Теорема вложения Митчеллса - Википедия - Mitchells embedding theorem

Теорема вложения Митчелла, также известный как Теорема Фрейда – Митчелла. или полная теорема вложения, результат о абелевы категории; в нем по существу говорится, что эти категории, хотя и определены довольно абстрактно, на самом деле конкретные категории из модули. Это позволяет использовать поэлементно погоня за диаграммой доказательства в этих категориях. Теорема названа в честь Барри Митчелл и Питер Фрейд.

Подробности

Точное утверждение выглядит следующим образом: если А - малая абелева категория, то существует звенеть р (с 1, не обязательно коммутативным) и a полный, верный и точный функтор F: А → р-Mod (где последнее обозначает категорию всех оставили р-модули ).

Функтор F дает эквивалентность между А и полная подкатегория из р-Mod таким образом, чтобы ядра и коядра вычислено в А соответствуют обычным ядрам и коядрам, вычисленным в р-Мод. Такая эквивалентность обязательно добавка Таким образом, теорема по существу утверждает, что объекты А можно рассматривать как р-модули, а морфизмы как р-линейные карты, с ядрами, коядрами, точные последовательности и суммы морфизмов определяются как в случае модулей. Тем не мение, проективный и инъективный объекты в А не обязательно соответствуют проективному и инъективному р-модули.

Набросок доказательства

Позволять ${ displaystyle { mathcal {L}} subset operatorname {Fun} ({ mathcal {A}}, Ab)}$ быть категорией левые точные функторы из абелевой категории ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ к категория абелевых групп ${ displaystyle Ab}$. Сначала построим контравариантный встраивание ${ Displaystyle H: { mathcal {A}} to { mathcal {L}}}$ к ${ Displaystyle Н (А) = час ^ {А}}$ для всех ${ displaystyle A in { mathcal {A}}}$, куда ${ displaystyle h ^ {A}}$ ковариантный гом-функтор, ${ displaystyle h ^ {A} (X) = operatorname {Hom} _ { mathcal {A}} (A, X)}$. В Йонеда Лемма утверждает, что ${ displaystyle H}$ полностью верен, и мы также получаем левую точность ${ displaystyle H}$ очень легко, потому что ${ displaystyle h ^ {A}}$ уже оставлено точным. Доказательство правильной точности ${ displaystyle H}$ сложнее, и его можно прочесть в Swan, Конспект лекций по математике 76.

После этого докажем, что ${ Displaystyle { mathcal {L}}}$ является абелевой категорией согласно теории локализации (также Свон). Это самая сложная часть доказательства.

Легко проверить, что абелева категория ${ Displaystyle { mathcal {L}}}$ является Категория AB5 с генератор ${ displaystyle bigoplus _ {A in { mathcal {A}}} h ^ {A}}$Другими словами, это Категория Гротендика и поэтому имеет инжекторный когенератор ${ displaystyle I}$.

В кольцо эндоморфизмов ${ displaystyle R: = operatorname {Hom} _ { mathcal {L}} (I, I)}$ кольцо, которое нам нужно для категории р-модули.

К ${ Displaystyle G (B) = OperatorName {Hom} _ { mathcal {L}} (B, I)}$ мы получаем другое контравариантное, точное и полностью точное вложение ${ displaystyle G: { mathcal {L}} to R operatorname {-Mod}.}$ Сочинение ${ displaystyle GH: { mathcal {A}} to R operatorname {-Mod}}$ - искомое ковариантное точное и вполне точное вложение.

Обратите внимание, что доказательство Теорема вложения Габриэля – Квиллена. за точные категории практически идентичен.

Рекомендации