Лиувиллевская динамическая система - Liouville dynamical system

В классическая механика, а Лиувиллевская динамическая система точно разрешимый динамическая система в которой кинетическая энергия Т и потенциальная энергия V можно выразить через s обобщенные координаты q следующее:^[1]

${displaystyle T = {frac {1} {2}} left {u_ {1} (q_ {1}) + u_ {2} (q_ {2}) + cdots + u_ {s} (q_ {s}) ight } слева {v_ {1} (q_ {1}) {точка {q}} _ {1} ^ {2} + v_ {2} (q_ {2}) {точка {q}} _ {2} ^ { 2} + cdots + v_ {s} (q_ {s}) {точка {q}} _ {s} ^ {2} ight}}$

${displaystyle V = {frac {w_ {1} (q_ {1}) + w_ {2} (q_ {2}) + cdots + w_ {s} (q_ {s})} {u_ {1} (q_ { 1}) + u_ {2} (q_ {2}) + cdots + u_ {s} (q_ {s})}}}$

Решение этой системы состоит из системы сепарабельно интегрируемых уравнений

${displaystyle {frac {sqrt {2}} {Y}}, dt = {frac {dvarphi _ {1}} {sqrt {Echi _ {1} -omega _ {1} + gamma _ {1}}}} = {frac {dvarphi _ {2}} {sqrt {Echi _ {2} -omega _ {2} + gamma _ {2}}}} = cdots = {frac {dvarphi _ {s}} {sqrt {Echi _ { s} -omega _ {s} + gamma _ {s}}}}}$

куда E = T + V это сохраненная энергия и ${displaystyle gamma _ {s}}$ являются константами. Как описано ниже, переменные были изменены с q_s к φ_s, а функции ты_s и ш_s заменены их аналогами χ_s и ω_s. Это решение имеет множество приложений, таких как орбита маленькой планеты около двух неподвижных звезд под влиянием Ньютоновская гравитация. Динамическая система Лиувилля - одна из нескольких вещей, названных в честь Джозеф Лиувиль, выдающийся французский математик.

Пример бицентрических орбит

В классическая механика, Проблема трех тел Эйлера описывает движение частицы в плоскости под действием двух неподвижных центров, каждый из которых притягивает частицу с сила, обратная квадрату Такие как Ньютоновская гравитация или же Закон Кулона. Примеры проблемы бицентра включают планета двое медленно движущихся звезды, или электрон движется в электрическое поле двух положительно заряженных ядра, например, первый ион молекулы водорода H₂, а именно молекулярный ион водорода или H₂⁺. Сила двух влечений не обязательно должна быть одинаковой; таким образом, две звезды могут иметь разные массы или ядра двух разных зарядов.

Решение

Пусть неподвижные центры притяжения расположены вдоль Икс-ось в ±а. Потенциальная энергия движущейся частицы определяется выражением

${displaystyle V (x, y) = {frac {-mu _ {1}} {sqrt {left (x-aight) ^ {2} + y ^ {2}}}} - {frac {mu _ {2} } {sqrt {left (x + aight) ^ {2} + y ^ {2}}}}.}$

Два центра притяжения можно рассматривать как фокусы множества эллипсов. Если бы один из центров отсутствовал, частица двигалась бы по одному из этих эллипсов как решение Проблема Кеплера. Следовательно, согласно Теорема Бонне, те же эллипсы - решения задачи о бицентрах.

Представляем эллиптические координаты,

${displaystyle x = acosh xi cos eta,}$

${displaystyle y = asinh xi sin eta,}$

потенциальную энергию можно записать как

${displaystyle V (xi, eta) = {frac {-mu _ {1}} {aleft (cosh xi -cos eta ight)}} - {frac {mu _ {2}} {aleft (cosh xi + cos eta ight) )}} = {frac {-mu _ {1} left (cosh xi + cos eta ight) -mu _ {2} left (cosh xi -cos eta ight)} {aleft (cosh ^ {2} xi -cos ^ {2} eta ight)}},}$

а кинетическая энергия как

${displaystyle T = {frac {ma ^ {2}} {2}} left (cosh ^ {2} xi -cos ^ {2} eta ight) left ({dot {xi}} ^ {2} + {dot { eta}} ^ {2} ight).}$

Это динамическая система Лиувилля, если ξ и η взяты в качестве φ₁ и φ₂, соответственно; таким образом, функция Y равно

${displaystyle Y = cosh ^ {2} xi -cos ^ {2} eta}$

и функция W равно

${displaystyle W = -mu _ {1} left (cosh xi + cos eta ight) -mu _ {2} left (cosh xi -cos eta ight)}$

Используя общее решение для динамической системы Лиувилля, приведенное ниже, получаем

${displaystyle {frac {ma ^ {2}} {2}} left (cosh ^ {2} xi -cos ^ {2} eta ight) ^ {2} {dot {xi}} ^ {2} = Ecosh ^ { 2} xi + left ({frac {mu _ {1} + mu _ {2}} {a}} ight) cosh xi -gamma}$

${displaystyle {frac {ma ^ {2}} {2}} left (cosh ^ {2} xi -cos ^ {2} eta ight) ^ {2} {dot {eta}} ^ {2} = - Ecos ^ {2} eta + left ({frac {mu _ {1} -mu _ {2}} {a}} ight) cos eta + gamma}$

Введение параметра ты по формуле

${displaystyle du = {frac {dxi} {sqrt {Ecosh ^ {2} xi + left ({frac {mu _ {1} + mu _ {2}} {a}} ight) cosh xi -gamma}}} = {frac {deta} {sqrt {-Ecos ^ {2} eta + left ({frac {mu _ {1} -mu _ {2}} {a}} ight) cos eta + gamma}}},}$

дает параметрическое решение

${displaystyle u = int {frac {dxi} {sqrt {Ecosh ^ {2} xi + left ({frac {mu _ {1} + mu _ {2}} {a}} ight) cosh xi -gamma}}} = int {frac {deta} {sqrt {-Ecos ^ {2} eta + left ({frac {mu _ {1} -mu _ {2}} {a}} ight) cos eta + gamma}}}.}$

Поскольку это эллиптические интегралы, координаты ξ и η можно выразить как эллиптические функции от ты.

Постоянное движение

Бицентрическая задача имеет постоянную движения, а именно

${displaystyle r_ {1} ^ {2} r_ {2} ^ {2} left ({frac {d heta _ {1}} {dt}} ight) left ({frac {d heta _ {2}} {dt }} ight) -2cleft [mu _ {1} cos heta _ {1} + mu _ {2} cos heta _ {2} ight],}$

из которого задача может быть решена методом последнего множителя.

Вывод

Новые переменные

Чтобы устранить v функции, переменные заменяются на эквивалентный набор

${displaystyle varphi _ {r} = int dq_ {r} {sqrt {v_ {r} (q_ {r})}},}$

давая отношение

${displaystyle v_ {1} (q_ {1}) {dot {q}} _ {1} ^ {2} + v_ {2} (q_ {2}) {dot {q}} _ {2} ^ {2 } + cdots + v_ {s} (q_ {s}) {точка {q}} _ {s} ^ {2} = {точка {varphi}} _ {1} ^ {2} + {точка {varphi}} _ {2} ^ {2} + cdots + {точка {varphi}} _ {s} ^ {2} = F,}$

который определяет новую переменную F. Используя новые переменные, функции u и w могут быть выражены эквивалентными функциями χ и ω. Обозначая сумму χ-функций через Y,

${displaystyle Y = chi _ {1} (varphi _ {1}) + chi _ {2} (varphi _ {2}) + cdots + chi _ {s} (varphi _ {s}),}$

кинетическая энергия может быть записана как

${displaystyle T = {frac {1} {2}} YF.}$

Аналогично, обозначая сумму функций ω через W

${displaystyle W = omega _ {1} (varphi _ {1}) + omega _ {2} (varphi _ {2}) + cdots + omega _ {s} (varphi _ {s}),}$

потенциальная энергия V можно записать как

${displaystyle V = {frac {W} {Y}}.}$

Уравнение Лагранжа

Уравнение Лагранжа для р^th Переменная ${displaystyle varphi _ {r}}$ является

${displaystyle {frac {d} {dt}} left ({frac {partial T} {partial {dot {varphi}} _ {r}}} ight) = {frac {d} {dt}} left (Y {dot {varphi}} _ {r} ight) = {frac {1} {2}} F {frac {partial Y} {partial varphi _ {r}}} - {frac {partial V} {partial varphi _ {r} }}.}$

Умножая обе стороны на ${displaystyle 2Y {точка {varphi}} _ {r}}$, переупорядочивая и используя отношение 2Т = YF дает уравнение

${displaystyle 2Y {dot {varphi}} _ {r} {frac {d} {dt}} left (Y {dot {varphi}} _ {r} ight) = 2T {dot {varphi}} _ {r} { frac {partial Y} {partial varphi _ {r}}} - 2Y {dot {varphi}} _ {r} {frac {partial V} {partial varphi _ {r}}} = 2 {dot {varphi}} _ {r} {frac {partial} {partial varphi _ {r}}} left [(EV) Yight],}$

который можно записать как

${displaystyle {frac {d} {dt}} left (Y ^ {2} {dot {varphi}} _ {r} ^ {2} ight) = 2E {dot {varphi}} _ {r} {frac {partial Y} {partial varphi _ {r}}} - 2 {dot {varphi}} _ {r} {frac {partial W} {partial varphi _ {r}}} = 2E {dot {varphi}} _ {r} {frac {dchi _ {r}} {dvarphi _ {r}}} - 2 {dot {varphi}} _ {r} {frac {Domega _ {r}} {dvarphi _ {r}}},}$

куда E = T + V - (сохраненная) полная энергия. Следует, что

${displaystyle {frac {d} {dt}} left (Y ^ {2} {dot {varphi}} _ {r} ^ {2} ight) = 2 {frac {d} {dt}} left (Echi _ { r} -omega _ {r} ight),}$

который можно интегрировать один раз, чтобы получить

${displaystyle {frac {1} {2}} Y ^ {2} {dot {varphi}} _ {r} ^ {2} = Echi _ {r} -omega _ {r} + gamma _ {r},}$

где ${displaystyle gamma _ {r}}$ - константы интегрирования с учетом сохранения энергии

${displaystyle sum _ {r = 1} ^ {s} gamma _ {r} = 0.}$

Обращение, извлечение квадратного корня и разделение переменных дает набор разделимо интегрируемых уравнений:

${displaystyle {frac {sqrt {2}} {Y}} dt = {frac {dvarphi _ {1}} {sqrt {Echi _ {1} -omega _ {1} + gamma _ {1}}}} = { frac {dvarphi _ {2}} {sqrt {Echi _ {2} -omega _ {2} + gamma _ {2}}}} = cdots = {frac {dvarphi _ {s}} {sqrt {Echi _ {s } -omega _ {s} + gamma _ {s}}}}.}$

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Whittaker, ET (1937). Трактат об аналитической динамике частиц и твердых тел с введением в проблему трех тел (4-е изд.). Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN.