)} {3 nu}}}$	${ Displaystyle { tfrac { лямбда (1+ ню) (1-2 ню)} { ню}}}$		${ displaystyle { tfrac { lambda (1-2 nu)} {2 nu}}}$		${ displaystyle { tfrac { lambda (1- nu)} { nu}}}$	Не может использоваться, когда ${ displaystyle nu = 0 Leftrightarrow lambda = 0}$
${ Displaystyle ( лямбда, , М)}$	${ displaystyle { tfrac {M + 2 lambda} {3}}}$	${ displaystyle { tfrac {(M- lambda) (M + 2 lambda)} {M + lambda}}}$		${ displaystyle { tfrac {M- lambda} {2}}}$	${ displaystyle { tfrac { lambda} {M + lambda}}}$
${ Displaystyle (г, , ню)}$	${ Displaystyle { tfrac {2G (1+ nu)} {3 (1-2 nu)}}}$	${ Displaystyle 2G (1+ ню) ,}$	${ displaystyle { tfrac {2G nu} {1-2 nu}}}$			${ Displaystyle { tfrac {2G (1- nu)} {1-2 nu}}}$
${ Displaystyle (G, , M)}$	${ displaystyle M - { tfrac {4G} {3}}}$	${ displaystyle { tfrac {G (3M-4G)} {M-G}}}$	${ Displaystyle M-2G ,}$		${ displaystyle { tfrac {M-2G} {2M-2G}}}$
${ Displaystyle ( ню, , М)}$	${ Displaystyle { tfrac {M (1+ nu)} {3 (1- nu)}}}$	${ displaystyle { tfrac {M (1+ nu) (1-2 nu)} {1- nu}}}$	${ displaystyle { tfrac {M nu} {1- nu}}}$	${ Displaystyle { tfrac {М (1-2 ню)} {2 (1- ню)}}}$

[1] «Объемные упругие свойства». гиперфизика. Государственный университет Джорджии.

[2] "Резинка". Материалы AZO.

[3] Страница 52 из "Введение в физику твердого тела, 8-е издание »Чарльза Киттеля, 2005 г., ISBN 0-471-41526-X

[4] Флюгель, Александр. «Расчет объемного модуля стекол». glassproperties.com.

[5] Х., Кортни, Томас (2013). Механическое поведение материалов (2-е изд. Reimp ed.). Нью-Дели: McGraw Hill Education (Индия). ISBN 978-1259027512. OCLC 929663641.

[6] Гилман, Дж. Дж. (1969). Микромеханика течения в твердых телах. Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. п. 29.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]