Лемма Йонеды - Википедия - Yoneda lemma

В математика, то Лемма Йонеды возможно, самый важный результат в теория категорий.^[1] Это абстрактный результат на функторы типа морфизмы в фиксированный объект. Это обширное обобщение Теорема Кэли из теория групп (рассмотрение группы как миниатюрной категории с одним объектом и только изоморфизмами). Это позволяет встраивание любой местно маленький категорию в категория функторов (контравариантные многозначные функторы), определенные в этой категории. Также разъясняется, как встроенная категория представимые функторы и их естественные преобразования, относится к другим объектам в более крупной категории функторов. Это важный инструмент, лежащий в основе нескольких современных разработок в алгебраическая геометрия и теория представлений. Он назван в честь Нобуо Йонеда.

Общие

Лемма Йонеды предполагает, что вместо изучения (местно маленький ) категория ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$, следует изучить категорию всех функторов ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$ в ${ displaystyle mathbf {Set}}$ (в категория наборов с функции в качестве морфизмы ). ${ displaystyle mathbf {Set}}$ - категория, которую, как нам кажется, мы хорошо понимаем, и функтор ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$ в ${ displaystyle mathbf {Set}}$ можно рассматривать как "представление" ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$ с точки зрения известных конструкций. Исходная категория ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$ содержится в этой категории функторов, но в категории функторов появляются новые объекты, которые отсутствовали и были «скрыты» в ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$. Отношение к этим новым объектам так же, как к старым, часто объединяет и упрощает теорию.

Этот подход сродни (и фактически обобщает) обычный метод изучения звенеть исследуя модули над кольцом. Кольцо занимает место категории ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$, а категория модулей над кольцом - это категория функторов, определенных на ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$.

Официальное заявление

Лемма Йонеды касается функторов фиксированной категории ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$ к категория наборов, ${ displaystyle mathbf {Set}}$. Если ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$ это местная малая категория (т.е. домашние наборы являются фактическими наборами, а не соответствующими классами), то каждый объект ${ displaystyle A}$ из ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$ порождает естественный функтор ${ displaystyle mathbf {Set}}$ называется hom-функтор. Этот функтор обозначается:

${ displaystyle h ^ {A} = mathrm {Hom} (A, -)}$.

(ковариантный ) hom-функтор ${ displaystyle h ^ {A}}$ отправляет ${ displaystyle X}$ к набору морфизмы ${ Displaystyle mathrm {Hom} (A, X)}$ и отправляет морфизм ${ displaystyle f двоеточие от X до Y}$ к морфизму ${ displaystyle f circ -}$ (композиция с ${ displaystyle f}$ слева), который посылает морфизм ${ displaystyle g}$ в ${ Displaystyle mathrm {Hom} (A, X)}$ к морфизму ${ displaystyle f circ g}$ в ${ Displaystyle mathrm {Hom} (A, Y)}$. То есть,

${ displaystyle h ^ {A} (f) = mathrm {Hom} (A, f) { mbox {или}}}$

${ displaystyle h ^ {A} (е) (g) = f circ g}$.

Позволять ${ displaystyle F}$ - произвольный функтор из ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$ к ${ displaystyle mathbf {Set}}$. Тогда лемма Йонеды говорит, что:

Для каждого объекта ${ displaystyle A}$ из ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$, то естественные преобразования ${ Displaystyle mathrm {Nat} (ч ^ {A}, F) Equiv mathrm {Hom} ( mathrm {Hom} (A, -), F)}$ из ${ displaystyle h ^ {A}}$ к ${ displaystyle F}$ находятся во взаимно однозначном соответствии с элементами ${ Displaystyle F (A)}$. То есть,

${ Displaystyle mathrm {Hom} ( mathrm {Hom} (A, -), F) cong F (A)}$.

Более того, этот изоморфизм естественен в ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle F}$ когда обе стороны рассматриваются как функторы от ${ Displaystyle { mathcal {C}} times mathbf {Set} ^ { mathcal {C}}}$ к ${ displaystyle mathbf {Set}}$.

Здесь обозначение ${ displaystyle mathbf {Set} ^ { mathcal {C}}}$ обозначает категорию функторов из ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$ к ${ displaystyle mathbf {Set}}$.

Учитывая естественное преобразование ${ displaystyle Phi}$ из ${ displaystyle h ^ {A}}$ к ${ displaystyle F}$, соответствующий элемент ${ Displaystyle F (A)}$ является ${ displaystyle u = Phi _ {A} ( mathrm {id} _ {A})}$;^[а] и учитывая элемент ${ displaystyle u}$ из ${ Displaystyle F (A)}$, соответствующее естественное преобразование дается выражением ${ Displaystyle Phi (е) = F (е) (и)}$.

Контравариантная версия

Существует контравариантная версия леммы Йонеды, которая касается контравариантные функторы из ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$ к ${ displaystyle mathbf {Set}}$. В этой версии используется контравариантный гом-функтор

${ displaystyle h_ {A} = mathrm {Hom} (-, A),}$

который отправляет ${ displaystyle X}$ к хом-множеству ${ Displaystyle mathrm {Hom} (X, A)}$. Для произвольного контравариантного функтора ${ displaystyle G}$ из ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$ к ${ displaystyle mathbf {Set}}$, Лемма Йонеды утверждает, что

${ displaystyle mathrm {Nat} (h_ {A}, G) cong G (A).}$

Соглашения об именах

Использование ${ displaystyle h ^ {A}}$ для ковариантного гом-функтора и ${ displaystyle h_ {A}}$ для контравариантного гом-функтора не вполне стандартен. Во многих текстах и ​​статьях для этих двух функторов используются либо противоположные соглашения, либо совершенно не связанные символы. Однако большинство современных текстов по алгебраической геометрии, начиная с Александра Гротендика основополагающий EGA используйте соглашение в этой статье.^[b]

Мнемоника "падение во что-то" может помочь вспомнить, что ${ displaystyle h_ {A}}$ - контравариантный гом-функтор. Когда письмо ${ displaystyle A}$ является падение (то есть нижний индекс), ${ displaystyle h_ {A}}$ присваивает объекту ${ displaystyle X}$ морфизмы из ${ displaystyle X}$ в ${ displaystyle A}$.

Доказательство

Доказательство леммы Йонеды обозначается следующим коммутативная диаграмма:

Эта диаграмма показывает, что естественное преобразование ${ displaystyle Phi}$ полностью определяется ${ Displaystyle Phi _ {A} ( mathrm {id} _ {A}) = u}$ поскольку для каждого морфизма ${ displaystyle f двоеточие от A до X}$ надо

${ Displaystyle Phi _ {X} (е) = (Ff) u}$.

Более того, любой элемент ${ Displaystyle и в F (A)}$ таким образом определяет естественное преобразование. Доказательство в контравариантном случае полностью аналогично.

Вложение Йонеды

Важный частный случай леммы Йонеды - это когда функтор ${ displaystyle F}$ из ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$ к ${ displaystyle mathbf {Set}}$ еще один хом-функтор ${ displaystyle h ^ {B}}$. В этом случае ковариантная версия леммы Йонеды утверждает, что

${ displaystyle mathrm {Nat} (h ^ {A}, h ^ {B}) cong mathrm {Hom} (B, A).}$

То есть естественные преобразования между гом-функторами находятся во взаимно однозначном соответствии с морфизмами (в обратном направлении) между ассоциированными объектами. Учитывая морфизм ${ displaystyle f двоеточие от B до A}$ соответствующее естественное преобразование обозначается ${ Displaystyle mathrm {Hom} (е, -)}$.

Отображение каждого объекта ${ displaystyle A}$ в ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$ с ассоциированным с ним гом-функтором ${ displaystyle h ^ {A} = mathrm {Hom} (A, -)}$ и каждый морфизм ${ displaystyle f двоеточие от B до A}$ к соответствующему естественному преобразованию ${ Displaystyle mathrm {Hom} (е, -)}$ определяет контравариантный функтор ${ displaystyle h ^ {-}}$ из ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$ к ${ displaystyle mathbf {Set} ^ { mathcal {C}}}$, то категория функторов всех (ковариантных) функторов из ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$ к ${ displaystyle mathbf {Set}}$. Можно интерпретировать ${ displaystyle h ^ {-}}$ как ковариантный функтор:

${ displaystyle h ^ {-} двоеточие { mathcal {C}} ^ { text {op}} to mathbf {Set} ^ { mathcal {C}}.}$

Смысл леммы Йонеды в этом случае состоит в том, что функтор ${ displaystyle h ^ {-}}$ является полностью верный, и поэтому дает вложение ${ displaystyle { mathcal {C}} ^ { mathrm {op}}}$ в категории функторов к ${ displaystyle mathbf {Set}}$. Коллекция всех функторов ${ displaystyle {h ^ {A} | A in C }}$ является подкатегорией ${ displaystyle mathbf {Set} ^ { mathcal {C}}}$. Следовательно, из вложения Йонеды следует, что категория ${ displaystyle { mathcal {C}} ^ { mathrm {op}}}$ изоморфна категории ${ displaystyle {h ^ {A} | A in C }}$.

Контравариантная версия леммы Йонеды утверждает, что

${ displaystyle mathrm {Nat} (h_ {A}, h_ {B}) cong mathrm {Hom} (A, B).}$

Следовательно, ${ displaystyle h _ {-}}$ порождает ковариантный функтор из ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$ в категорию контравариантных функторов к ${ displaystyle mathbf {Set}}$:

${ displaystyle h _ {-} двоеточие { mathcal {C}} to mathbf {Set} ^ {{ mathcal {C}} ^ { mathrm {op}}}.}$

Лемма Йонеды утверждает, что любая локально малая категория ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$ вкладывается в категорию контравариантных функторов из ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$ к ${ displaystyle mathbf {Set}}$ через ${ displaystyle h _ {-}}$. Это называется Йонеда вложение.

Вложение Йонеды иногда обозначают символом よ, Хирагана Кана Эй.^[2]

Представимый функтор

Вложение Йонеды по существу утверждает, что для каждой (локально небольшой) категории объекты в этой категории могут быть представлен к предварительные пучки, полным и верным образом. То есть,

${ Displaystyle mathrm {Nat} (h_ {A}, P) cong P (A).}$

для предпучка п. Фактически, многие общие категории представляют собой предварительные пучки, и при ближайшем рассмотрении оказывается, что они снопы, и, поскольку такие примеры обычно носят топологический характер, их можно рассматривать как Topoi в целом. Лемма Йонеды предоставляет точку, с помощью которой можно изучать и понимать топологическую структуру категории.

С точки зрения (со) конечного исчисления

Учитывая две категории ${ displaystyle mathbf {C}}$ и ${ displaystyle mathbf {D}}$ с двумя функторами ${ Displaystyle F, G: mathbf {C} to mathbf {D}}$, естественные преобразования между ними можно записать в виде конец.

${ Displaystyle mathrm {Nat} (F, G) = int _ {c in mathbf {C}} mathrm {Hom} _ { mathbf {D}} (Fc, Gc)}$

Для любых функторов ${ Displaystyle K двоеточие mathbf {C} ^ {op} to mathbf {Sets}}$ и ${ Displaystyle H двоеточие mathbf {C} to mathbf {Наборы}}$ все следующие формулы являются формулировками леммы Йонеды. ^[3]

${ displaystyle K cong int ^ {c in mathbf {C}} Kc times mathrm {Hom} _ { mathbf {C}} (-, c), qquad K cong int _ { c in mathbf {C}} (Kc) ^ { mathrm {Hom} _ { mathbf {C}} (c, -)},}$

${ Displaystyle H cong int ^ {c in mathbf {C}} Hc times mathrm {Hom} _ { mathbf {C}} (c, -), qquad H cong int _ { c in mathbf {C}} (Hc) ^ { mathrm {Hom} _ { mathbf {C}} (-, c)}.}.$

Преддитивные категории, кольца и модули

А предаддитивная категория - категория, в которой множества морфизмов образуют абелевы группы а композиция морфизмов билинейный; примерами являются категории абелевых групп или модулей. В предаддитивной категории существует как «умножение», так и «добавление» морфизмов, поэтому предаддитивные категории рассматриваются как обобщения кольца. Кольца - это предаддитивные категории с одним объектом.

Лемма Йонеды останется верной для преаддитивных категорий, если мы выберем в качестве нашего расширения категорию добавка контравариантные функторы из исходной категории в категорию абелевых групп; это функторы, совместимые с добавлением морфизмов, и их следует рассматривать как образующие категория модуля над исходной категорией. Затем лемма Йонеды дает естественную процедуру расширения предаддитивной категории так, чтобы расширенная версия оставалась предаддитивной - фактически, расширенная версия является абелева категория, гораздо более мощное состояние. В случае кольца ${ displaystyle R}$, расширенная категория - это категория всех прав модули над ${ displaystyle R}$, и утверждение леммы Йонеды сводится к известному изоморфизму

${ Displaystyle M cong mathrm {Hom} _ {R} (R, M)}$ для всех правильных модулей ${ displaystyle M}$ над ${ displaystyle R}$.

Связь с теоремой Кэли

Как указано выше, лемму Йонеды можно рассматривать как обширное обобщение Теорема Кэли из теория групп. Чтобы увидеть это, позвольте ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$ быть категорией с одним объектом ${ displaystyle *}$ такой, что каждый морфизм является изоморфизм (т.е. группоид с одним объектом). потом ${ Displaystyle G = mathrm {Hom} _ { mathcal {C}} (*, *)}$ образует группа при операции композиции, и любая группа может быть реализована таким образом как категория.

В этом контексте ковариантный функтор ${ displaystyle { mathcal {C}} to mathbf {Set}}$ состоит из набора ${ displaystyle X}$ и групповой гомоморфизм ${ Displaystyle G to mathrm {Пермь} (X)}$, куда ${ Displaystyle mathrm {Пермь} (X)}$ это группа перестановки из ${ displaystyle X}$; другими словами, ${ displaystyle X}$ это G-набор. Естественное преобразование между такими функторами - это то же самое, что и эквивариантное отображение между ${ displaystyle G}$-sets: функция набора ${ displaystyle alpha двоеточие от X до Y}$ со свойством, что ${ Displaystyle альфа (г CDOT х) = г CDOT альфа (х)}$ для всех ${ displaystyle g}$ в ${ displaystyle G}$ и ${ displaystyle x}$ в ${ displaystyle X}$. (В левой части этого уравнения ${ displaystyle cdot}$ обозначает действие ${ displaystyle G}$ на ${ displaystyle X}$, а справа - действие на ${ displaystyle Y}$.)

Теперь ковариантный гом-функтор ${ Displaystyle mathrm {Hom} _ { mathcal {C}} (*, -)}$ соответствует действию ${ displaystyle G}$ на себя умножением слева (контравариантная версия соответствует умножению справа). Лемма Йонеды с ${ Displaystyle F = mathrm {Hom} _ { mathcal {C}} (*, -)}$ утверждает, что

${ Displaystyle mathrm {Nat} ( mathrm {Hom} _ { mathcal {C}} (*, -), mathrm {Hom} _ { mathcal {C}} (*, -)) cong mathrm {Hom} _ { mathcal {C}} (*, *)}$,

то есть эквивариантные отображения из этого ${ displaystyle G}$-наборы находятся в взаимно однозначном соответствии с ${ displaystyle G}$. Но легко видеть, что (1) эти отображения образуют группу по композиции, которая является подгруппа из ${ Displaystyle mathrm {Пермь} (G)}$, и (2) функция, дающая биекцию, является гомоморфизмом групп. (В обратном направлении он ассоциируется с каждым ${ displaystyle g}$ в ${ displaystyle G}$ эквивариантное отображение правого умножения на ${ displaystyle g}$.) Таким образом ${ displaystyle G}$ изоморфна подгруппе ${ Displaystyle mathrm {Пермь} (G)}$, что является утверждением теоремы Кэли.

История

Йошики Киношита заявил в 1996 году, что термин «лемма Йонеды» был придуман Saunders Mac Lane после интервью, которое он дал Йонеде.^[4]

Смотрите также

• Теорема представления

Примечания

Рекомендации

• Лемма Йонеды в nLab

внешняя ссылка

• Система Мицар доказательство: http://www.mizar.org/JFM/pdf/yoneda_1.pdf