Теорема Кантора о пересечении - Википедия - Cantors intersection theorem

Теорема Кантора о пересечении ссылается на две тесно связанные теоремы из общая топология и реальный анализ, названный в честь Георг Кантор, о пересечениях убывающих вложенных последовательности непустых компактов.

Топологическое утверждение

Теорема. Пусть S - топологическое пространство. Убывающая вложенная последовательность непустых компактных замкнутых подмножеств S имеет непустое пересечение. Другими словами, если предположить ${ displaystyle (C_ {k})}$ представляет собой последовательность непустых компактных замкнутых подмножеств S, удовлетворяющих

${ Displaystyle C_ {0} supset C_ {1} supset cdots supset C_ {n} supset C_ {n + 1} supset cdots,}$

следует, что

${ displaystyle left ( bigcap _ {k} C_ {k} right) neq emptyset.}$

Условие замкнутости может быть опущено в ситуациях, когда каждое компактное подмножество S закрыт, например, когда S является Хаусдорф.

Доказательство. Предположим от противного, что ${ Displaystyle bigcap C_ {k} = emptyset}$. Для каждого k, позволять ${ Displaystyle U_ {k} = C_ {0} setminus C_ {k}}$. С ${ Displaystyle bigcup U_ {k} = C_ {0} setminus left ( bigcap C_ {k} right)}$ и ${ Displaystyle bigcap C_ {k} = emptyset}$, у нас есть ${ displaystyle bigcup U_ {k} = C_ {0}}$. Поскольку ${ displaystyle C_ {k}}$ закрыты относительно S и поэтому также замкнут относительно ${ displaystyle C_ {0}}$, то ${ displaystyle U_ {k}}$, их набор дополняет в ${ displaystyle C_ {0}}$, открыты относительно ${ displaystyle C_ {0}}$.

С ${ displaystyle C_ {0} subset S}$ компактный и ${ displaystyle (U_ {k})}$ это открытая крышка (на ${ displaystyle C_ {0}}$) из ${ displaystyle C_ {0}}$, конечное покрытие ${ Displaystyle {U_ {k_ {1}}, U_ {k_ {2}}, ldots, U_ {k_ {m}} }}$ можно извлечь. Позволять ${ Displaystyle М = макс _ {1 Leq я Leq м} {k_ {я}}}$. потом ${ Displaystyle bigcup U_ {k_ {i}} = U_ {M}}$ потому что ${ displaystyle U_ {1} subset U_ {2} subset cdots subset U_ {n} subset U_ {n + 1} cdots}$, по гипотезе вложенности коллекции ${ displaystyle (C_ {k}).}$ Как следствие, ${ Displaystyle C_ {0} = bigcup U_ {k_ {i}} = U_ {M}}$. Но потом ${ Displaystyle C_ {M} = C_ {0} setminus U_ {M} = emptyset}$, противоречие. ∎

Выписка для действительных чисел

Теорема в реальном анализе делает такой же вывод для закрыто и ограниченный подмножества множества действительные числа ${ displaystyle mathbf {R}}$. В нем говорится, что убывающая вложенная последовательность ${ displaystyle (C_ {k})}$ непустых, замкнутых и ограниченных подмножеств ${ displaystyle mathbf {R}}$ имеет непустое пересечение.

Эта версия следует из общей топологической постановки в свете Теорема Гейне – Бореля, который утверждает, что множества действительных чисел компактны тогда и только тогда, когда они замкнуты и ограничены. Однако он обычно используется в качестве леммы при доказательстве указанной теоремы и поэтому требует отдельного доказательства.

Например, если ${ displaystyle C_ {k} = [0,1 / k]}$, пересечение над ${ displaystyle (C_ {k})}$ является${ displaystyle {0 }}$. С другой стороны, обе последовательности открытых ограниченных множеств ${ Displaystyle C_ {k} = (0,1 / к)}$ и последовательность неограниченных замкнутых множеств ${ Displaystyle C_ {к} = [к, infty)}$ есть пустой перекресток. Все эти последовательности правильно вложены.

Эта версия теоремы обобщается на ${ displaystyle mathbf {R} ^ {n}}$, набор п-элементные векторы действительных чисел, но не обобщаются на произвольные метрические пространства. Например, в пространстве рациональное число, наборы

${ displaystyle C_ {k} = [{ sqrt {2}}, { sqrt {2}} + 1 / k] = ({ sqrt {2}}, { sqrt {2}} + 1 / k )}$

замкнуты и ограничены, но их пересечение пусто.

Отметим, что это не противоречит ни топологическому утверждению, так как множества ${ displaystyle C_ {k}}$ не компактны, как и вариант ниже, так как рациональные числа не полны относительно обычной метрики.

Простое следствие теоремы состоит в том, что Кантор набор непусто, так как определяется как пересечение убывающей вложенной последовательности наборов, каждое из которых определяется как объединение конечного числа отрезков; следовательно, каждое из этих множеств непусто, замкнуто и ограничено. На самом деле множество Кантора содержит несчетное количество точек.

Теорема. Позволять ${ displaystyle (C_ {k})}$ - семейство непустых, замкнутых и ограниченных подмножеств ${ displaystyle mathbf {R}}$ удовлетворение

${ displaystyle C_ {0} supset C_ {1} supset cdots C_ {n} supset C_ {n + 1} cdots.}$

Потом,

${ displaystyle left ( bigcap _ {k} C_ {k} right) neq emptyset.}$

Доказательство. Каждое непустое, замкнутое и ограниченное подмножество ${ displaystyle C_ {k} subset mathbf {R}}$ допускает минимальный элемент ${ displaystyle x_ {k}}$. Поскольку для каждого k, у нас есть

${ Displaystyle х_ {к + 1} в C_ {k + 1} substeq C_ {k}}$,

следует, что

${ Displaystyle х_ {к} leq x_ {к + 1}}$,

так ${ displaystyle (x_ {k})}$ - возрастающая последовательность, содержащаяся в ограниченном множестве ${ displaystyle C_ {0}}$. В теорема о монотонной сходимости для ограниченных последовательностей действительных чисел теперь гарантирует существование предельной точки

${ displaystyle x = lim _ {k to infty} x_ {k}.}$

Для фиксированных k, ${ displaystyle x_ {j} in C_ {k}}$ для всех ${ displaystyle j geq k}$ и с тех пор ${ displaystyle C_ {k}}$ был закрыт и Икс это предельная точка, следует, что ${ displaystyle x in C_ {k}}$. Наш выбор k было произвольно, следовательно Икс принадлежит ${ displaystyle bigcap _ {k} C_ {k}}$ и доказательство завершено. ∎

Вариант в полных метрических пространствах

В полное метрическое пространство, имеет место следующий вариант теоремы Кантора о пересечении.

Теорема. Предположим, что X - полное метрическое пространство и ${ displaystyle C_ {k}}$ это последовательность непустых замкнутых вложенных подмножеств X, диаметры стремятся к нулю:

${ displaystyle lim _ {к к infty} operatorname {diam} (C_ {k}) = 0,}$

куда ${ displaystyle operatorname {diam} (C_ {k})}$ определяется

${ displaystyle operatorname {diam} (C_ {k}) = sup {d (x, y) | x, y in C_ {k} }.}$

Тогда пересечение ${ displaystyle C_ {k}}$ содержит ровно одну точку:

${ Displaystyle bigcap _ {к = 1} ^ { infty} C_ {k} = {х }}$

для некоторого x из X.

Доказательство (набросок). Доказательство состоит в следующем. Поскольку диаметры стремятся к нулю, диаметр пересечения ${ displaystyle C_ {k}}$ равен нулю, поэтому он либо пуст, либо состоит из одной точки. Так что достаточно показать, что он не пустой. Выберите элемент ${ displaystyle x_ {k} in C_ {k}}$ для каждого k. Поскольку диаметр ${ displaystyle C_ {k}}$ стремится к нулю, а ${ displaystyle C_ {k}}$ вложены, ${ displaystyle x_ {k}}$ образуют последовательность Коши. Поскольку метрическое пространство полно, эта последовательность Коши сходится к некоторой точке Икс. Поскольку каждый ${ displaystyle C_ {k}}$ закрыто, и Икс является пределом последовательности в ${ displaystyle C_ {k}}$, Икс должен лежать в ${ displaystyle C_ {k}}$. Это верно для каждого k, а значит, пересечение ${ displaystyle C_ {k}}$ должен содержать Икс. ∎

Верно и обратное к этой теореме: если Икс является метрическим пространством со свойством, что пересечение любого вложенного семейства непустых замкнутых подмножеств, диаметры которых стремятся к нулю, непусто, то Икс - полное метрическое пространство. (Чтобы доказать это, пусть ${ displaystyle (x_ {k})}$ последовательность Коши в Икс, и разреши ${ displaystyle C_ {k}}$ быть закрытием хвоста этой последовательности.)

Рекомендации

• Вайсштейн, Эрик В. "Теорема Кантора о пересечении". MathWorld.
• Джонатан Левин. Интерактивное введение в математический анализ. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-01718-1. Раздел 7.8.