Тензор хлопка - Cotton tensor

Эта статья включает Список ссылок, связанное чтение или внешняя ссылка, но его источники остаются неясными, потому что в нем отсутствует встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (Июль 2017 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В дифференциальная геометрия, то Тензор хлопка на (псевдо) -Риманово многообразие измерения п является третьим порядком тензор сопутствующий метрика, словно Тензор Вейля. Исчезновение тензора Коттона при п = 3 является необходимо и достаточное условие чтобы многообразие было конформно плоский, как и с тензором Вейля для п ≥ 4. За п < 3 тензор Коттона тождественно равен нулю. Концепция названа в честь Эмиль Коттон.

Доказательство классического результата о том, что при п = 3 обращение в нуль тензора Коттона эквивалентно тому, что метрика является конформно плоской, дается выражением Эйзенхарт используя стандартный интегрируемость аргумент. Эта тензорная плотность однозначно характеризуется своими конформными свойствами в сочетании с требованием, чтобы она была дифференцируемой для произвольных метрик, как показано формулой (Олдерсли 1979 ).

В последнее время большой интерес вызывает изучение трехмерных пространств, поскольку тензор Коттона ограничивает связь между тензором Риччи и тензор энергии-импульса вопроса в Уравнения Эйнштейна и играет важную роль в Гамильтонов формализм из общая теория относительности.

Определение

В координатах и ​​обозначая Тензор Риччи к р_ij а скалярная кривизна на р, компоненты тензора Коттона равны

${ displaystyle C_ {ijk} = nabla _ {k} R_ {ij} - nabla _ {j} R_ {ik} + { frac {1} {2 (n-1)}} left ( nabla _ {j} Rg_ {ik} - nabla _ {k} Rg_ {ij} right).}$

Тензор Коттона можно рассматривать как вектор со значениями 2-форма, и для п = 3 можно использовать Звездный оператор Ходжа чтобы преобразовать это в тензорную плотность без следов второго порядка

${ displaystyle C_ {i} ^ {j} = nabla _ {k} left (R_ {li} - { frac {1} {4}} Rg_ {li} right) epsilon ^ {klj}, }$

иногда называют Хлопок-Йорк тензор.

Характеристики

Конформное изменение масштаба

При конформном масштабировании метрики ${ displaystyle { tilde {g}} = e ^ {2 omega} g}$ для некоторой скалярной функции ${ displaystyle omega}$. Мы видим, что Символы Кристоффеля преобразовать как

${ Displaystyle { widetilde { Gamma}} _ { beta gamma} ^ { alpha} = Gamma _ { beta gamma} ^ { alpha} + S _ { beta gamma} ^ { alpha }}$

куда ${ Displaystyle S _ { beta gamma} ^ { alpha}}$ тензор

${ Displaystyle S _ { beta gamma} ^ { alpha} = delta _ { gamma} ^ { alpha} partial _ { beta} omega + delta _ { beta} ^ { alpha} partial _ { gamma} omega -g _ { beta gamma} partial ^ { alpha} omega}$

В Тензор кривизны Римана трансформируется как

${ displaystyle {{ widetilde {R}} ^ { lambda}} {} _ { mu alpha beta} = {R ^ { lambda}} _ { mu alpha beta} + nabla _ { alpha} S _ { beta mu} ^ { lambda} - nabla _ { beta} S _ { alpha mu} ^ { lambda} + S _ { alpha rho} ^ { lambda} S_ { beta mu} ^ { rho} -S _ { beta rho} ^ { lambda} S _ { alpha mu} ^ { rho}}$

В ${ displaystyle n}$-мерных многообразий, получаем Тензор Риччи сжав преобразованный тензор Римана, чтобы увидеть его преобразование как

${ displaystyle { widetilde {R}} _ { beta mu} = R _ { beta mu} -g _ { beta mu} nabla ^ { alpha} partial _ { alpha} omega - (n-2) nabla _ { mu} partial _ { beta} omega + (n-2) ( partial _ { mu} omega partial _ { beta} omega -g _ { бета mu} partial ^ { lambda} omega partial _ { lambda} omega)}$

Аналогичным образом Скаляр Риччи трансформируется как

${ Displaystyle { widetilde {R}} = е ^ {- 2 omega} R-2e ^ {- 2 omega} (n-1) nabla ^ { alpha} partial _ { alpha} omega - (n-2) (n-1) e ^ {- 2 omega} partial ^ { lambda} omega partial _ { lambda} omega}$

Объединение всех этих фактов позволяет нам заключить, что тензорные преобразования Коттона-Йорка имеют вид

${ displaystyle { widetilde {C}} _ ​​{ alpha beta gamma} = C _ { alpha beta gamma} + (n-2) partial _ { lambda} omega {W _ { beta гамма альфа}} ^ { lambda}}$

или используя координатно-независимый язык как

${ Displaystyle { тильда {C}} = C ; + ; operatorname {grad} , omega ; lrcorner ; W,}$

где градиент вставлен в симметричную часть Тензор Вейля  W.

Симметрии

Тензор Коттона имеет следующие симметрии:

${ Displaystyle C_ {ijk} = - C_ {ikj} ,}$

и поэтому

${ Displaystyle С _ {[ijk]} = 0. ,}$

Кроме того, формула Бьянки для Тензор Вейля можно переписать как

${ Displaystyle дельта W = (3-п) С, ,}$

куда ${ displaystyle delta}$ положительная дивергенция по первой компоненте W.

Рекомендации

• Олдерсли, С. Дж. (1979). «Комментарии к определенным бездивергентным тензорным плотностям в трехмерном пространстве». Журнал математической физики. 20 (9): 1905–1907. Bibcode:1979JMP .... 20.1905A. Дои:10.1063/1.524289.
• Шоке-Брюа, Ивонн (2009). Общая теория относительности и уравнения Эйнштейна. Оксфорд, Англия: Oxford University Press. ISBN  978-0-19-923072-3.
• Хлопок, Э. (1899). "Sur les varétés à trois sizes". Анналы факультета наук Тулузы. II. 1 (4): 385–438. Архивировано из оригинал на 2007-10-10.
• Эйзенхарт, Лютер П. (1977) [1925]. Риманова геометрия. Принстон, штат Нью-Джерси: Princeton University Press. ISBN  0-691-08026-7.
• А. Гарсия, Ф. В. Хель, К. Хайнике, А. Масиас (2004) "Тензор Коттона в римановом пространстве-времени", Классическая и квантовая гравитация 21: 1099–1118, Eprint arXiv: gr-qc / 0309008