Теория серфа - Cerf theory

В математика, на стыке теория сингулярности и дифференциальная топология, Теория серфа является изучение семейств гладких вещественнозначных функций

{displaystyle fcolon M o mathbb {R}}

на гладкое многообразие ${displaystyle M}$ , их общие особенности и топологию подпространств, которые эти особенности определяют как подпространства функционального пространства. Теория названа в честь Жан Серф, инициировавший его в конце 1960-х гг.

Пример

Марстон Морс доказал, что при условии ${displaystyle M}$ компактный, любой гладкая функция ${displaystyle fcolon M o mathbb {R}}$ можно аппроксимировать Функция Морса. Таким образом, для многих целей можно заменить произвольные функции на ${displaystyle M}$ функциями Морса.

В качестве следующего шага можно спросить: «Если у вас есть однопараметрическое семейство функций, которые начинаются и заканчиваются функциями Морзе, можете ли вы предположить, что все семейство - это Морзе?» В общем, нет. Рассмотрим, например, однопараметрическое семейство функций на ${displaystyle M = mathbb {R}}$ данный

{displaystyle f_ {t} (x) = (1/3) x ^ {3} -tx.}

Вовремя ${displaystyle t = -1}$ , у него нет критических точек, но время от времени ${displaystyle t = 1}$ , это функция Морса с двумя критическими точками в ${displaystyle x = pm 1}$ .

Серф показал, что однопараметрическое семейство функций между двумя функциями Морса может быть аппроксимировано семейством, которое является морсовским во всех случаях, кроме конечного числа вырожденных времен. Вырождения включают в себя переход критических точек рождения / смерти, как в приведенном выше примере, когда при ${displaystyle t = 0}$ , критические точки индекса 0 и индекса 1 создаются как ${displaystyle t}$ увеличивается.

А стратификация бесконечномерного пространства

Возвращаясь к общему случаю, когда ${displaystyle M}$ компактное многообразие, пусть ${displaystyle operatorname {Morse} (M)}$ обозначим пространство функций Морса на ${displaystyle M}$ , и ${displaystyle operatorname {Func} (M)}$ пространство действительнозначных гладких функций на ${displaystyle M}$ . Морс доказал, что ${displaystyle operatorname {Morse} (M) subset operatorname {Func} (M)}$ - открытое и плотное подмножество в ${displaystyle C ^ {infty}}$ топология.

Для интуиции приведу аналогию. Думайте о функциях Морса как о многомерном открытом страте в стратификация из ${displaystyle operatorname {Func} (M)}$ (мы не утверждаем, что такое расслоение существует, но предположим, что оно существует). Обратите внимание, что в стратифицированных пространствах совместное измерение 0 открытый пласт открытый и плотный. В целях обозначения измените соглашения об индексировании стратификаций в стратифицированном пространстве и индексируйте открытые страты не по их размерности, а по их совместной размерности. Это удобно, поскольку ${displaystyle operatorname {Func} (M)}$ бесконечномерно, если ${displaystyle M}$ не является конечным множеством. По предположению открытый слой размерности 0 ${displaystyle operatorname {Func} (M)}$ является ${displaystyle operatorname {Morse} (M)}$ , то есть: ${displaystyle operatorname {Func} (M) ^ {0} = operatorname {Морс} (M)}$ . В стратифицированном пространстве ${displaystyle X}$ , часто ${displaystyle X ^ {0}}$ отключен. В существенное свойство страты с размерностью 1 ${displaystyle X ^ {1}}$ это любой путь в ${displaystyle X}$ который начинается и заканчивается на ${displaystyle X ^ {0}}$ можно аппроксимировать путем, пересекающим ${displaystyle X ^ {1}}$ поперечно в конечном числе точек и не пересекает ${displaystyle X ^ {i}}$ для любого ${displaystyle i> 1}$ .

Таким образом, теория Серфа - это исследование позитивных когерентных слоев ${displaystyle operatorname {Func} (M)}$ , то есть: ${displaystyle operatorname {Func} (M) ^ {i}}$ для ${displaystyle i> 0}$ . На случай, если

{displaystyle f_ {t} (x) = x ^ {3} -tx}

,

только для ${displaystyle t = 0}$ - функция не Морса, и

{displaystyle f_ {0} (x) = x ^ {3}}

имеет кубический вырожденная критическая точка соответствующий переходу рождения / смерти.

Единый временной параметр, утверждение теоремы

В Теорема Морса утверждает, что если ${displaystyle fcolon M o mathbb {R}}$ является функцией Морса, то вблизи критической точки ${displaystyle p}$ он сопряжен с функцией ${displaystyle gcolon mathbb {R} ^ {n} o mathbb {R}}$ формы

{displaystyle g (x_ {1}, x_ {2}, dotsc, x_ {n}) = f (p) + epsilon _ {1} x_ {1} ^ {2} + epsilon _ {2} x_ {2} ^ {2} + точкаb + эпсилон _ {n} x_ {n} ^ {2}}

где ${displaystyle epsilon _ {i} в {pm 1}}$ .

Однопараметрическая теорема Серфа утверждает существенное свойство сопредельного одного слоя.

Именно, если ${displaystyle f_ {t} двоеточие M o mathbb {R}}$ - однопараметрическое семейство гладких функций на ${displaystyle M}$ с участием ${displaystyle tin [0,1]}$ , и ${displaystyle f_ {0}, f_ {1}}$ Морса, то существует гладкое однопараметрическое семейство ${displaystyle F_ {t} двоеточие M o mathbb {R}}$ такой, что ${displaystyle F_ {0} = f_ {0}, F_ {1} = f_ {1}}$ , ${displaystyle F}$ равномерно близок к ${displaystyle f}$ в ${displaystyle C ^ {k}}$ -топология функций ${displaystyle M imes [0,1] или mathbb {R}}$ . Более того, ${displaystyle F_ {t}}$ - это Морс, но конечное число раз. В неморсовское время функция имеет только одну вырожденную критическую точку ${displaystyle p}$ , и недалеко от этого места семья ${displaystyle F_ {t}}$ сопряжен с семьей

{displaystyle g_ {t} (x_ {1}, x_ {2}, dotsc, x_ {n}) = f (p) + x_ {1} ^ {3} + epsilon _ {1} tx_ {1} + epsilon _ {2} x_ {2} ^ {2} + dotsb + epsilon _ {n} x_ {n} ^ {2}}

где ${displaystyle epsilon _ {i} in {pm 1}, tin [-1,1]}$ . Если ${displaystyle epsilon _ {1} = - 1}$ это однопараметрическое семейство функций, в котором создаются две критические точки (как ${displaystyle t}$ увеличивается), а для ${displaystyle epsilon _ {1} = 1}$ это однопараметрическое семейство функций, в котором разрушены две критические точки.

Происхождение

В PL -Проблема Шенфлиса для ${displaystyle S ^ {2} подмножество mathbb {R} ^ {3}}$ было решено Дж. В. Александер в 1924 году. Его доказательство было адаптировано к гладкий; плавный дело Морса и Эмилио Байада.^[1] В существенное свойство был использован Серфом, чтобы доказать, что все сохраняющие ориентацию диффеоморфизм из ${displaystyle S ^ {3}}$ изотопно тождеству,^[2] рассматривается как однопараметрическое расширение теоремы Шенфлиса для ${displaystyle S ^ {2} подмножество mathbb {R} ^ {3}}$ . Следствие ${displaystyle Gamma _ {4} = 0}$ в то время имел широкое применение в дифференциальной топологии. В существенное свойство позже был использован Серфом, чтобы доказать теорема о псевдоизотопии^[3] для многомерных односвязных многообразий. Доказательство является однопараметрическим расширением Стивен Смейл доказательство теорема о h-кобордизме (переписывание доказательства Смейла в функциональную основу было выполнено Морсом, а также Джон Милнор^[4] и Серфом, Андре Граменом и Бернар Морен^[5] по предложению Рене Том ).

Доказательство Серфа построено на работе Тома и Джон Мэзер.^[6] Полезное современное резюме работ Тома и Мазера того периода - это книга Марти Голубицкий и Виктор Гийемен.^[7]

Приложения

Помимо вышеупомянутых приложений, Робион Кирби использовали теорию Серфа в качестве ключевого шага в обосновании Исчисление Кирби.

Обобщение

Стратификация дополнения к бесконечному когерентному подпространству пространства гладких отображений ${displaystyle {fcolon M o mathbb {R}}}$ в конечном итоге был разработан Фрэнсисом Сержерартом.^[8]

В семидесятые годы проблема классификации псевдоизотопий неодносвязных многообразий была решена Аллен Хэтчер и Джон Ваггонер,^[9] открытие алгебраический ${displaystyle K_ {i}}$ - препятствия на ${displaystyle pi _ {1} M}$ ( ${displaystyle i = 2}$ ) и ${displaystyle pi _ {2} M}$ ( ${displaystyle i = 1}$ ) и Киёси Игуса, обнаружив препятствия аналогичного характера на ${displaystyle pi _ {1} M}$ ( ${displaystyle i = 3}$ ).^[10]

использованная литература

^ Морс, Марстон; Баяда, Эмилио (1953), "Гомотопия и гомологии, связанные с проблемой Шенфлиса", Анналы математики, 2, 58: 142–165, Дои:10.2307/1969825, Г-Н 0056922
^ Серф, Жан (1968), Sur les difféomorphismes de la sphère de Dimension trois ( ${displaystyle Gamma _ {4} = 0}$ ), Конспект лекций по математике, 53, Берлин-Нью-Йорк: Springer-Verlag
^ Серф, Жан (1970), "Натуральное расслоение пространств различных функций и теория псевдоизотопии", Публикации Mathématiques de l'IHÉS, 39: 5–173
^ Джон Милнор, Лекции по теореме о h-кобордизме, Заметки Лоран К. Зибенманн и Джонатан Сондоу, Princeton Math. Банкноты 1965 года
^ Le Theoreme du h-cobordisme (Смейл) Заметки Жана Серфа и Андре Грамэна (École Normale Supérieure, 1968).
^ Джон Н. Мэзер, Классификация стабильных ростков по R-алгебрам, Публикации Mathématiques de l'IHÉS (1969)
^ Марти Голубицкий, Виктор Гийемен, Устойчивые отображения и их особенности. Тексты для выпускников Springer-Verlag по математике 14 (1973)
^ Sergeraert, Фрэнсис (1972). «Теорема де функций неявно применима к определенным пространствам Фреше и других приложений». Научные Анналы Высшей Нормальной Школы (Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure). (4). 5: 599–660.
^ Аллен Хэтчер и Джон Ваггонер, Псевдоизотопии компактных многообразий. Astérisque, No. 6. Société Mathématique de France, Париж, 1973. 275 стр.
^ Киёси Игуса, Теорема устойчивости для гладких псевдоизотопий. К-Теория 2 (1988), вып. 1-2, vi + 355.

[1] Морс, Марстон; Баяда, Эмилио (1953), "Гомотопия и гомологии, связанные с проблемой Шенфлиса", Анналы математики, 2, 58: 142–165, Дои:10.2307/1969825, Г-Н 0056922

[2] Серф, Жан (1968), Sur les difféomorphismes de la sphère de Dimension trois ( ${displaystyle Gamma _ {4} = 0}$ ), Конспект лекций по математике, 53, Берлин-Нью-Йорк: Springer-Verlag

[3] Серф, Жан (1970), "Натуральное расслоение пространств различных функций и теория псевдоизотопии", Публикации Mathématiques de l'IHÉS, 39: 5–173

[4] Джон Милнор, Лекции по теореме о h-кобордизме, Заметки Лоран К. Зибенманн и Джонатан Сондоу, Princeton Math. Банкноты 1965 года

[5] Le Theoreme du h-cobordisme (Смейл) Заметки Жана Серфа и Андре Грамэна (École Normale Supérieure, 1968).

[6] Джон Н. Мэзер, Классификация стабильных ростков по R-алгебрам, Публикации Mathématiques de l'IHÉS (1969)

[7] Марти Голубицкий, Виктор Гийемен, Устойчивые отображения и их особенности. Тексты для выпускников Springer-Verlag по математике 14 (1973)

[8] Sergeraert, Фрэнсис (1972). «Теорема де функций неявно применима к определенным пространствам Фреше и других приложений». Научные Анналы Высшей Нормальной Школы (Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure). (4). 5: 599–660.

[9] Аллен Хэтчер и Джон Ваггонер, Псевдоизотопии компактных многообразий. Astérisque, No. 6. Société Mathématique de France, Париж, 1973. 275 стр.

[10] Киёси Игуса, Теорема устойчивости для гладких псевдоизотопий. К-Теория 2 (1988), вып. 1-2, vi + 355.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]