Теорема Минковского - Википедия - Minkowskis theorem

Эта статья поднимает множество проблем. Пожалуйста помоги Улучши это или обсудите эти вопросы на страница обсуждения. (Узнайте, как и когда удалить эти сообщения-шаблоны) Эта статья включает Список ссылок, связанное чтение или внешняя ссылка, но его источники остаются неясными, потому что в нем отсутствует встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (Февраль 2017 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) В этой статье цитируется источники но не предоставляет ссылки на страницы. Вы можете помогите улучшить это путем введения более точных цитат. (Сентябрь 2010 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Набор в ℝ² удовлетворяющие условиям теоремы Минковского.

В математика, Теорема Минковского утверждение, что каждый выпуклый набор в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ симметричный относительно начала координат и имеющий объем лучше чем ${ Displaystyle 2 ^ {п}}$ содержит ненулевой целая точка. Теорема была доказана Герман Минковски в 1889 году и стал основой филиала теория чисел называется геометрия чисел. Его можно расширить от целых до любых решетка ${ displaystyle L}$ и любому симметричному выпуклому множеству с объемом больше, чем ${ Displaystyle 2 ^ {п} , d (L)}$, куда ${ displaystyle d (L)}$ обозначает коволюм решетки (модуль детерминант любой из его баз).

Формулировка

Предположим, что L это решетка из детерминант d (L) в п-размерный реальный векторное пространство ℝ^п и S это выпуклое подмножество из ℝ^п это симметрично относительно начала координат, что означает, что если Икс в S тогда −Икс также в S. Теорема Минковского утверждает, что если объем S строго больше, чем 2^п d (L), тогда S должен содержать хотя бы одну точку решетки кроме начала координат. (Поскольку множество S симметричен, тогда он будет содержать по крайней мере три точки решетки: начало координат 0 и пару точек ±Икс, куда Икс ∈ L \ 0.)

Пример

Простейшим примером решетки является целочисленная решетка ℤ^п всех точек с целое число коэффициенты; его определитель равен 1. Для п = 2, теорема утверждает, что выпуклая фигура в Евклидова плоскость симметрично относительно источник и с площадь больше 4 включает по крайней мере одну точку решетки в дополнение к началу координат. Граница площади острый: если S это внутренность квадрата с вершинами (±1, ±1) тогда S является симметричным и выпуклым, и имеет площадь 4, но единственная точка решетки, которую он содержит, - это начало координат. Этот пример, показывающий, что оценка теоремы точна, обобщается на гиперкубы во всех измерениях п.

Доказательство

Следующее рассуждение доказывает теорему Минковского для частного случая L = ℤ².

Доказательство ${ textstyle mathbb {Z} ^ {2}}$ дело: Рассмотрим карту

${ displaystyle f: S to mathbb {R} ^ {2} / 2L, qquad (x, y) mapsto (x { bmod {2}}, y { bmod {2}})}$

Интуитивно эта карта разрезает плоскость на 2 на 2 квадрата, а затем складывает квадраты друг на друга. Четко ж(S) имеет площадь меньше или равную 4, потому что этот набор находится внутри квадрата 2 на 2. Предположим от противного, что ж может быть инъективный, что означает кусочки S вырезанные квадратами укладываются в стопку, не перекрывая друг друга. Потому что ж локально сохраняет площадь, это свойство неперекрытия сделало бы его сохраняющим площадь для всех S, поэтому площадь ж(S) будет таким же, как у S, что больше 4. Это не так, поэтому предположение должно быть ложным: ж не инъективен, что означает, что существует как минимум две различные точки п₁, п₂ в S которые нанесены на карту ж в ту же точку: ж(п₁) = ж(п₂).

Из-за пути ж был определен, единственный способ ж(п₁) может равняться ж(п₂) это для п₂в равной п₁ + (2я, 2j) для некоторых целых чисел я и j, а не обе нулевые, то есть координаты двух точек отличаются на два четных числа. С S симметрично относительно начала координат, −п₁ также точка в S. С S выпуклый, отрезок между −п₁ и п₂ полностью лежит в S, и, в частности, середина этого сегмента лежит в S. Другими словами,

${ displaystyle { tfrac {1} {2}} left (-p_ {1} + p_ {2} right) = { tfrac {1} {2}} left (-p_ {1} + p_ {1} + (2i, 2j) right) = (i, j)}$

это точка в S. Но этот момент (я,j) является целочисленной точкой и не является источником, поскольку я и j оба не равны нулю, поэтому S содержит ненулевую целую точку.

Примечания:

• Приведенные выше аргументы доказывают теорему о том, что любой набор объема ${ textstyle> det (L)}$ содержит две различные точки, различающиеся вектором решетки. Это известно как Теорема Блихфельдта^{[нужна цитата ]}.
• Приведенный выше аргумент подчеркивает, что термин ${ textstyle 2 ^ {п} { текст {det}} (L)}$ коволюм решетки ${ textstyle 2L}$.
• Чтобы получить доказательство для общих решеток, достаточно доказать теорему Минковского только для ${ textstyle mathbb {Z} ^ {п}}$; это потому, что каждую решетку полного ранга можно записать как ${ textstyle B mathbb {Z} ^ {n}}$ для некоторого линейного преобразования ${ textstyle B}$, а свойства выпуклости и симметричности относительно начала координат сохраняются линейными преобразованиями, а коволюм ${ textstyle B mathbb {Z} ^ {n}}$ является ${ textstyle | { текст {det}} (B) |}$ и объем тела увеличивается ровно ${ textstyle { frac {1} {{ text {det}} (B)}}}$ по заявлению ${ textstyle B ^ {- 1}}$.

Приложения

Ограничение кратчайшего вектора

Из теоремы Минковского следует верхняя оценка длины кратчайшего ненулевого вектора. Этот результат имеет приложения в решеточной криптографии и теории чисел.

Теорема (оценка Минковского кратчайшего вектора): Позволять ${ textstyle L}$ быть решеткой. Тогда есть ${ textstyle х в L setminus {0 }}$ с ${ textstyle || х || _ { infty} leq | det (L) | ^ {1 / n}}$. В частности, при стандартном сравнении между ${ textstyle l_ {2}}$ и ${ textstyle l _ { infty}}$ нормы, ${ textstyle || х || _ {2} leq { sqrt {n}} | det (L) | ^ {1 / n}}$.

Примечания:

• Константа в ${ textstyle L ^ {2}}$ границу можно улучшить, например, взяв открытый шар радиуса ${ textstyle$ в качестве ${ textstyle C}$ в приведенном выше аргументе. Оптимальная константа известна как Постоянная Эрмита.

• Ограничение, данное теоремой, может быть очень слабым, как можно увидеть, рассматривая решетку, порожденную ${ textstyle (1,0), (0, n)}$.

• Несмотря на то, что теорема Минковского гарантирует короткий вектор решетки в пределах определенной величины, нахождение этого вектора в общем случае сложная вычислительная проблема. Нахождение вектора внутри множителя, гарантированного оценкой Минковского, есть называемая векторной проблемой Минковского (MVP), и известно, что аппроксимация SVP сводится к ней с помощью переносные свойства дуальной решетки. Вычислительную проблему также иногда называют HermiteSVP.^[1]

• В LLL-базисный алгоритм редукции можно рассматривать как слабую, но эффективно алгоритмическую версию оценки Минковского на кратчайший вектор. Это потому, что ${ textstyle delta}$-LLL сокращенная база ${ textstyle b_ {1}, ldots, b_ {n}}$ за ${ textstyle L}$ имеет свойство, что ${ textstyle || b_ {1} || leq ({ frac {1} { delta -.25}}) ^ { frac {n-1} {4}} { text {det}} ( L) ^ {1 / n}}$; увидеть эти конспекты лекций Микчанчо для получения дополнительной информации об этом. Как объясняется в^[1] доказательства границ Постоянная Эрмита содержат некоторые ключевые идеи алгоритма LLL-редукции.

Приложения к теории чисел

Простые числа, представляющие собой сумму двух квадратов

Трудный подтекст в Теорема Ферма о суммах двух квадратов можно доказать, используя оценку Минковского на кратчайший вектор.

Теорема: Каждый прайм с ${ textstyle p-1 = 0 mod 4}$ можно записать в виде суммы двух квадратов.

Кроме того, перспектива решетки дает вычислительно эффективный подход к теореме Ферма о суммах квадратов:

Алгоритм

Во-первых, напомним, что нахождение любого ненулевого вектора с нормой меньше, чем ${ textstyle 2p}$ в ${ textstyle L}$, решетка доказательства, дает разложение ${ textstyle p}$ в виде суммы двух квадратов. Такие векторы можно эффективно найти, например, используя LLL-алгоритм. В частности, если ${ textstyle b_ {1}, b_ {2}}$ это ${ textstyle 3/4}$-LLL сокращенный базис, таким образом, за счет того, что ${ textstyle || b_ {1} || leq ({ frac {1} { delta -.25}}) ^ { frac {n-1} {4}} { text {det}} ( Б) ^ {1 / n}}$, ${ textstyle || b_ {1} || ^ {2} leq { sqrt {2}} p <2p}$. Таким образом, запустив алгоритм редукции базиса LLL-решетки с ${ textstyle delta = 3/4}$, получаем разложение ${ textstyle p}$ как сумму квадратов. Обратите внимание: поскольку каждый вектор в ${ textstyle L}$ имеет норму, кратную квадрату ${ textstyle p}$, вектор, возвращаемый LLL-алгоритмом в этом случае, фактически является кратчайшим вектором.

Теорема Лагранжа о четырех квадратах

Теорема Минковского также полезна для доказательства Теорема Лагранжа о четырех квадратах, в котором говорится, что каждое натуральное число можно записать как сумму квадратов четырех натуральных чисел.

Теорема Дирихле об одновременном рациональном приближении

Теорема Минковского может быть использована для доказательства Теорема Дирихле об одновременном рациональном приближении.

Алгебраическая теория чисел

Еще одно приложение теоремы Минковского - это результат, что каждый класс в группа идеального класса из числовое поле K содержит интегральный идеал из норма не превышая определенного предела, в зависимости от K, называется Связь Минковского: конечность номер класса поля алгебраических чисел следует немедленно.

Теория сложности

Сложность нахождения точки, гарантированной теоремой Минковского или тесно связанной теоремой Блитчфилдса, изучалась с точки зрения TFNP проблемы поиска. В частности, известно, что вычислительный аналог теоремы Блихфельдта, следствие доказательства теоремы Минковского, является PPP-полным.^[2] Также известно, что вычислительный аналог теоремы Минковского принадлежит классу PPP, и предполагалось, что он будет PPP-полным.^[3]

Смотрите также

• Набор Danzer
• Теорема Пика
• Теорема Дирихле о единицах
• Вторая теорема Минковского

дальнейшее чтение

внешняя ссылка

• «Теорема Минковского». PlanetMath.
• Стивенхаген, Питер. Номер кольца.
• Малышев, А. (2001) [1994], «Теорема Минковского», Энциклопедия математики, EMS Press
• «Геометрия чисел», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]

Рекомендации