Фокусная поверхность - Focal surface

Фокальные поверхности (голубые, розовые) гиперболического параболоид (белый) ${displaystyle z = x ^ {2} -y ^ {2} ,; 0leq x, yleq 0,5}$

Фокальные поверхности (зеленая и красная) седло обезьяны (синий). В центре седла обезьяны Кривизна Гаусса равно 0, в противном случае - отрицательно.

Для поверхность в трех измерениях фокальная поверхность, поверхность центров или же эволюционировать формируется путем взятия центров сферы кривизны, которые являются касательный сферы чьи радиусы взаимные одного из основные кривизны в точке касания. В равной степени это поверхность, образованная центрами окружностей, которые целоваться то линии кривизны.^[1][2]

Поверхность с эллиптической омбиликой и ее фокальная поверхность.

Поверхность с гиперболической омбиликой и ее фокальной поверхностью.

Поскольку главные кривизны являются собственными значениями второй фундаментальной формы, их по две в каждой точке, и они приводят к двум точкам фокальной поверхности на каждой. нормальное направление на поверхность. Вдали от пупочные точки эти две точки фокальной поверхности различны; в точках пуповины два листа сходятся. Когда поверхность имеет гребень фокальная поверхность имеет куспидальный край, три таких ребра проходят через эллиптический шлангокабель и только один - через гиперболический шлангопровод.^[3] В точках, где Гауссова кривизна равен нулю, один лист фокальной поверхности будет иметь бесконечно удаленную точку, соответствующую нулевой главной кривизне.

Если ${displaystyle {vec {p}}}$ точка данной поверхности, ${displaystyle {vec {n}}}$ блок нормальный и ${displaystyle k_ {1}, k_ {2}}$ то основные кривизны в ${displaystyle {vec {p}}}$, тогда

${displaystyle {vec {b}} _ {1} ({vec {p}}) = {vec {p}} + {frac {vec {n}} {k_ {1}}} quad}$ и ${displaystyle quad {vec {b}} _ {2} ({vec {p}}) = {vec {p}} + {frac {vec {n}} {k_ {2}}}}$

- соответствующие две точки фокальной поверхности.

Особые случаи

1. Фокальная поверхность сфера состоит из единственной точки, ее центра.
2. Одна часть фокальной поверхности поверхность вращения состоит из оси вращения.
3. Фокальная поверхность Тор состоит из направляющей окружности и оси вращения.
4. Фокальная поверхность Циклид Дюпена состоит из пары фокальные коники.^[4] Циклиды Дюпена - единственные поверхности, фокальные поверхности которых вырождаются в две кривые.^[5]
5. Одна часть фокальной поверхности поверхность канала вырождается в свою директрису.
6. Два конфокальные квадрики (например, эллипсоид и гиперболоид одного листа) можно рассматривать как фокальные поверхности поверхности.^[6]

Смотрите также

• Фокус (оптика)
• Эволют

Примечания

Рекомендации

• Chandru, V .; Dutta, D .; Хоффманн, К. (1988), О геометрии циклидов Дюпена, Электронные пабы Университета Пердью.