Теорема представления - Representation theorem

В математика, а теорема представления это теорема, которая утверждает, что каждая абстрактная структура с определенными свойствами изоморфный в другую (абстрактную или конкретную) структуру.^[1]

Примеры

Алгебра

• Теорема Кэли заявляет, что каждый группа изоморфна подгруппе группы перестановок.^[2]
• Теория представлений изучает свойства абстрактных групп через их представления как линейные преобразования векторных пространств.^[1]
• Теорема Стоуна о представлении за булевы алгебры заявляет, что каждый Булева алгебра изоморфен поле наборов.^[3]

  Вариант, теорема Стоуна о представлении решеток, утверждает, что каждое распределительная решетка изоморфна подрешетке набор мощности решетка некоторого набора.

  Другой вариант утверждает, что существует двойственность (в смысле стрелки, обращающей эквивалентность) между категориями Булевы алгебры и что из Каменные пространства.

• В Теорема Пуанкаре – Биркгофа – Витта. заявляет, что каждый Алгебра Ли вкладывается в коммутаторную алгебру Ли своих универсальная обертывающая алгебра.
• Теорема Адо утверждает, что каждый конечномерный Алгебра Ли через поле из характеристика ноль вкладывается в алгебру Ли эндоморфизмов некоторого конечномерного векторного пространства.
• Теорема Биркгофа о HSP заявляет, что каждый модель алгебры А является гомоморфным образом подалгебра из прямой продукт копий А.^[4]
• При изучении полугруппы, то Теорема Вагнера – Престона дает представление о инверсная полугруппа S, как гомоморфный образ множества частичные отклонения на S, а полугрупповая операция сочинение.

Теория категорий

• В Лемма Йонеды обеспечивает полное и точное с сохранением предела вложение любой категории в категорию предварительные пучки.
• Теорема вложения Митчелла для абелевых категорий реализует каждую малую абелеву категорию как полную (и точно вложенную) подкатегорию категории модулей над некоторым кольцом.^[5]
• Теорема Мостовского о коллапсе утверждает, что каждая хорошо обоснованная экстенсиональная структура изоморфна транзитивному множеству с ∈-отношением.
• Одна из основных теорем в пучок теория утверждает, что каждый пучок над топологическое пространство можно представить себе как пучок разделы некоторого (этале) расслоения над этим пространством: категории пучков на топологическом пространстве и категории пучков этале пространства над ним эквивалентны, где эквивалентность задается функтором, который отправляет пучок в его пучок (локальных) секций.

Функциональный анализ

• В Конструкция Гельфанда – Наймарка – Сигала встраивает любые C * -алгебра в алгебре ограниченные операторы на некоторых Гильбертово пространство.
• В Представительство Гельфанда (также известная как коммутативная теорема Гельфанда – Наймарка) утверждает, что любая коммутативная C * -алгебра изоморфна алгебре непрерывных функций на своей Спектр Гельфанда. Это также можно рассматривать как конструкцию как двойственность категории коммутативных C * -алгебры и что из компактные хаусдорфовы пространства.
• В Теорема Рисса о представлении на самом деле это список из нескольких теорем; один из них идентифицирует двойственное пространство C₀(Икс) с набором регулярных мер на Икс.

Геометрия

• В Теоремы вложения Уитни вставлять любые абстрактные многообразие в некоторых Евклидово пространство.
• В Теорема вложения Нэша встраивает абстрактный Риманово многообразие изометрически в Евклидово пространство.^[6]

Рекомендации