Уравнение Фишера - Википедия - Fishers equation

Численное моделирование уравнения Фишера – КПП. В цветах: решение ты(т,Икс); точками: наклон, соответствующий теоретической скорости бегущей волны.
Рональд Фишер в 1913 году

В математика, Уравнение фишера (названный в честь статистик и биолог Рональд Фишер; также известный как Уравнение Колмогорова – Петровского – Пискунова.-названный в честь Андрей Колмогоров, Иван Петровский, и Н. Пискунов -или же Уравнение КПП или же Уравнение Фишера – КПП) это уравнение в частных производных:

Подробности

Уравнение Фишера относится к классу уравнение реакции-диффузии: по сути, это одно из простейших полулинейных уравнений реакции-диффузии, в котором есть неоднородный член

которые могут иметь решения с бегущей волной, которые переключаются между состояниями равновесия . Такие уравнения встречаются, например, в экология, физиология, горение, кристаллизация, физика плазмы, и вообще фаза перехода проблемы.

Фишер предложил это уравнение в своей статье 1937 года. Волна продвижения полезных генов в контексте динамика населения описать пространственное распространение выгодного аллель и исследовали его решения с бегущей волной.[1] Для каждой скорости волны ( в безразмерном виде) допускает проезд волна решения формы

куда увеличивается и

То есть раствор переходит из равновесного состояния ты = 0 в состояние равновесия ты = 1. Такого решения не существует для c < 2.[1][2][3] Форма волны для данной скорости волны уникальна. Решения с бегущей волной устойчивы к возмущениям ближнего поля, но не к возмущениям дальнего поля, которые могут утолщать хвост. Используя принцип сравнения и теорию суперрешений, можно доказать, что все решения с компактными начальными данными сходятся к волнам с минимальной скоростью.

Для особой скорости волны , все решения можно найти в закрытом виде,[4] с

куда произвольно, и указанные выше предельные условия выполняются при .

Доказательство существования решений с бегущей волной и анализ их свойств часто выполняется метод фазового пространства.

Уравнение Фишера – Колмогорова.

Обобщение дается

что дает указанное выше уравнение при установке , и изменение масштаба координировать с коэффициентом .[5][6][7]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ а б Фишер, Р. А. (1937). "Волна продвижения полезных генов" (PDF). Анналы евгеники. 7 (4): 353–369. Дои:10.1111 / j.1469-1809.1937.tb02153.x. HDL:2440/15125.
  2. ^ А. Колмогоров, И. Петровский, Н. Пискунов. «Исследование уравнения диффузии с увеличением количества вещества» и его применение к биологической проблеме. В редакции В. М. Тихомирова, Избранные произведения А. Н. Колмогорова I, страницы 248–270. Kluwer 1991, ISBN  90-277-2796-1. Перевод В. М. Волосова из Бюл. МГУ, Матем. Мех. 1, 1–25, 1937 г.
  3. ^ Питер Гриндрод. Теория и приложения уравнений реакции-диффузии: модели и волны. Oxford Applied Mathematics and Computing Science Series. Clarendon Press Oxford University Press, Нью-Йорк, второе издание, 1996 г. ISBN  0-19-859676-6; ISBN  0-19-859692-8.
  4. ^ Абловиц, Марк Дж. И Цеппетелла, Энтони,Явные решения уравнения Фишера для специальной скорости волны, Бюллетень математической биологии 41 (1979) 835–840 Дои:10.1007 / BF02462380
  5. ^ Trefethen (30 августа 2001 г.). «Уравнение Фишера-КПП» (PDF). Фишер 2.
  6. ^ Гриффитс, Грэм В .; Шиссер, Уильям Э. (2011). «Уравнение Фишера – Колмогорова». Анализ бегущей волны уравнений с частными производными. Академия Пресс. С. 135–146. ISBN  978-0-12-384652-5.
  7. ^ Адомян Г. (1995). «Уравнение Фишера – Колмогорова». Письма по прикладной математике. 8 (2): 51–52. Дои:10.1016 / 0893-9659 (95) 00010-Н.

внешняя ссылка