Теорема Гордона – Ньюэлла - Gordon–Newell theorem

В теория массового обслуживания, дисциплина в рамках математической теория вероятности, то Теорема Гордона – Ньюэлла является продолжением Теорема Джексона от открытых сетей массового обслуживания до закрытых сетей массового обслуживания экспоненциальных серверов, где клиенты не могут покинуть сеть.^[1] Теорема Джексона не может применяться к закрытым сетям, поскольку длина очереди в узле закрытой сети ограничена населением сети. Теорема Гордона – Ньюэлла вычисляет решение для открытой сети, а затем устраняет недопустимые состояния путем перенормировки вероятностей. Расчет нормализующая константа делает обработку более неудобной, поскольку необходимо перечислить все пространство состояний. Алгоритм Бузена или же анализ среднего значения можно использовать для более эффективного вычисления нормирующей постоянной.^[2]

Определение сети Гордона – Ньюэлла

Сеть м взаимосвязанные очереди известны как Сеть Гордона – Ньюэлла^[3] или же закрытая сеть Джексона^[4] если он соответствует следующим условиям:

1. сеть закрыта (клиенты не могут войти или покинуть сеть),
2. все времена обслуживания распределены экспоненциально, а дисциплина обслуживания во всех очередях FCFS,
3. заказчик завершает обслуживание в очереди я перейдет в очередь j с вероятностью ${displaystyle P_ {ij}}$, с ${displaystyle P_ {ij}}$ такой, что ${extstyle sum _ {j = 1} ^ {m} P_ {ij} = 1}$,
4. использование всех очередей меньше единицы.

Теорема

В закрытой сети Гордона – Ньюэлла м очереди, с общим населением K частные лица, напишите ${displaystyle scriptstyle {(k_ {1}, k_ {2}, ldots, k_ {m})}}$ (куда k_я длина очереди я) для состояния сети и S(K, м) для пространства состояний

${displaystyle S (K, m) = left {mathbf {k} in mathbb {N} ^ {m} {ext {such that}} sum _ {i = 1} ^ {m} k_ {i} = Kight}. }$

Тогда существует распределение вероятностей равновесного состояния, которое задается выражением

${displaystyle pi (k_ {1}, k_ {2}, ldots, k_ {m}) = {frac {1} {G (K)}} prod _ {i = 1} ^ {m} left ({frac { e_ {i}} {mu _ {i}}} ight) ^ {k_ {i}}}$

где время обслуживания в очереди я экспоненциально распределены с параметром μ_я. Нормирующая постоянная грамм(K) дан кем-то

${displaystyle G (K) = sum _ {mathbf {k} in S (K, m)} prod _ {i = 1} ^ {m} left ({frac {e_ {i}} {mu _ {i}}) } ight) ^ {k_ {i}},}$

и е_я коэффициент посещений, рассчитанный путем решения систем уравнений

${displaystyle e_ {i} = sum _ {j = 1} ^ {m} e_ {j} p_ {ji} {ext {for}} 1leq ileq m.}$

Смотрите также

• Сеть BCMP

Рекомендации