Метод Фокаса - Fokas method

В Метод Фокаса, или унифицированное преобразование, представляет собой алгоритмическую процедуру анализа краевых задач для линейные дифференциальные уравнения в частных производных и для важного класса нелинейные уравнения в частных производных принадлежащих к так называемым интегрируемым системам. Он назван в честь греческого математика. Афанасиос С. Фокас.

Традиционно для анализа линейных краевых задач используются либо интегральные преобразования и бесконечные ряды, либо соответствующие фундаментальные решения.

Интегральные преобразования и бесконечные ряды

Например, Задача Дирихле из уравнение теплопроводности на полуоси, т.е. проблема

${ displaystyle u_ {t} = u_ {xx}, quad 0 0,}$

(Уравнение 1)

${ Displaystyle и (х, 0) = и_ {0} (х), четырехъядерный 0 <х < infty; четырехъядерный и (0, т) = г_ {0} (т), четырехъядерный т> 0, }$

(Уравнение 2)

${ displaystyle u_ {0}}$ и ${ displaystyle g_ {0}}$ учитывая, можно решить с помощью синусоидальное преобразование. Аналогичную задачу на конечном интервале можно решить с помощью бесконечная серия. Однако решения, полученные с помощью интегральные преобразования и бесконечная серия имеют несколько недостатков:

1. Соответствующие представления не сходятся равномерно на границах. Например, используя синусоидальное преобразование, уравнения Уравнение 1 и Уравнение 2 подразумевать

${ Displaystyle и (х, т) = { гидроразрыва {2} { pi}} int _ {0} ^ { infty} sin ( lambda x) e ^ {- lambda ^ {2} t } left [ int _ {0} ^ { infty} sin ( lambda y) u_ {0} (y) , dy + lambda int _ {0} ^ {t} e ^ { lambda ^ {2} tau} g_ {0} ( tau) , d tau right] , d lambda.}$

(Уравнение 3)

За ${ displaystyle g_ {0} (т) neq 0}$, это представление не может быть равномерно сходящийся в ${ displaystyle x = 0}$, иначе можно было бы вычислить ${ displaystyle u (0, t)}$ вставив предел ${ displaystyle x rightarrow 0}$ внутри интеграла правой части Уравнение 3 и это даст ноль вместо ${ displaystyle g_ {0} (т)}$.

2. Приведенные выше изображения не подходят для численные расчеты. Этот факт является прямым следствием 1.

3. Традиционные интегральные преобразования и представления бесконечных рядов существуют только для очень ограниченного класса краевых задач.
Например, не существует аналога синусоидальное преобразование для решения следующей простой задачи:

${ displaystyle u_ {t} + u_ {xxx} = 0, quad 0 0,}$

(Уравнение 4)

дополнены начальными и граничными условиями Уравнение 2.

Для эволюционных PDE метод Фокаса:

1. Создает представления, которые всегда равномерно сходятся на границах.
2. Эти представления можно использовать просто, например, используя MATLAB, для численной оценки решения.
3. Строит представления для эволюционных УЧП с пространственными производными любого порядка.

Кроме того, метод Fokas создает представления, которые всегда имеют форму Фундаментальный принцип Эренпрейса.

Фундаментальные решения

Например, решения Лаплас, модифицированный Гельмгольца и Уравнения Гельмгольца внутри двумерной области ${ displaystyle Omega}$, можно выразить в виде интегралов по границе ${ displaystyle Omega}$. Однако эти представления включают как Дирихле и Граница Неймана значения, таким образом, поскольку только одно из этих граничных значений известно из заданных данных, вышеуказанные представления не эффективны. Чтобы получить эффективное представление, необходимо охарактеризовать обобщенное Дирихле к карте Неймана; например, для Задача Дирихле нужно получить Граница Неймана ценность с точки зрения данного Дирихле данные.

За эллиптические уравнения в частных производных, метод Фокаса:

1. Обеспечивает элегантную формулировку обобщенный Дирихле к Карта Неймана путем вывода алгебраического отношения, называемого глобальным отношением, которое объединяет соответствующие преобразования всех граничных значений.
2. Для простых областей и множества граничных условий глобальное соотношение может быть решено аналитически. Кроме того, для случая, когда ${ displaystyle Omega}$ - произвольный выпуклый многоугольник, глобальное соотношение может быть решено численно простым способом, например, с помощью MATLAB. Кроме того, для случая, когда ${ displaystyle Omega}$ выпуклый многоугольник, Фокас строит интегральное представление в Комплекс Фурье самолет. Используя это представление вместе с глобальным соотношением, можно численно вычислить решение внутри многоугольника прямым полуаналитическим способом.

Уравнение вынужденной теплопроводности на полупрямой

Позволять ${ Displaystyle и (х, т)}$ удовлетворяют уравнению вынужденной теплопроводности

${ displaystyle u_ {t} -u_ {xx} = f (x, t), 0 0,}$

(Уравнение 5)

в дополнение к начальные и граничные условия Уравнение 2, куда ${ Displaystyle г (т), u_ {0} (х), е (х, т)}$ являются заданными функциями с достаточной гладкостью, которые убывают как ${ Displaystyle х rightarrow infty}$.

Единое преобразование включает следующие три простых шага.

1. Используя преобразование Фурье пара

${ displaystyle { widehat {f}} ( lambda) = int _ {0} ^ { infty} e ^ {- i lambda x} f (x) , dx, quad operatorname {Im} lambda leq 0;}$

${ displaystyle f (x) = { frac {1} {2 pi}} int _ {- infty} ^ { infty} e ^ {i lambda x} { hat {f}} ( лямбда) , d лямбда, quad 0$

(Уравнение 6)

получить глобальное соотношение.
Для уравнения Уравнение 5, мы нашли

${ displaystyle e ^ { lambda ^ {2} t} { hat {u}} ( lambda, t) = Q ( lambda, t) - { tilde {g_ {1}}} ( lambda ^ {2}, t) -i lambda { tilde {g_ {0}}} ( lambda ^ {2}, t), quad operatorname {Im} lambda leq 0,}$

(Уравнение 7)

где функции ${ displaystyle { hat {u}}, Q, { tilde {g_ {1}}}}$ и ${ displaystyle { tilde {g_ {0}}}}$ следующие интегральные преобразования:

${ displaystyle { widehat {u}} ( lambda, t) = int _ {0} ^ { infty} e ^ {- я lambda x} u (x, t) , dx, operatorname {Im} lambda leq 0,}$

${ displaystyle Q ( lambda, t) = int _ {0} ^ { infty} e ^ {- i lambda x} u_ {0} (x) dx + int _ {0} ^ {t} , d tau int _ {0} ^ { infty} dx , e ^ {- i lambda x + lambda ^ {2} tau} f (x, tau), quad operatorname {Im} lambda leq 0,}$

${ displaystyle { tilde {g_ {1}}} ( lambda ^ {2}, t) = int _ {0} ^ {t} e ^ { lambda ^ {2} tau} u_ {x} (0, tau) , d tau, quad { tilde {g_ {0}}} ( lambda ^ {2}, t) = int _ {0} ^ {t} e ^ { lambda ^ {2} tau} u (0, tau) , d tau, quad lambda in mathbb {C}.}$

(Уравнение 8)

Этот шаг аналогичен первому шагу, используемому для традиционных преобразований. Однако уравнение Уравнение 7 включает t-преобразования обоих ${ displaystyle u (0, t)}$ и ${ displaystyle u_ {x} (0, t)}$, тогда как в случае синусоидальное преобразование ${ displaystyle u_ {x} (0, t)}$ не появляется в аналогичном уравнении (аналогично, в случае косинус-преобразование Только ${ displaystyle u_ {x} (0, t)}$ появляется). С другой стороны, уравнение Уравнение 7 действует в нижней половине комплекса ${ displaystyle lambda}$-плоскость, где аналогичные уравнения для синуса и косинус преобразования действительны только для ${ displaystyle lambda}$ настоящий. В Фокас метод основан на том, что уравнение Уравнение 7 имеет большую область действия.

2. Используя обратное преобразование Фурье, глобальное отношение дает интегральное представление на вещественной прямой. Деформируя действительную ось до контура в верхней половине ${ displaystyle lambda}$-комплексной плоскости, это выражение можно переписать в виде интеграла по контуру ${ displaystyle partial D ^ {+}}$, куда ${ displaystyle partial D ^ {+}}$ является границей области ${ Displaystyle D ^ {+}}$, который является частью ${ displaystyle D}$ в верхней половине комплекса ${ displaystyle lambda}$ самолет, с ${ displaystyle D}$ определяется

${ Displaystyle D: { lambda in mathbb {C}, Re omega ( lambda) <0 },}$ куда ${ displaystyle omega ( lambda)}$ определяется требованием, чтобы ${ Displaystyle е ^ {я лямбда х + омега ( лямбда) т}}$ решает данную PDE.

Рисунок 1: Кривая ${ displaystyle partial D ^ {+}}$

Для уравнения Уравнение 5, уравнения Уравнение 6 и Уравнение 7 подразумевать

${ Displaystyle и (х, т) = { гидроразрыва {1} {2 pi}} int _ {- infty} ^ { infty} е ^ {я лямбда х- лямбда ^ {2} т } Q ( lambda, t) , d lambda - { frac {1} {2 pi}} int _ { partial D ^ {+}} e ^ {i lambda x- lambda ^ { 2} t} [{ tilde {g_ {1}}} ( lambda ^ {2}, t) + i lambda { tilde {g_ {0}}} ( lambda ^ {2}, t)] , d lambda,}$

(Уравнение 9)

где контур ${ displaystyle partial D ^ {+}}$ изображен на рисунке 1.

В этом случае, ${ displaystyle omega ( lambda) = - lambda ^ {2} = - | lambda | ^ {2} e ^ {2i theta}}$, куда ${ displaystyle theta = { rm {{arg} lambda}}}$. Таким образом, ${ Displaystyle Re omega (к) <0}$ подразумевает ${ Displaystyle грех 2 тета> 0}$, т.е. ${ displaystyle - { frac { pi} {4}} < theta <{ frac { pi} {4}}}$ и ${ displaystyle { frac {3 pi} {4}} < theta <{ frac {5 pi} {4}}}$.
Тот факт, что действительная ось может быть деформирована до ${ displaystyle partial D ^ {+}}$ является следствием того, что соответствующий интеграл является аналитическая функция из ${ displaystyle lambda}$ который распадается в ${ Displaystyle D ^ {+}}$ в качестве ${ displaystyle lambda rightarrow infty}$.^[1]

3. Используя глобальное отношение и применяя преобразования в комплексном${ displaystyle lambda}$ самолет, который уезжает ${ displaystyle omega ( lambda)}$ инвариантен, можно исключить из интегрального представления ${ Displaystyle и (х, т)}$ преобразования неизвестных граничных значений. Для уравнения Уравнение 5, ${ Displaystyle омега ( лямбда) = лямбда ^ {2}}$, поэтому соответствующее преобразование ${ displaystyle lambda rightarrow - lambda}$. Используя это преобразование, уравнение Уравнение 7 становится

${ displaystyle e ^ { lambda ^ {2} t} { hat {u}} (- lambda, t) = Q (- lambda, t) - { tilde {g_ {1}}} ( lambda ^ {2}, t) + i lambda { tilde {g_ {0}}} ( lambda ^ {2}, t), quad operatorname {Im} lambda geq 0.}$

(Уравнение 10)

В случае Задача Дирихле, решая уравнение Уравнение 10 за ${ displaystyle { tilde {g_ {1}}}}$ и подставив полученное выражение в Уравнение 9 мы нашли

${ Displaystyle и (х, т) = { гидроразрыва {1} {2 pi}} int _ {- infty} ^ { infty} e ^ {я lambda x- lambda ^ {2} т } Q ( lambda, t) , d lambda - { frac {1} {2 pi}} int _ { partial D ^ {+}} e ^ {i lambda x- lambda ^ { 2} t} [2i lambda { tilde {g_ {0}}} ( lambda ^ {2}, t) + Q (- lambda, t)] , d lambda.}$

(Уравнение 11)

Если важно отметить, что неизвестный термин ${ displaystyle { hat {u}} (- lambda, t)}$ не способствует решению ${ displaystyle u}$. Действительно, соответствующий интеграл включает в себя член ${ Displaystyle е ^ {я лямбда х} { шляпа {и}} (- лямбда, т)}$, который является аналитическим и убывает как ${ displaystyle lambda rightarrow infty}$ в ${ Displaystyle D ^ {-}}$, таким образом Лемма Джордана подразумевает, что ${ displaystyle { hat {u}} (- lambda, t)}$ дает нулевой вклад.
Уравнение Уравнение 11 можно переписать в форме, соответствующей Фундаментальный принцип Эренпрейса: если граничное условие указано для ${ Displaystyle 0 < тау$, куда ${ displaystyle T}$ заданная положительная константа, то используя Интегральная теорема Коши, следует, что Уравнение 11 эквивалентно следующему уравнению:

${ Displaystyle и (х, т) = { гидроразрыва {1} {2 pi}} int _ {- infty} ^ { infty} е ^ {я лямбда х- лямбда ^ {2} т } Q ( lambda) , d lambda - { frac {1} {2 pi}} int _ { partial D ^ {+}} e ^ {i lambda x- lambda ^ {2} t} [Q (- lambda) + 2i lambda { tilde {g_ {0}}} ( lambda ^ {2})] , d lambda,}$

(Уравнение 12)

куда

${ displaystyle Q ( lambda) = { widehat {u}} _ {0} ( lambda) + int _ {0} ^ { infty} dx int _ {0} ^ {T} dt , e ^ {- я lambda x + lambda ^ {2} t} f (x, t),}$

${ Displaystyle { тильда {g_ {0}}} ( lambda ^ {2}) = int _ {0} ^ {T} e ^ { lambda ^ {2} t} g_ {0} (т) , dt.}$

Равномерная сходимость
Унифицированное преобразование конструирует представления, которые всегда равномерно сходящийся на границах. Например, оценивая Уравнение 12 в ${ displaystyle x = 0}$, а затем позволяя ${ displaystyle lambda rightarrow - lambda}$ в первом члене второго интеграла в правой части Уравнение 12, следует, что

${ displaystyle u (0, t) = - { frac {i} { pi}} int _ { partial D} e ^ {- lambda ^ {2} t} lambda { tilde {g_ { 0}}} ( lambda ^ {2}) , d lambda.}$

Замена переменных ${ displaystyle lambda = e ^ { frac {я pi} {4}} { sqrt {k}}}$, ${ displaystyle k> 0}$, следует, что ${ Displaystyle и (0, т) = г (т)}$.

Числовая оценкаВычислить решение несложно численно с использованием квадратуры после деформации контура для обеспечения экспоненциального затухания подынтегральной функции.^[2] Для простоты мы сконцентрируемся на случае, когда соответствующие преобразования могут быть вычислены аналитически. Например,

${ Displaystyle е (х, т) = 0, u_ {0} (х) = е ^ {- а ^ {2} х}, g_ {0} (т) = соз (bt), а , b, { text {вещественные константы}}.}$

Тогда уравнение Уравнение 11 становится

${ displaystyle 2 pi u (x, t) = int _ {- infty} ^ { infty} { frac {e ^ {i lambda x- lambda ^ {2} t}} {i лямбда + a ^ {2}}} , d lambda - int _ { partial D ^ {+}} e ^ {i lambda x- lambda ^ {2} t} left [{ frac { 1} {- i lambda + a ^ {2}}} + { frac {i lambda} { lambda + ib}} { bigl (} e ^ {( lambda ^ {2} + ib) t } -1 { bigr)} + ​​{ frac {i lambda} { lambda -ib}} { bigl (} e ^ {( lambda ^ {2} -ib) t} -1 { bigr) } right] , d lambda.}$

(Уравнение 13)

• 

  Рисунок 2: Контур L

За ${ displaystyle lambda}$ на ${ displaystyle partial D ^ {+}}$, период, термин ${ displaystyle e ^ {я lambda x}}$ экспоненциально затухает как ${ displaystyle | lambda | rightarrow infty}$. Также путем деформации ${ displaystyle partial D ^ {+}}$ к ${ displaystyle L}$ куда ${ displaystyle L}$ представляет собой контур между действительной осью и ${ displaystyle partial D ^ {+}}$, следует, что для ${ displaystyle lambda}$ на ${ displaystyle L}$ период, термин ${ displaystyle e ^ {- lambda ^ {2} t}}$ также экспоненциально затухает как ${ displaystyle | lambda | rightarrow infty}$. Таким образом, уравнение Уравнение 13 становится

${ displaystyle 2 pi u (x, t) = int _ {L} left {e ^ {i lambda x- lambda ^ {2} t} left [{ frac {1} {i lambda + a ^ {2}}} + { frac {1} {i lambda -a ^ {2}}} right] + i lambda e ^ {i lambda x} left [{ frac {e ^ {ibt} -e ^ {- lambda ^ {2} t}} { lambda + ib}} + { frac {e ^ {- ibt} -e ^ {- lambda ^ {2} t }} { lambda -ib}} right] right } , d lambda,}$

и правая часть приведенного выше уравнения может быть вычислена с использованием MATLAB.

Для получения подробной информации об эффективной численной квадратуре с использованием унифицированного преобразования мы отсылаем читателя к^[2] которая решает уравнение переноса-дисперсии на полупрямой. Там было обнаружено, что решение поддается квадратуре (квадратура Гаусса-Лагерра для экспоненциального убывания подынтегральной функции или квадратура Гаусса-Эрмита для квадрата экспоненциального убывания подынтегральной функции) с экспоненциальной сходимостью.

Уравнение эволюции с пространственными производными произвольного порядка.
Предположим, что ${ Displaystyle е ^ {я лямбда х + омега ( лямбда) т}}$ является решением данного PDE. Потом, ${ displaystyle partial D ^ {+}}$ является границей области ${ Displaystyle D ^ {+}}$ определено ранее.

Если в данном УЧП есть пространственные производные порядка ${ displaystyle n}$, то для ${ displaystyle n}$ даже глобальное отношение включает ${ displaystyle { frac {n} {2}}}$ неизвестные, тогда как для ${ displaystyle n}$ странно, что это вовлекает ${ Displaystyle (п + 1) / 2}$ или же ${ Displaystyle (п-1) / 2}$ неизвестные (в зависимости от коэффициента при старшей производной). Однако, используя соответствующее количество преобразований в комплексе ${ displaystyle lambda}$-самолет, уходящий ${ displaystyle omega ( lambda)}$ инвариантно, можно получить необходимое количество уравнений, так что преобразования неизвестных граничных значений могут быть получены в терминах ${ displaystyle { hat {u}}}$ и заданных граничных данных в терминах решения системы алгебраические уравнения.

Численный метод коллокации

Метод Фокаса дает начало новому методу спектральной коллокации в пространстве Фурье. Недавняя работа расширила метод и продемонстрировала ряд его преимуществ; он позволяет избежать вычисления сингулярных интегралов, встречающихся в более традиционных подходах на основе границ, его быстро и легко кодировать, его можно использовать для разделяемых УЧП, где аналитически не известна функция Грина, и его можно заставить экспоненциально сходиться при правильном выборе базисных функций.

Базовый метод в выпуклом ограниченном многоугольнике

Предположим, что ${ displaystyle u}$ и ${ displaystyle v}$ оба удовлетворяют уравнению Лапласа внутри выпуклого ограниченного многоугольника ${ displaystyle Omega}$. Следует, что

${ displaystyle 0 = v (u_ {xx} + u_ {yy}) - u (v_ {xx} + v_ {yy}) = { frac { partial} { partial x}} { big (} vu_ {x} -uv_ {x} { big)} + { frac { partial} { partial y}} { big (} vu_ {y} -uv_ {y} { big)}.}$

Тогда из теоремы Грина следует соотношение

${ displaystyle int _ { partial Omega} left [ left (vu_ {x} -uv_ {x} right) dy- left (vu_ {y} -uv_ {y} right) dx right ] = 0.}$

(Уравнение 14)

Чтобы выразить подынтегральную функцию приведенного выше уравнения только через граничные значения Дирихле и Неймана, мы параметризуем ${ Displaystyle и (х, у)}$ и ${ Displaystyle v (х, у)}$ по длине дуги, ${ displaystyle s}$, из ${ displaystyle partial Omega}$. Это ведет к

${ displaystyle u_ {x} dy-u_ {y} dx = { frac { partial u} { partial w}} ds,}$

(Уравнение 15)

куда ${ displaystyle { frac { partial u} { partial w}}}$ обозначает нормальную производную.

Чтобы еще больше упростить глобальное отношение, мы вводим комплексную переменную ${ displaystyle z = x + iy}$, и его сопряженный ${ displaystyle { bar {z}} = x-iy}$. Затем мы выбираем тестовую функцию ${ displaystyle v = e ^ {- я lambda z}}$, что приводит к глобальному соотношению для уравнения Лапласа:

${ displaystyle int _ { partial Omega} e ^ {- я lambda z} left [{ frac { partial u} { partial w}} + lambda u { frac {dz} {ds }} right] ds = 0, qquad lambda in mathbb {C}.}$

(Уравнение 16)

Аналогичный аргумент может также использоваться при наличии принудительного члена (дающего ненулевую правую часть). Аналогичный аргумент работает для уравнения Гельмгольца.

${ displaystyle u_ {xx} + u_ {yy} +4 beta ^ {2} u = 0}$

и модифицированное уравнение Гельмгольца

${ displaystyle u_ {xx} + u_ {yy} -4 beta ^ {2} u = 0.}$

Выбор соответствующих тестовых функций ${ displaystyle v = e ^ {- i beta ( lambda z + { frac { bar {z}} { lambda}})}}$ и ${ displaystyle v = e ^ {- i beta ( lambda z - { frac { bar {z}} { lambda}})}}$ привести к соответствующим глобальным отношениям

${ displaystyle int _ { partial Omega} e ^ {- i beta ( lambda z + { frac { bar {z}} { lambda}})} left [{ frac { partial u } { partial w}} + beta left ( lambda { frac {dz} {ds}} - { frac {1} { lambda}} { frac {d { bar {z}}} {ds}} right) u right] ds = 0, qquad lambda in mathbb {C} backslash {0 },}$

и

${ displaystyle int _ { partial Omega} e ^ {- i beta ( lambda z - { frac { bar {z}} { lambda}})} left [{ frac { partial u} { partial w}} + beta left ( lambda { frac {dz} {ds}} + { frac {1} { lambda}} { frac {d { bar {z}} } {ds}} right) u right] ds = 0, qquad lambda in mathbb {C} backslash {0 }.}$

Эти три случая имеют дело с более общими УЧП второго порядка с эллиптическими постоянными коэффициентами посредством подходящей линейной замены переменных.

Отображение Дирихле - Неймана для выпуклого многоугольникаПредположим, что ${ displaystyle Omega}$ внутренность ограниченного выпуклый многоугольник указанный по углам ${ displaystyle z_ {1}, z_ {2}, dots z_ {n}}$. В этом случае глобальное соотношение Уравнение 16 принимает форму

${ displaystyle sum _ {j = 1} ^ {n} u_ {j} ( lambda) = 0, lambda in mathbb {C},}$

(Уравнение 17)

куда

${ displaystyle u_ {j} ( lambda) = { frac {1} {2}} int _ {z_ {j}} ^ {z_ {j} +1} e ^ {- i lambda z} ( u_ {x} -iu_ {y}) , dz,}$

(Уравнение 18)

или же

${ displaystyle u_ {j} ( lambda) = int _ {z_ {j}} ^ {z_ {j} +1} e ^ {- i lambda z} left ({ frac { partial u}) { partial w}} + lambda u { frac {dz} {ds}} right) , ds.}$

(Уравнение 19)

Сторона ${ displaystyle S_ {j}}$, которая является стороной между ${ displaystyle z_ {j}}$ и ${ displaystyle z_ {j + 1}}$, можно параметризовать

${ displaystyle z (t) = m_ {j} + th_ {j}, m_ {j} = { frac {z_ {j} + z_ {j + 1}} {2}}, h_ {j} = { frac {z_ {j + 1} -z_ {j}} {2}}, t in [-1,1].}$

Следовательно,

${ Displaystyle ds = | h_ {j} | , dt, dz = h_ {j} , dt.}$

Функции ${ displaystyle u}$ и ${ displaystyle { frac { partial u} { partial w}}}$ можно аппроксимировать с точки зрения Полиномы Лежандра:

${ displaystyle u ^ {j} (t) приблизительно sum _ { ell = 0} ^ {N-1} a _ { ell} ^ {j} P _ { ell} (t), quad { гидроразрыв { partial u ^ {j} (t)} { partial w}} приблизительно sum _ { ell = 0} ^ {N-1} b _ { ell} ^ {j} P _ { ell} (t),}$

(Уравнение 20)

где для случаев Дирихле, Neumann или же Граница Робина ценить проблемы ${ displaystyle a _ { ell} ^ {j}}$, ${ displaystyle b _ { ell} ^ {j}}$или линейная комбинация ${ displaystyle a _ { ell} ^ {j}}$и ${ displaystyle b _ { ell} ^ {j}}$ дано.

Уравнение Уравнение 19 теперь становится приближенным глобальным соотношением, где

${ displaystyle u_ {j} ( lambda) = sum _ { ell = 0} ^ {N-1} e ^ {- im_ {j} lambda} (b _ { ell} ^ {j} | h_ {j} | + lambda a _ { ell} ^ {j} h_ {j}) { widehat {P}} _ { ell} ( lambda h_ {j}), lambda in mathbb { C},}$

(Уравнение 21)

с ${ displaystyle { hat {P}} _ { ell} ( lambda)}$ обозначая преобразование Фурье из ${ Displaystyle P _ { ell} (т)}$, т.е.

${ displaystyle { widehat {P}} _ { ell} ( lambda) = int _ {- 1} ^ {1} e ^ {- i lambda t} P _ { ell} (t) , dt, quad lambda in mathbb {C}.}$

(Уравнение 22)

${ displaystyle { hat {P}} _ { ell} ( lambda)}$ можно вычислить численно с помощью ${ displaystyle { hat {P}} _ { ell} ( lambda) = { frac { sqrt {-2i pi lambda}} {- i lambda}} I _ { ell + { frac {1} {2}}} (- я lambda),}$ куда ${ displaystyle I _ { ell}}$ обозначает модифицированная функция Бесселя первого вида.

Глобальное отношение включает ${ displaystyle N}$ неизвестные константы (для задачи Дирихле эти константы равны ${ displaystyle b _ { ell} ^ {j}}$). Оценивая глобальное отношение при достаточно большом количестве различных значений ${ displaystyle lambda}$неизвестные константы могут быть получены путем решения системы алгебраических уравнений.

Удобно выбирать указанные выше значения ${ displaystyle lambda}$ на ${ displaystyle n}$ лучи ${ displaystyle - { bar {h}} _ {j} rho, rho> 0, j = 1, dots, n.}$ Для этого выбора, поскольку ${ displaystyle | lambda | rightarrow infty}$, соответствующая система доминирует по диагонали, поэтому ее число обусловленности очень мало.^[3]

Работа с невыпуклостью

Хотя глобальное соотношение справедливо для невыпуклых областей ${ displaystyle Omega}$, вышеуказанный метод коллокации становится численно нестабильным.^[4] Эвристическое объяснение этой плохой обусловленности в случае уравнения Лапласа состоит в следующем. "Тестовые функции" ${ displaystyle e ^ {- я lambda z}}$ растут / затухают экспоненциально в определенных направлениях ${ displaystyle lambda}$. При использовании достаточно большого выбора сложных ${ displaystyle lambda}$-значения, расположенные во всех направлениях от начала координат, каждая сторона выпуклого многоугольника будет для многих из них ${ displaystyle lambda}$-значения встречаются с более крупными тестовыми функциями, чем остальные стороны. Это точно тот же аргумент, который мотивирует "лучевой" выбор точек коллокации, задаваемый формулой ${ displaystyle - { overline {h}} _ {j} rho}$, что дает диагонально доминирующую систему. Напротив, для невыпуклого многоугольника в граничных областях в областях с отступом всегда будут преобладать эффекты от других граничных частей, независимо от ${ displaystyle lambda}$-ценить. Это можно легко преодолеть, разбив область на многочисленные выпуклые области (вводя фиктивные границы) и согласовав решение и нормальную производную на этих внутренних границах. Такое разбиение также позволяет расширить метод на внешние / неограниченные области. ${ displaystyle Omega}$ (Смотри ниже).

Оценка в интерьере домена

Позволять ${ Displaystyle G = G (z, zeta)}$ - ассоциированное фундаментальное решение уравнения в частных производных, удовлетворяющее ${ displaystyle u}$. В случае прямых ребер теорема Грина о представлении приводит к

${ displaystyle { begin {align} u (x, y) & = sum _ {j = 1} ^ {n} int _ {- 1} ^ {1} { Big [} G (z, zeta (t)) { frac { partial u} { partial w}} | h_ {j} | + iu { Big (} { frac { partial G} { partial zeta (t)}} (z, zeta (t)) h_ {j} - { frac { partial G} { partial { bar { zeta}} (t)}} (z, zeta (t)) { bar {h}} _ {j} { Big)} { Big]} dt & приблизительно sum _ {j = 1} ^ {n} sum _ {l = 0} ^ {N-1} int _ {- 1} ^ {1} { Big [} G (z, zeta (t)) b_ {l} ^ {j} P_ {l} (t) | h_ {j} | + ia_ { l} ^ {j} { Big (} { frac { partial G} { partial zeta (t)}} (z, zeta (t)) h_ {j} - { frac { partial G } { partial { bar { zeta}} (t)}} (z, zeta (t)) { bar {h}} _ {j} { Big)} P_ {l} (t) { Big]} dt. End {выравнивается}}}$

(Уравнение 23)

Из-за ортогональности полиномов Лежандра для данного ${ displaystyle z = x + iy}$, интегралы в приведенном выше представлении являются коэффициентами разложения Лежандра некоторых аналитических функций (записанных в терминах ${ displaystyle G}$). Следовательно, интегралы могут быть вычислены быстро (все сразу) путем расширения функций в базисе Чебышева (с использованием БПФ) и последующего преобразования в базис Лежандра.^[5] Это также можно использовать для аппроксимации "гладкой" части решения после добавления глобальных сингулярных функций для устранения угловых особенностей.

Расширение до криволинейных границ и отделяемых PDE

Метод может быть расширен до PDE с переменным коэффициентом и криволинейных границ следующим образом (см. ^[6]). Предположим, что ${ Displaystyle альфа (х, у) в mathbb {C} ^ {2 раз 2}}$ - матричнозначная функция, ${ Displaystyle бета (х, у) в mathbb {C} ^ {2}}$ векторнозначная функция и ${ displaystyle gamma}$ функция (все достаточно гладкие), определенная над ${ displaystyle Omega}$. Рассмотрим формальный PDE в форме дивергенции:

${ displaystyle nabla cdot ( alpha nabla u) + nabla cdot ( beta u) + gamma u = 0.}$

(Уравнение 24)

Предположим, что область ${ displaystyle Omega}$ ограниченная связная липшицева область, граница которой состоит из конечного числа вершин, соединенных ${ displaystyle C ^ {1}}$ дуги. Обозначим углы ${ displaystyle Omega}$ в порядке против часовой стрелки как ${ displaystyle {z_ {j} } _ {1} ^ {n}}$ со стороны ${ displaystyle Gamma _ {j}}$, присоединяясь ${ displaystyle z_ {j}}$ к ${ displaystyle z_ {j + 1}}$. ${ displaystyle Gamma _ {j}}$ может быть параметризовано

${ displaystyle [-1,1] ni t rightarrow (x_ {j} (t), y_ {j} (t)) in mathbb {R} ^ {2},}$

где мы предполагаем, что параметризация ${ displaystyle C ^ {1}}$.

Сопряженное уравнение Уравнение 24 дан кем-то

${ displaystyle nabla cdot ( alpha ^ {T} nabla v) - beta cdot nabla v + gamma v = 0.}$

(Уравнение 25)

Выражение ${ displaystyle v times}$Уравнение 24${ displaystyle -u times}$Уравнение 25 можно записать в виде

${ displaystyle nabla cdot [v ( alpha nabla u) -u ( alpha ^ {T} nabla v) + beta uv] = 0.}$

(Уравнение 26)

Интегрируя по области и применяя теорему о расходимости, восстанавливаем глобальное соотношение (${ displaystyle n}$ обозначает внешнюю нормаль):

${ displaystyle int _ { partial Omega} u { big [} (n cdot beta) vn cdot ( alpha ^ {T} nabla v) { big]} + v { big [ } n cdot ( alpha nabla u) { big]} ds = 0.}$

(Уравнение 27)

Определять ${ displaystyle l_ {j} (t) = { sqrt {{ dot {x}} _ {j} (t) ^ {2} + { dot {y}} _ {j} (t) ^ { 2}}}}$ по кривой ${ displaystyle Gamma _ {j}}$ и предположим, что ${ displaystyle l_ {j} (t)> 0}$. Предположим, что у нас есть однопараметрическое семейство решений сопряженного уравнения: ${ Displaystyle v (х, y; лямбда) = v _ { лямбда}}$, для некоторых ${ displaystyle lambda in { mathcal {C}}}$, куда ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ обозначает набор словосочетаний. Обозначая решение ${ displaystyle u}$ рядом ${ displaystyle Gamma _ {j}}$ к ${ displaystyle u ^ {j}}$, блок наружу нормально на ${ displaystyle n_ {j}}$ и аналогично наклонная производная по ${ Displaystyle п_ {J} cdot ( альфа набла и ^ {j})}$, мы определяем следующее важное преобразование:

${ displaystyle { hat { mu}} _ {j} ( lambda): = int _ {- 1} ^ {1} { big {} u ^ {j} { big [} (n_ {j} cdot beta) v _ { lambda} -n_ {j} cdot ( alpha ^ {T} nabla v _ { lambda}) { big]} + v _ { lambda} { big [ } n_ {j} cdot ( alpha nabla u ^ {j}) { big]} { big }} l_ {j} (t) dt.}$

(Уравнение 28)

С помощью Уравнение 28 , глобальное отношение Уравнение 27 становится

${ displaystyle sum _ {j = 1} ^ {n} { hat { mu}} _ {j} ( lambda) = 0.}$

(Уравнение 29)

Для разделимых УЧП подходящее однопараметрическое семейство решений ${ displaystyle v _ { lambda}}$ могут быть построены. Если мы расширим каждый ${ displaystyle u ^ {j}}$ и его производная ${ Displaystyle п_ {J} cdot ( альфа набла и ^ {j})}$ вдоль границы ${ displaystyle Gamma _ {j}}$ в полиномах Лежандра, то мы покрываем аналогичное приближенное глобальное соотношение, как и раньше. Чтобы вычислить интегралы, которые образуют приближенное глобальное отношение, мы можем использовать тот же трюк, что и раньше - разложить функцию, проинтегрированную по многочленам Лежандра в ряд Чебышева, а затем преобразовать в ряд Лежандра. Основное преимущество метода в этом сценарии состоит в том, что это метод на основе границ, который не требует каких-либо знаний о соответствующей функции Грина. Следовательно, он более применим, чем методы граничного интеграла при установке переменных коэффициентов.

Сингулярные функции и внешние задачи рассеяния

Основное преимущество вышеупомянутого метода коллокации состоит в том, что выбор базиса (полиномы Лежандра в приведенном выше обсуждении) может быть гибко выбран для захвата локальных свойств решения вдоль каждой границы. Это полезно, когда решение имеет разные масштабы в разных регионах. ${ displaystyle Omega}$, но особенно полезен для захвата особого поведения, например, вблизи острых углов ${ displaystyle Omega}$.

Рассмотрим задачу акустического рассеяния, решенную в ^[7] по методу. Решение ${ displaystyle u}$ удовлетворяет уравнению Гельмгольца в ${ displaystyle mathbb {R} ^ {2} backslash {x in [-1,1], y = 0 }}$ с частотой ${ displaystyle k_ {0} = 2 beta}$вместе с условием излучения Зоммерфельда на бесконечности:

${ displaystyle lim _ {r rightarrow infty} r ^ {1/2} left ({ frac { partial} { partial r}} - ik_ {0} right) u (x, y) = 0,}$

(Уравнение 30)

куда ${ displaystyle r = { sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}}$. Граничное условие вдоль пластины:

${ displaystyle { frac { partial u} { partial y}} (x, 0) = - { frac { partial u_ {I}} { partial y}} (x, 0), quad x in [-1,1]}$

(Уравнение 31)

для области инцидента

${ displaystyle u_ {I} (x, y) = e ^ {- ik_ {0} cos theta x-ik_ {0} sin theta y}.}$

(Уравнение 32)

Рассматривая домены ${ displaystyle y> 0}$ и ${ displaystyle y <0}$ отдельно и согласовывая глобальные отношения, глобальное отношение для этой проблемы становится

${ displaystyle { begin {align} & int _ { mathbb {R} backslash [-1,1]} e ^ {- i beta x ( lambda + { frac {1} { lambda}) })} u_ {y} (x, 0) dx & + int _ {[- 1,1]} e ^ {- i beta x ( lambda + { frac {1} { lambda} })} left [u_ {y} (x, 0) + { frac { beta} {2}} left ( lambda - { frac {1} { lambda}} right) [u] (x, 0) right] dx = 0, qquad lambda in Lambda, end {align}}}$

(Уравнение 33)

с ${ Displaystyle Lambda = (- 1,0) чашка (1, infty) чашка {e ^ {- i theta}: 0 < theta < pi }}$ и где ${ displaystyle [u] (x, 0) = u (x, 0 _ {+}) - u (x, 0 _ {-})}$ обозначает скачок в ${ displaystyle u}$ поперек тарелки. Сложные точки коллокации разрешены именно из-за радиационного состояния. Чтобы зафиксировать особенности конечных точек, мы расширяем ${ Displaystyle [и] (х, 0)}$ за ${ Displaystyle х в [-1,1]}$ в терминах весовых многочленов Чебышева второго рода:

${ displaystyle C_ {m} (x) = { sqrt {1-x ^ {2}}} U_ {m} (x).}$

(Уравнение 34)

Они имеют следующее преобразование Фурье:

${ displaystyle int _ {- 1} ^ {1} e ^ {i lambda t} { sqrt {1-t ^ {2}}} U_ {m} (t) dt = { frac {(m +1) i ^ {m} pi} { lambda}} J_ {m + 1} ( lambda),}$

(Уравнение 35)

куда ${ Displaystyle J _ { альфа} ( cdot)}$ обозначает функцию Бесселя первого рода порядка ${ displaystyle alpha}$. Для производной ${ displaystyle u_ {y}}$ вдоль ${ Displaystyle mathbb {R} обратная косая черта [-1,1]}$, подходящим выбором базиса являются функции Бесселя дробного порядка (для улавливания сингулярности и алгебраического убывания на бесконечности).

Введем безразмерную частоту ${ displaystyle { tilde {k}} _ {0} = k_ {0} L ^ {- 1}}$, куда ${ displaystyle L}$ длина пластины. На рисунке ниже показана сходимость метода для различных ${ displaystyle { tilde {k}} _ {0}}$. Здесь ${ displaystyle N}$ количество базисных функций ${ displaystyle C_ {m}}$ используется для аппроксимации прыжка ${ displaystyle [u]}$ поперек тарелки. Максимальная относительная абсолютная ошибка - это максимальная ошибка вычисленного решения, деленная на максимальное абсолютное значение решения. Цифра для ${ displaystyle theta = pi / 3}$ и показывает квадратично-экспоненциальную сходимость метода, а именно, ошибка уменьшается как ${ Displaystyle { mathcal {O}} ( rho ^ {N ^ {2}})}$ для некоторых положительных ${ displaystyle rho <1}$. С более сложной геометрией (включая разные углы касания границ и бесконечные клинья) можно работать аналогичным образом, как и с более сложными граничными условиями, такими как моделирующие упругость.^[8][9]

Результаты сходимости для метода и различных ${ displaystyle { tilde {k}} _ {0}}$.

Рекомендации