Внутренняя норма прибыли - Internal rate of return

Внутренняя норма прибыли (IRR) - это метод расчета вложение С норма прибыли. Период, термин внутренний относится к тому факту, что расчет исключает внешние факторы, такие как безрисковая ставка, инфляция, то стоимость капитала, или финансовый риск.

Метод может применяться либо постфактум или ex-ante. Применительно к прогнозам IRR представляет собой оценку будущей годовой нормы прибыли. Применяемый постфактум, он измеряет фактическую доходность исторической инвестиции.

Его еще называют дисконтированный денежный поток норма прибыли (DCFROR).^[1]

Определение

Внутренняя норма доходности инвестиций или проекта - это «эффективная комбинированная доходность в годовом исчислении» или норма прибыли что устанавливает чистая приведенная стоимость всех денежных потоков (как положительных, так и отрицательных) от инвестиции равняется нулю. Эквивалентно, это учетная ставка при которой чистая приведенная стоимость будущих денежных потоков равна первоначальным инвестициям, а также ставка дисконтирования, по которой общая Текущее значение затрат (отрицательные денежные потоки) равняются общей приведенной стоимости выгод (положительные денежные потоки).

IRR составляет предпочтение времени денег и вложений. Данная прибыль на инвестиции, полученная в данный момент времени, стоит больше, чем та же прибыль, полученная в более позднее время, поэтому последняя принесет более низкую IRR, чем первая, если все остальные факторы равны. А инвестиции с фиксированным доходом в котором деньги размещаются один раз, интерес по этому депозиту выплачивается инвестору в указанный процентная ставка каждый период времени, и первоначальный депозит не увеличивается и не уменьшается, IRR будет равняться указанной процентной ставке. Инвестиции, которые имеют ту же общую прибыль, что и предыдущие, но задерживают возврат на один или несколько периодов времени, будут иметь более низкую внутреннюю норму доходности.

Использует

Сбережения и займы

В контексте сбережений и ссуд IRR также называют эффективная процентная ставка.

Рентабельность вложения

Корпорации используют IRR в бюджетирование капитала сравнить рентабельность из капитальные проекты с точки зрения норма прибыли. Например, корпорация будет сравнивать инвестиции в новый завод с расширением существующего завода на основе IRR каждого проекта. Чтобы максимизировать возвращается, чем выше IRR проекта, тем желательнее его реализация. Для максимальной отдачи проект с самой высокой IRR будет считаться лучшим и реализовываться в первую очередь.

Максимизация чистой приведенной стоимости

Внутренняя норма доходности - это индикатор рентабельность, эффективность, качество или Уступать инвестиции. Это контрастирует с чистая приведенная стоимость, что является индикатором чистой ценность или величина добавлено вложением.

Применение метода внутренней нормы прибыли для максимизации ценность фирмы, любые инвестиции будут приняты, если их прибыльность, измеренная внутренней нормой доходности, превышает минимально допустимая норма прибыли. Подходящая минимальная скорость для максимизации ценность добавлен к фирме стоимость капитала, т.е. внутренняя норма доходности нового капитального проекта должна быть выше стоимости капитала компании. Это связано с тем, что только инвестиции с внутренней нормой доходности, превышающей стоимость капитала имеет положительный чистая приведенная стоимость.

Однако выбор инвестиций может зависеть от бюджетных ограничений или взаимоисключающий конкурирующие проекты, или возможности или способность управлять большим количеством проектов могут быть практически ограничены. В приведенном выше примере корпорации, сравнивающей инвестиции в новый завод с расширением существующего завода, могут быть причины, по которым компания не будет участвовать в обоих проектах.

Фиксированный доход

Тот же метод используется и для расчета доходность к погашению и уступить, чтобы позвонить.

Пассивы

Как внутренняя норма прибыли, так и чистая приведенная стоимость могут применяться как к обязательствам, так и к инвестициям. Для обязательства более низкая внутренняя норма прибыли предпочтительнее более высокой.

Управление капиталом

Корпорации используют внутреннюю норму прибыли для оценки выпусков акций и обратный выкуп акций программы. Выручка от выкупа акций осуществляется, если возвращаемый капитал акционерам имеет более высокую внутреннюю норму доходности, чем проекты капитальных вложений-кандидатов или проекты приобретения по текущим рыночным ценам. Финансирование новых проектов за счет привлечения нового долга может также включать измерение стоимости нового долга с точки зрения доходность к погашению (внутренняя норма прибыли).

Частный акционерный капитал

IRR также используется для частный акционерный капитал с точки зрения ограниченных партнеров, как показатель эффективности генерального партнера как инвестиционного менеджера.^[2] Это потому, что именно генеральный партнер контролирует денежные потоки, в том числе использование ограниченными партнерами обязательный капитал.

Расчет

Учитывая набор пар (время, поток наличных денег ) представляющий проект, чистая приведенная стоимость является функцией норма прибыли. Внутренняя норма доходности - это ставка, для которой эта функция равна нулю, то есть внутренняя норма доходности является решением уравнения NPV = 0.

Учитывая пары (период, денежный поток) ( ${ displaystyle n}$ , ${ displaystyle C_ {n}}$ ) где ${ displaystyle n}$ - целое неотрицательное число, общее количество периодов ${ displaystyle N}$ , а ${ displaystyle operatorname {NPV}}$ , (чистая приведенная стоимость ); внутренняя норма доходности определяется как ${ displaystyle r}$ в:

{ displaystyle operatorname {NPV} = sum _ {n = 0} ^ {N} { frac {C_ {n}} {(1 + r) ^ {n}}} = 0}

Обратите внимание, что в этой формуле ${ displaystyle C_ {0}}$ (≤0) - это начальные инвестиции на старте проекта. Период ${ displaystyle n}$ обычно указывается в годах, но расчет можно упростить, если ${ displaystyle r}$ рассчитывается с использованием периода, в котором определяется большая часть проблемы (например, с использованием месяцев, если большая часть денежных потоков происходит с ежемесячными интервалами), а затем конвертируется в годовой период.

Любое фиксированное время может использоваться вместо настоящего (например, конец одного интервала рента ); полученное значение равно нулю тогда и только тогда, когда NPV равна нулю.

В случае, если денежные потоки случайные переменные, например, в случае пожизненная рента, то ожидаемые значения помещаются в приведенную выше формулу.

Часто значение ${ displaystyle r}$ который удовлетворяет вышеуказанному уравнению, не может быть найден аналитически. В таком случае, численные методы или графические методы должны быть использованы.

пример

Если инвестиция может быть предоставлена последовательностью денежных потоков

Год ( ${ displaystyle n}$ )	Поток наличных денег ( ${ displaystyle C_ {n}}$ )
0	-123400
1	36200
2	54800
3	48100

тогда IRR ${ displaystyle r}$ дан кем-то

{ displaystyle operatorname {NPV} = -123400 + { frac {36200} {(1 + r) ^ {1}}} + { frac {54800} {(1 + r) ^ {2}}} + { frac {48100} {(1 + r) ^ {3}}} = 0.}

В этом случае ответ 5,96% (в расчете, то есть r = 0,0596).

Численное решение

Поскольку вышеизложенное является проявлением общей проблемы поиска корни уравнения ${ displaystyle operatorname {NPV} (r) = 0}$ , Есть много численные методы что можно использовать для оценки ${ displaystyle r}$ . Например, используя секущий метод, ${ displaystyle r}$ дан кем-то

{ displaystyle r_ {n + 1} = r_ {n} - operatorname {NPV} _ {n} cdot left ({ frac {r_ {n} -r_ {n-1}}} { operatorname {NPV) } _ {n} - operatorname {NPV} _ {n-1}}} right).}

где ${ displaystyle r_ {n}}$ считается ${ displaystyle n}$ ^th приближение IRR.

Эта ${ displaystyle r}$ можно найти до произвольной степени точность. Различные пакеты учета могут предоставлять функции для разных уровней точности. Например, Майкрософт Эксель и Google Таблицы иметь встроенные функции для расчета IRR как для фиксированных, так и для переменных временных интервалов; «= IRR (...)» и «= XIRR (...)».

Поведение сходимости по следующему:

Если функция ${ displaystyle operatorname {NPV} (i)}$ есть один настоящий корень ${ displaystyle r}$ , то последовательность воспроизводимо сходится к ${ displaystyle r}$ .
Если функция ${ displaystyle operatorname {NPV} (i)}$ имеет ${ displaystyle n}$ настоящие корни ${ displaystyle scriptstyle r_ {1}, r_ {2}, dots, r_ {n}}$ , то последовательность сходится к одному из корней, и изменение значений исходных пар может изменить корень, к которому она сходится.
Если функция ${ displaystyle operatorname {NPV} (i)}$ не имеет настоящих корней, то последовательность стремится к +∞.

Имея ${ displaystyle scriptstyle {r_ {1}> r_ {0}}}$ когда ${ displaystyle operatorname {NPV} _ {0}> 0}$ или ${ displaystyle scriptstyle {r_ {1}$ когда ${ displaystyle operatorname {NPV} _ {0} <0}$ может ускорить сближение ${ displaystyle r_ {n}}$ к ${ displaystyle r}$ .

Численное решение для одиночного оттока и множественных притоков

Особый интерес представляет случай, когда поток платежей состоит из одного оттока, за которым следуют множественные притоки, происходящие в равные периоды. В приведенных выше обозначениях это соответствует:

{ Displaystyle C_ {0} <0, quad C_ {n} geq 0 { text {for}} п geq 1. ,}

В этом случае NPV потока платежей является выпуклый, строго убывающий функция процентной ставки. Всегда есть одно уникальное решение для IRR.

Учитывая две оценки ${ displaystyle r_ {1}}$ и ${ displaystyle r_ {2}}$ для IRR - уравнение метода секущих (см. выше) с ${ displaystyle n = 2}$ всегда дает более точную оценку ${ displaystyle r_ {3}}$ . Иногда это называют методом «попадание и проба» (или метод проб и ошибок). Также можно получить более точные формулы интерполяции: например, формула секущей с поправкой

{ displaystyle r_ {n + 1} = r_ {n} - operatorname {NPV} _ {n} left ({ frac {r_ {n} -r_ {n-1}}} { operatorname {NPV} _ {n} - operatorname {NPV} _ {n-1}}} right) left (1-1.4 { frac { operatorname {NPV} _ {n-1}} { operatorname {NPV} _ { n-1} -3 operatorname {NPV} _ {n} + 2C_ {0}}} right),}

(что наиболее точно, когда ${ displaystyle 0> operatorname {NPV} _ {n}> operatorname {NPV} _ {n-1}}$ ) оказалось почти в 10 раз точнее, чем формула секущей для широкого диапазона процентных ставок и первоначальных предположений. Например, используя поток платежей {−4000, 1200, 1410, 1875, 1050} и начальные предположения ${ displaystyle r_ {1} = 0,25}$ и ${ displaystyle r_ {2} = 0,2}$ формула секанса с поправкой дает оценку IRR 14,2% (ошибка 0,7%) по сравнению с IRR = 13,2% (ошибка 7%) из метода секанса.

При итеративном применении либо метод секущей, либо улучшенная формула всегда сходятся к правильному решению.

И метод секущей, и улучшенная формула полагаются на первоначальные предположения для IRR. Можно использовать следующие исходные предположения:

{ displaystyle r_ {1} = left (A / | C_ {0} | right) ^ {2 / (N + 1)} - 1 ,}

{ Displaystyle r_ {2} = (1 + r_ {1}) ^ {p} -1 ,}

где

{ displaystyle A = { text {сумма притоков}} = C_ {1} + cdots + C_ {N} ,}

{ displaystyle p = { frac { log ( mathrm {A} / | C_ {0} |)} { log ( mathrm {A} / operatorname {NPV} _ {1, in})}} .}

Вот, ${ displaystyle operatorname {NPV} _ {1, in}}$ относится только к чистой приведенной стоимости притока (то есть ${ displaystyle mathrm {C} _ {0} = 0}$ и вычислить NPV).

Точные даты денежных потоков

Денежный поток ${ displaystyle C_ {n}}$ может произойти в любое время ${ displaystyle t_ {n}}$ лет после начала проекта. ${ displaystyle t_ {n}}$ не может быть целым числом. Денежный поток все равно следует дисконтировать с помощью коэффициента ${ displaystyle { frac {1} {(1 + r) ^ {t_ {n}}}}}$ . И формула

{ displaystyle operatorname {NPV} = C_ {0} + sum _ {n = 1} ^ {N} { frac {C_ {n}} {(1 + r) ^ {t_ {n}}}} = 0}

Для численного решения можно использовать Метод Ньютона

{ displaystyle r_ {k + 1} = r_ {k} - { frac { operatorname {NPV} _ {k}} { operatorname {NPV} '_ {k}}}}

где ${ displaystyle operatorname {NPV} '}$ является производной от ${ displaystyle operatorname {NPV}}$ и дано

{ displaystyle operatorname {NPV} '= - sum _ {n = 1} ^ {N} { frac {C_ {n} cdot t_ {n}} {(1 + r) ^ {t_ {n} +1}}}}

Начальное значение ${ displaystyle r_ {1}}$ может быть дан

{ displaystyle r_ {1} = { frac {-1} {C_ {0}}} sum _ {n = 1} ^ {N} C_ {n} -1}

Проблемы с использованием

Сравнение с критерием отбора инвестиций NPV

Как инструмент, применяемый для изготовления вложение решение о том, добавляет ли проект ценность или нет, сравнивая IRR отдельного проекта с требуемой нормой доходности отдельно от любых других проектов, эквивалентно методу NPV. Если соответствующая IRR (если таковая может быть найдена правильно) превышает требуемую норму доходности, используя требуемую норму доходности для дисконтирования денежных потоков до их приведенной стоимости, NPV этого проекта будет положительным, и наоборот. Однако использование IRR для сортировки проектов в порядке предпочтения не приводит к тому же порядку, что и использование NPV.

Максимизация чистой приведенной стоимости

Одна из возможных инвестиционных целей - максимизировать общую чистую приведенную стоимость проектов.

Когда цель состоит в максимальном увеличении общей стоимости, рассчитанная внутренняя норма доходности не должна использоваться для выбора между взаимоисключающими проектами.

Сравнение NPV и ставки дисконтирования для двух взаимоисключающих проектов. Проект «А» имеет более высокую NPV (для определенных ставок дисконтирования), даже если его IRR (=Икс-оси пересечения) ниже, чем для проекта 'B' (щелкните для увеличения)

В случаях, когда один проект имеет более высокие начальные инвестиции, чем второй взаимоисключающий проект, первый проект может иметь более низкую IRR (ожидаемую доходность), но более высокую NPV (увеличение благосостояния акционеров) и, таким образом, должен быть принят по сравнению со вторым проектом. (при условии отсутствия ограничений по капиталу).

Когда целью является максимизация общей стоимости, не следует использовать IRR для сравнения проектов разной продолжительности. Например, чистая приведенная стоимость, добавленная проектом с большей продолжительностью, но более низкой IRR, может быть больше, чем у проекта аналогичного размера, с точки зрения общих чистых денежных потоков, но с более короткой продолжительностью и более высокой IRR.

Практикующий предпочитает IRR перед NPV

Несмотря на сильное академическое предпочтение чистой приведенной стоимости, опросы показывают, что руководители предпочитают IRR над NPV.^[3] Очевидно, менеджеры предпочитают сравнивать инвестиции разных размеров с точки зрения прогнозируемых инвестиционных результатов, используя IRR, а не максимизировать ценность для фирмы с точки зрения NPV. Это предпочтение имеет значение при сравнении взаимоисключающих проектов.

Максимизация долгосрочной прибыли

Максимизация общей стоимости - не единственная возможная цель инвестиций. Альтернативной целью может быть, например, максимизация долгосрочной прибыли. Такая цель рационально привела бы к принятию в первую очередь тех новых проектов в рамках капитального бюджета, которые имеют самую высокую внутреннюю норму доходности, потому что добавление таких проектов будет иметь тенденцию максимизировать общую долгосрочную прибыль.

пример

Чтобы убедиться в этом, рассмотрим двух инвесторов: Max Value и Max Return. Max Value желает, чтобы ее чистая стоимость росла как можно больше, и будет инвестировать каждый последний цент, доступный для достижения этого, в то время как Max Return хочет максимизировать свою доходность в долгосрочной перспективе и предпочел бы выбирать проекты с меньшими капитальными затратами, но более высокая доходность. Максимальное значение и максимальный доход могут увеличиваться вплоть до 100 000 долларов США из их банка под 10 процентов годовых, выплачиваемых в конце года.

Для инвесторов Max Value и Max Return представлены два возможных проекта для инвестирования: Big-Is-Best и Small-Is-Beautiful. «Big-Is-Best» требует капитальных вложений в размере 100 000 долларов США сегодня, и удачливый инвестор получит выплату 132 000 долларов США в течение года. Small-Is-Beautiful требует инвестирования всего 10 000 долларов США сегодня и выплатит инвестору 13 750 долларов США через год.

Решение

Стоимость капитала для обоих инвесторов составляет 10 процентов.

И Big-Is-Best, и Small-Is-Beautiful имеют положительную NPV:

{ displaystyle operatorname {NPV} ({ text {Big-Is-Best}}) = { frac {132 000} {1.1}} - 100 000 = 20 000}

{ displaystyle operatorname {NPV} ({ text {Small-Is-Beautiful}}) = { frac {13,750} {1.1}} - 10 000 = 2,500}

и IRR каждого (конечно) больше, чем стоимость капитала:

{ displaystyle { mathit {NPV}} ({ text {Big-Is-Best}}) = { frac {132 000} {1.32}} - 100 000 = 0}

Таким образом, IRR Big-Is-Best составляет 32 процента, а

{ displaystyle operatorname {NPV} ({ text {Small-Is-Beautiful}}) = { frac {13,750} {1.375}} - 10 000 = 0}

Таким образом, IRR проекта Small-Is-Beautiful составляет 37,5%.

Обе инвестиции были бы приемлемы для обоих инвесторов, но поворот в сказке заключается в том, что это взаимоисключающие проекты для обоих инвесторов, поскольку их капитальный бюджет ограничен 100 000 долларов США. Как инвесторы будут рационально выбирать между ними?

Удачный результат состоит в том, что Max Value выбирает Big-Is-Best, которая имеет более высокую NPV, равную 20000 долларов США, по сравнению с Small-Is-Beautiful, которая имеет скромную NPV, равную 2500, тогда как Max Return выбирает Small-Is-Beautiful, за его превосходную доходность 37,5% по сравнению с привлекательной (но не такой привлекательной) прибылью в 32%, предлагаемой Big-Is-Best. Так что нет никаких споров о том, кто какой проект получит, каждый из них счастлив выбрать разные проекты.

Как это может быть рационально для обоих инвесторов? Ответ заключается в том, что инвесторам не нужно вкладывать полные 100 000 долларов США. Max Return готов инвестировать всего 10 000 долларов США. В конце концов, Max Return может рационализировать результат, полагая, что, возможно, завтра появятся новые возможности для инвестирования оставшихся 90 000 долларов США, которые банк готов предоставить ссуду Max Return, по еще более высоким IRR. Даже если появятся еще семь проектов, идентичных Small-Is-Beautiful, Max Return сможет соответствовать NPV Big-Is-Best при общих инвестициях в размере всего 80 000 долларов США, при этом остается 20 000 долларов США. бюджет, чтобы сэкономить на действительно невероятных возможностях. Max Value также счастлив, потому что она сразу же выполнила свой капитальный бюджет и решает, что может взять остаток года на инвестирование.

Множественные IRR

Когда знак денежных потоков меняется более одного раза, например, когда за положительными денежными потоками следуют отрицательные, а затем положительные (+ + - - - +), IRR может иметь несколько реальных значений. В серии денежных потоков, таких как (−10, 21, −11), сначала человек вкладывает деньги, поэтому лучше всего использовать высокую норму доходности, но затем получает больше, чем владеет, поэтому затем человек должен деньги, поэтому теперь низкая ставка отдачи лучше всего. В этом случае даже не ясно, что лучше: высокий или низкий IRR.

Для одного проекта может быть даже несколько реальных IRR, как в примере 0%, а также 10%. Примеры этого типа проекта: вскрывать шахты и атомная энергия заводы, на которых в конце проекта обычно наблюдается большой отток денежных средств.

IRR удовлетворяет полиномиальному уравнению. Теорема Штурма может использоваться, чтобы определить, имеет ли это уравнение единственное реальное решение. В общем, уравнение IRR не может быть решено аналитически, а только путем итерации.

При множественных внутренних нормах доходности подход IRR по-прежнему можно интерпретировать таким образом, чтобы он соответствовал подходу по приведенной стоимости, если основной инвестиционный поток правильно определен как чистые инвестиции или чистые заимствования.^[4]

Увидеть ^[5] для способа определения соответствующей IRR из набора нескольких решений IRR.

Ограничения в контексте прямых инвестиций

В контексте предвзятость выживаемости По словам Людовика Фалиппу, высокая IRR крупных частных инвестиционных компаний плохо отражает средний показатель.

"... Заголовок, который часто отображается на видном месте как норма прибыли в презентациях и документах, на самом деле является IRR. IRR - это не норма доходности. Что-то общее у крупных частных фирм заключается в том, что их ранние инвестиции принесли хорошие результаты Эти первые победители установили внутреннюю внутреннюю норму дохода этих фирм с момента создания на искусственно жестком и высоком уровне. Математика IRR означает, что их IRR останется на этом уровне навсегда, пока фирмы избегают серьезных катастроф. порождает явную несправедливость, потому что в западных странах легче рассчитывать IRR на LBO, чем на любые другие инвестиции в PE. Это означает, что остальная часть индустрии PE (например, капитал для роста развивающихся рынков) обречена вечно выглядеть относительно плохо без всякой причины кроме использования игровой метрики производительности ". ^[6]

Также,

«Еще одна проблема с представлением результатов деятельности пенсионных фондов заключается в том, что для частного капитала взвешенная по времени доходность ... не является наиболее подходящим показателем эффективности. Если спросить, сколько пенсионные фонды дали и получили обратно в долларовом выражении от ЧП, т. Я просмотрел веб-сайты 15 крупнейших фондов, чтобы собрать информацию об их эффективности. Немногие из них публикуют в Интернете доходность своих фондов PE. В большинстве случаев они публикуют информацию о своих прошлых результатах в PE, но ничего, что позволило бы провести какой-либо значимый сравнительный анализ . Например.CalSTRS [государственный пенсионный фонд Калифорнии] предоставляет только чистую IRR для каждого фонда, в который они инвестируют. Поскольку IRR часто вводит в заблуждение и никогда не может быть агрегирован или сравнен с доходностью фондового рынка, такая информация в основном бесполезна для оценки результатов ».^[7]

Модифицированная внутренняя норма доходности (MIRR)

Модифицированная внутренняя норма прибыли (MIRR) считает стоимость капитала, и предназначен для более точного определения вероятной доходности проекта. Он применяет ставку дисконтирования для денежных средств по займу, а IRR рассчитывается для денежных потоков от инвестиций. Это применимо в реальной жизни, например, когда клиент вносит депозит до того, как будет построена конкретная машина.

Когда проект имеет несколько IRR, может быть удобнее вычислить IRR проекта с реинвестированными выгодами.^[8] Соответственно, используется MIRR, которая имеет предполагаемую ставку реинвестирования, обычно равную стоимости капитала проекта.

Средняя внутренняя норма доходности (AIRR)

Магни (2010) представил новый подход, названный подходом AIRR, основанный на интуитивном понятии среднего значения, который решает проблемы IRR.^[9] Однако вышеупомянутые трудности - это лишь некоторые из многих недостатков IRR. Магни (2013) представил подробный список из 18 недостатков IRR и показал, как подход AIRR не влечет за собой проблем с IRR.^[10]

Математика

Математически предполагается, что стоимость инвестиций будет экспоненциально расти или уменьшаться в зависимости от некоторых норма прибыли (любое значение больше −100%), с разрывами для денежных потоков, а IRR серии денежных потоков определяется как любая норма прибыли, которая приводит к чистая приведенная стоимость нуля (или, что то же самое, норма доходности, которая дает правильное нулевое значение после последнего денежного потока).

Таким образом, внутренняя норма (и) доходности следует из чистой приведенной стоимости как функции нормы доходности. Эта функция непрерывный. При норме доходности -100% чистая приведенная стоимость приближается к бесконечности со знаком последнего денежного потока, а при доходности положительной бесконечности чистая приведенная стоимость приближается к первому денежному потоку (текущему). Следовательно, если первый и последний денежные потоки имеют разные знаки, существует внутренняя норма прибыли. Примеры временных рядов без IRR:

Только отрицательные денежные потоки - NPV отрицательна для каждой нормы прибыли.
(−1, 1, −1), относительно небольшой положительный денежный поток между двумя отрицательными денежными потоками; NPV является квадратичной функцией 1 / (1 +р), где р это норма прибыли, или, иначе говоря, квадратичная функция от учетная ставка р/(1 + р); самый высокий NPV составляет -0,75, для р = 100%.

В случае серии исключительно отрицательных денежных потоков, за которыми следует серия исключительно положительных, результирующая функция нормы прибыли является непрерывной и монотонно убывает от положительной бесконечности (когда норма прибыли приближается к -100%) до значения первого денежного потока (когда норма прибыли приближается к бесконечности), поэтому существует уникальная норма прибыли, для которой она равна нулю. Следовательно, IRR также уникален (и равен). Хотя сама функция NPV не обязательно монотонно убывает во всей своей области, она является по IRR.

Аналогичным образом, в случае серии исключительно положительных денежных потоков, за которыми следует серия исключительно отрицательных, IRR также является уникальным.

Наконец, по Правило знаков Декарта, количество внутренних норм доходности никогда не может быть больше, чем количество изменений знака денежного потока.

Споры о реинвестировании

Часто говорят, что IRR предполагает реинвестирование всех денежных потоков до самого конца проекта. Это утверждение было предметом дискуссий в литературе.

Источники, утверждающие, что существует такое скрытое предположение, цитируются ниже.^[8]^[11] Другие источники утверждают, что нет никаких предположений о реинвестировании IRR.^[12]^[13]^[14]^[15]^[16]^[17]

При сравнении инвестиций неявное предположение о том, что денежные потоки реинвестируются с одинаковой внутренней нормой дохода, приведет к ложным выводам. Если полученные денежные потоки не реинвестируются по той же ставке, что и IRR, проект с относительно короткой продолжительностью и высокой IRR не обязательно увеличивает стоимость в течение более длительного периода времени, чем другой проект с большей продолжительностью и более низкой IRR. Вот почему IRR следует использовать не отдельно, а в сочетании с NPV.

В Модифицированная внутренняя норма прибыли (MIRR) решает эту проблему, позволяя включить вторую инвестицию с потенциально другой нормой доходности, чтобы рассчитать доходность портфеля без внешних денежных потоков в течение срока реализации проекта. Однако для составления бюджета капиталовложений, когда целью является максимизация стоимости, финансовая теория считает, что чистая приведенная стоимость с использованием стоимости капитала фирмы является оптимальным показателем.

В личных финансах

IRR можно использовать для измерения показателей финансовых вложений, взвешенных по деньгам, например, для брокерского счета отдельного инвестора. Для этого сценария эквивалент,^[18] более интуитивное определение IRR: «IRR - это годовая процентная ставка счета с фиксированной процентной ставкой (например, несколько идеализированного сберегательного счета), который при тех же депозитах и изъятиях, что и фактические инвестиции, имеет тот же конечный баланс, что и фактическое вложение ". Этот счет с фиксированной ставкой также называется репликация счета с фиксированной ставкой для инвестиций. Есть примеры, когда реплицируемый счет с фиксированной процентной ставкой обнаруживает отрицательное сальдо, несмотря на то, что фактические инвестиции не были.^[18] В таких случаях расчет IRR предполагает, что такая же процентная ставка, которая выплачивается по положительному сальдо, взимается с отрицательного сальдо. Было показано, что такой способ начисления процентов является основной причиной проблемы множественных решений IRR.^[19]^[20] Если модель модифицируется так, что, как и в реальной жизни, внешняя стоимость заимствования (возможно, изменяющаяся во времени) начисляется на отрицательный баланс, проблема множественных решений исчезает.^[19]^[20] Полученная ставка называется эквивалент фиксированной ставки (ЧАСТОТА).^[18]

Не годовая внутренняя норма прибыли

В контексте измерения эффективности инвестиций иногда бывает двусмысленность в терминологии между периодическими норма прибыли, например, внутренняя норма доходности, как определено выше, и доходность периода владения. Период, термин внутренняя норма прибыли или IRR или С момента создания Внутренняя норма доходности (SI-IRR) в некоторых контекстах используется для обозначения не годовой прибыли за период, особенно для периодов менее года.^[21]

Смотрите также

использованная литература

^ Экономика проекта и анализ решений, Том I: Детерминистские модели, М.А. Майн, стр. 269
^ «Глобальные стандарты эффективности инвестиций». Институт CFA. Получено 31 декабря 2015.
^ Пог, М. (2004). Оценка инвестиций: новый подход. Журнал управленческого аудита. 19 № 4, 2004. С. 565–570.
^ Хазен, Г. Б., «Новый взгляд на множественные внутренние нормы прибыли». Инженер-экономист 48(2), 2003, 31–51.
^ Хартман, Дж. К., и Шафрик, И. К., «Соответствующая внутренняя норма прибыли», Инженер-экономист 49(2), 2004, 139–158.
^ Пхалиппоу, Людовик (10 июня 2020 г.). «Профессор финансовой экономики Саид бизнес-школы Оксфордского университета». ССРН Бумага: 4. SSRN 3623820.
^ Пхалиппоу, Людовик (10 июня 2020 г.). «Профессор финансовой экономики Саид бизнес-школы Оксфордского университета». ССРН Бумага: 15, 16. SSRN 3623820.
^ ^а ^б Внутренняя норма доходности: предостерегающая история
^ Магни, К.А. (2010) «Средняя внутренняя норма доходности и инвестиционные решения: новая перспектива». Технический экономист, 55 (2), 150–181.
^ Магни, К.А. (2013) «Подход на основе внутренней нормы прибыли и парадигма AIRR: опровержение и подтверждение» Технический экономист, 58 (2), 73–111.
^ [1] Измерение доходности инвестиций
^ Дадли, К.Л., «Примечание о допущениях относительно реинвестирования при выборе между чистой приведенной стоимостью и внутренней нормой доходности». Журнал финансов 27(4), 1972, 907–15.
^ Кин, С.М., «Внутренняя норма доходности и ошибка реинвестирования». Счеты 15(1), 1979, 48–55.
^ Ломанн, Дж. Р., «IRR, NPV и ошибочность предположений о ставке реинвестирования». Инженер-экономист 33(4), 1988, 303–30.
^ Киф С.П. и М.Л. Руш, «Методы дисконтирования денежных потоков и ошибочные предположения о реинвестировании: обзор последних текстов». Бухгалтерское образование 10(1), 2001, 105-116.
^ Рич С.П. и Дж.Т. Роуз, «Пересмотр старого вопроса: предполагает ли метод IRR неявно ставку реинвестирования?» Журнал финансового образования 10(1), 2014, 105-116.
^ Дадли, Магни, Карло Альберто и Мартин, Джон Д., «Ошибка допущения ставки реинвестирования для IRR и NPV: педагогическое примечание»https://mpra.ub.uni-muenchen.de/83889/ ', 2017
^ ^а ^б ^c Математика эквивалента фиксированной ставки, Белая книга GreaterThanZero.
^ ^а ^б Тейхроев Д., Робичек А. и Монтальбано М. Математический анализ нормы прибыли в условиях определенности // Наука управления, т. 11 Nr. 3 января 1965 г., стр. 395–403.
^ ^а ^б Тейхроев, Д., Робичек, А., Монтальбано, М., Анализ критериев для принятия инвестиционных и финансовых решений в условиях определенности, Management Science Vol. 12 Nr. 3, ноябрь 1965 г., стр. 151–179.
^ [2] Глобальные стандарты эффективности инвестиций

дальнейшее чтение

Брюс Дж. Фейбель. Оценка инвестиционной эффективности. Нью-Йорк: Wiley, 2003. ISBN 0-471-26849-6
Рэй Мартин, ПЕРЕСМОТРЕННАЯ ВНУТРЕННЯЯ СТАВКА ДОХОДНОСТИ

внешние ссылки

[main269-1] Экономика проекта и анализ решений, Том I: Детерминистские модели, М.А. Майн, стр. 269

[2] «Глобальные стандарты эффективности инвестиций». Институт CFA. Получено 31 декабря 2015.

[3] Пог, М. (2004). Оценка инвестиций: новый подход. Журнал управленческого аудита. 19 № 4, 2004. С. 565–570.

[4] Хазен, Г. Б., «Новый взгляд на множественные внутренние нормы прибыли». Инженер-экономист 48(2), 2003, 31–51.

[5] Хартман, Дж. К., и Шафрик, И. К., «Соответствующая внутренняя норма прибыли», Инженер-экономист 49(2), 2004, 139–158.

[6] Пхалиппоу, Людовик (10 июня 2020 г.). «Профессор финансовой экономики Саид бизнес-школы Оксфордского университета». ССРН Бумага: 4. SSRN 3623820.

[7] Пхалиппоу, Людовик (10 июня 2020 г.). «Профессор финансовой экономики Саид бизнес-школы Оксфордского университета». ССРН Бумага: 15, 16. SSRN 3623820.

[cautionary-8] а ^б Внутренняя норма доходности: предостерегающая история

[9] Магни, К.А. (2010) «Средняя внутренняя норма доходности и инвестиционные решения: новая перспектива». Технический экономист, 55 (2), 150–181.

[10] Магни, К.А. (2013) «Подход на основе внутренней нормы прибыли и парадигма AIRR: опровержение и подтверждение» Технический экономист, 58 (2), 73–111.

[measuring-11] [1] Измерение доходности инвестиций

[12] Дадли, К.Л., «Примечание о допущениях относительно реинвестирования при выборе между чистой приведенной стоимостью и внутренней нормой доходности». Журнал финансов 27(4), 1972, 907–15.

[13] Кин, С.М., «Внутренняя норма доходности и ошибка реинвестирования». Счеты 15(1), 1979, 48–55.

[14] Ломанн, Дж. Р., «IRR, NPV и ошибочность предположений о ставке реинвестирования». Инженер-экономист 33(4), 1988, 303–30.

[15] Киф С.П. и М.Л. Руш, «Методы дисконтирования денежных потоков и ошибочные предположения о реинвестировании: обзор последних текстов». Бухгалтерское образование 10(1), 2001, 105-116.

[16] Рич С.П. и Дж.Т. Роуз, «Пересмотр старого вопроса: предполагает ли метод IRR неявно ставку реинвестирования?» Журнал финансового образования 10(1), 2014, 105-116.

[17] Дадли, Магни, Карло Альберто и Мартин, Джон Д., «Ошибка допущения ставки реинвестирования для IRR и NPV: педагогическое примечание»https://mpra.ub.uni-muenchen.de/83889/ ', 2017

[gtz_freqmath-18] а ^б ^c Математика эквивалента фиксированной ставки, Белая книга GreaterThanZero.

[teichrow_et_al_1-19] а ^б Тейхроев Д., Робичек А. и Монтальбано М. Математический анализ нормы прибыли в условиях определенности // Наука управления, т. 11 Nr. 3 января 1965 г., стр. 395–403.

[teichrow_et_al_2-20] а ^б Тейхроев, Д., Робичек, А., Монтальбано, М., Анализ критериев для принятия инвестиционных и финансовых решений в условиях определенности, Management Science Vol. 12 Nr. 3, ноябрь 1965 г., стр. 151–179.

[21] [2] Глобальные стандарты эффективности инвестиций

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]