Нормальный режим - Normal mode

Эта статья включает Список ссылок, связанное чтение или внешняя ссылка, но его источники остаются неясными, потому что в нем отсутствует встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (Декабрь 2010 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

А нормальный режим из колебательная система это модель движения, в которой все части системы движутся синусоидально с той же частотой и с фиксированным соотношением фаз. Свободное движение, описываемое нормальными модами, происходит на фиксированных частотах. Эти фиксированные частоты нормальных режимов системы известны как ее собственные частоты или резонансные частоты. Физический объект, такой как здание, мост или молекула, имеет набор нормальных режимов и их собственные частоты, которые зависят от его структуры, материалов и граничных условий. В музыке обычные формы вибрирующих инструментов (струн, воздуховодов, барабанов и т. Д.) Называются «гармониками» или «обертонами».

Наиболее общее движение системы - это суперпозиция нормальных режимов. Эти моды являются нормальными в том смысле, что они могут перемещаться независимо, то есть возбуждение одной моды никогда не вызовет движение другой моды. С математической точки зрения нормальные режимы ортогональный друг другу.

Вибрация одиночной нормальной моды круглого диска с закрепленным граничным условием по всей внешней кромке. Посмотреть другие режимы.

Фотовспышка чашки черного кофе, вибрирующей в нормальных режимах

Воспроизвести медиа

Возбуждение нормальных режимов в капле воды во время Эффект Лейденфроста

Общие определения

Режим

в теория волн физики и техники, Режим в динамическая система это стоячая волна состояние возбуждения, при котором все компоненты системы будут синусоидально воздействовать на фиксированную частоту, связанную с этим режимом.

Поскольку никакая реальная система не может идеально вписаться в структуру стоячей волны, Режим Концепция взята как общая характеристика конкретных состояний колебаний, таким образом рассматривая динамическую систему в линейный мода, в которой линейный суперпозиция состояний могут быть выполнены.

Классические примеры включают

• В механической динамической системе вибрирующий канат является наиболее ярким примером режима, в котором канат является средой, напряжение на канате является возбуждением, а смещение каната относительно его статического состояния является модальным. Переменная.
• В акустической динамической системе единая высота звука - это режим, в котором воздух является средой, звуковое давление в воздухе является возбуждением, а смещение молекул воздуха является модальной переменной.
• В структурной динамической системе высокое высокое здание, колеблющееся под своей максимальной осью изгиба, является режимом, в котором весь материал здания - при надлежащих численных упрощениях - является средой, сейсмические / ветровые / экологические воздействия являются возбуждениями и смещения являются модальной переменной.
• В электрической динамической системе резонансная полость, сделанная из тонких металлических стенок, заключающая в себе полое пространство, для ускорителя частиц является чистой системой стоячих волн и, следовательно, примером режима, в котором полое пространство полости является средой. , источник RF (клистрон или другой источник RF) является возбуждением, а электромагнитное поле является модальной переменной.
• Что касается Музыка, нормальные режимы работы вибрирующих инструментов (струн, воздуховодов, барабанов и т. д.) называются "гармоники " или "обертоны ".
• Концепция нормальных режимов также находит применение в оптика, квантовая механика, и молекулярная динамика.

Большинство динамических систем можно возбуждать в нескольких режимах, возможно, одновременно. Каждый режим характеризуется одной или несколькими частотами,^{[сомнительный – обсудить]} в соответствии с полем модальной переменной. Например, вибрирующий канат в двухмерном пространстве определяется одной частотой (одномерное осевое смещение), а вибрирующий канат в трехмерном пространстве определяется двумя частотами (двухмерное осевое смещение).

Для данной амплитуды модальной переменной каждый режим будет хранить определенное количество энергии из-за синусоидального возбуждения.

В нормальный или доминирующий Режим системы с несколькими режимами будет режимом, сохраняющим минимальное количество энергии для данной амплитуды модальной переменной, или, что то же самое, для данного сохраненного количества энергии доминирующим режимом будет режим, налагающий максимальную амплитуду модальная переменная.

Номера режимов

Режим вибрации характеризуется модальной частотой и формой моды. Он нумеруется в соответствии с количеством полуволн в вибрации. Например, если вибрирующая балка с обоими закрепленными концами отображает форму моды, равную половине синусоидальной волны (один пик на вибрирующей балке), она будет вибрировать в режиме 1. Если бы у нее была полная синусоида (один пик и одна впадина). ) он будет вибрировать в режиме 2.

В системе с двумя или более измерениями, такой как изображенный диск, каждому измерению дается номер режима. С помощью полярные координаты, у нас есть радиальная координата и угловая координата. Если один измеряется от центра наружу по радиальной координате, можно встретить полную волну, поэтому номер моды в радиальном направлении равен 2. Другое направление сложнее, потому что только половина диска рассматривается из-за антисимметричной ( также называемый кососимметрия ) характер колебаний диска в угловом направлении. Таким образом, при измерении 180 ° в угловом направлении вы встретите полуволну, поэтому номер моды в угловом направлении равен 1. Таким образом, номер моды системы составляет 2–1 или 1-2, в зависимости от того, какая координата считается «первая» и которая считается «второй» координатой (поэтому важно всегда указывать, какой номер режима соответствует каждому направлению координат).

В линейных системах каждый режим полностью независим от всех других режимов. В общем, все режимы имеют разные частоты (более низкие моды имеют более низкие частоты) и разные формы колебаний.

Узлы

Форма колебаний барабанной мембраны с узловыми линиями бледно-зеленого цвета.

В одномерной системе в данном режиме колебания будут иметь узлы или места, где смещение всегда равно нулю. Эти узлы соответствуют точкам формы колебаний, где форма колебаний равна нулю. Поскольку вибрация системы задается формой моды, умноженной на функцию времени, смещение узловых точек всегда остается нулевым.

При расширении до двухмерной системы эти узлы становятся линиями, где смещение всегда равно нулю. Если вы посмотрите анимацию выше, вы увидите два круга (один примерно на полпути между краем и центром, а другой - на самом краю) и прямую линию, разделяющую диск пополам, где смещение близко к нулю. В идеализированной системе эти линии в точности равны нулю, как показано справа.

В механических системах

Связанные генераторы

Рассмотрим два равных тела (не подверженных гравитации), каждое из которых масса м, прикрепленный к трем пружинам, каждая с жесткость пружины k. Они прикрепляются следующим образом, образуя физически симметричную систему:

где краевые точки зафиксированы и не могут двигаться. Мы будем использовать Икс₁(т) для обозначения горизонтального смещение левой массы, и Икс₂(т) для обозначения смещения правой массы.

Если одно обозначает ускорение (второе производная из Икс(т) по времени) как ${ displaystyle scriptstyle { ddot {x}}}$, то уравнения движения находятся:

${ displaystyle { begin {align} m { ddot {x}} _ {1} & = - kx_ {1} + k (x_ {2} -x_ {1}) = - 2kx_ {1} + kx_ { 2} m { ddot {x}} _ {2} & = - kx_ {2} + k (x_ {1} -x_ {2}) = - 2kx_ {2} + kx_ {1} end { выровнено}}}$

Поскольку мы ожидаем колебательное движение нормального режима (где ω одинаково для обеих масс), мы пробуем:

${ displaystyle { begin {align} x_ {1} (t) & = A_ {1} e ^ {i omega t} x_ {2} (t) & = A_ {2} e ^ {i омега т} конец {выровнено}}}$

Подставляя их в уравнения движения, мы получаем:

${ displaystyle { begin {align} - omega ^ {2} mA_ {1} e ^ {i omega t} & = - 2kA_ {1} e ^ {i omega t} + kA_ {2} e ^ {i omega t} - omega ^ {2} mA_ {2} e ^ {i omega t} & = kA_ {1} e ^ {i omega t} -2kA_ {2} e ^ {i omega t} end {выровнен}}}$

Поскольку экспоненциальный множитель является общим для всех терминов, мы его опускаем и упрощаем:

${ displaystyle { begin {align} ( omega ^ {2} m-2k) A_ {1} + kA_ {2} & = 0 kA_ {1} + ( omega ^ {2} m-2k) A_ {2} & = 0 end {выровнено}}}$

И в матрица представление:

${ displaystyle { begin {bmatrix} omega ^ {2} m-2k & k k & omega ^ {2} m-2k end {bmatrix}} { begin {pmatrix} A_ {1} A_ { 2} end {pmatrix}} = 0}$

Если матрица слева обратима, единственное решение - это тривиальное решение (А₁, А₂) = (Икс₁, Икс₂) = (0,0). Нетривиальные решения должны быть найдены для тех значений ω, при которых матрица слева имеет вид единственное число т.е. не обратима. Отсюда следует, что детерминант матрицы должно быть равно 0, поэтому:

${ displaystyle ( omega ^ {2} m-2k) ^ {2} -k ^ {2} = 0}$

Решение для ${ displaystyle omega}$, у нас есть два положительных решения:

${ displaystyle { begin {align} omega _ {1} & = { sqrt { frac {k} {m}}} omega _ {2} & = { sqrt { frac {3k} {м}}} конец {выровнено}}}$

Если подставить ω₁ в матрицу и решить для (А₁, А₂), получаем (1, 1). Если подставить ω₂, получаем (1, −1). (Эти векторы собственные векторы, а частоты собственные значения.)

Первый нормальный режим:

${ Displaystyle { vec { eta}} _ {1} = { begin {pmatrix} x_ {1} ^ {1} (t) x_ {2} ^ {1} (t) end {pmatrix }} = c_ {1} { begin {pmatrix} 1 1 end {pmatrix}} cos {( omega _ {1} t + varphi _ {1})}}$

Это соответствует тому, что обе массы движутся в одном направлении одновременно. Этот режим называется антисимметричным.

Второй нормальный режим:

${ Displaystyle { vec { eta}} _ {2} = { begin {pmatrix} x_ {1} ^ {2} (t) x_ {2} ^ {2} (t) end {pmatrix }} = c_ {2} { begin {pmatrix} 1 - 1 end {pmatrix}} cos {( omega _ {2} t + varphi _ {2})}}$

Это соответствует движению масс в противоположных направлениях, в то время как центр масс остается неподвижным. Этот режим называется симметричным.

Общее решение - это суперпозиция из нормальные режимы куда c₁, c₂, φ₁, а φ₂, определяются первоначальные условия проблемы.

Продемонстрированный здесь процесс можно обобщить и сформулировать, используя формализм Лагранжева механика или Гамильтонова механика.

Стоячие волны

А стоячая волна представляет собой непрерывную форму нормального режима. В стоячей волне все элементы пространства (т.е. (Икс, у, z) координаты) колеблются в одном частота И в фаза (достигнув равновесие вместе), но у каждого своя амплитуда.

Общий вид стоячей волны:

${ Displaystyle пси (t) = е (х, y, z) (A соз ( омега т) + В грех ( омега т))}$

куда ƒ(Икс, у, z) представляет собой зависимость амплитуды от местоположения, а косинус синус - колебания во времени.

Физически стоячие волны образуются вмешательство (суперпозиция) волн и их отражений (хотя можно сказать и обратное: движущаяся волна - это суперпозиция стоячих волн). Геометрическая форма среды определяет, какой будет интерференционная картина, таким образом, определяет ƒ(Икс, у, z) форма стоячей волны. Эта пространственная зависимость называется нормальный режим.

Обычно для задач с непрерывной зависимостью от (Икс, у, z) не существует единственного или конечного числа нормальных режимов, но существует бесконечно много нормальных режимов. Если задача ограничена (т. Е. Определена на конечном участке пространства), существуют счетно много нормальные режимы (обычно пронумерованы п = 1, 2, 3, ...). Если проблема не ограничена, существует непрерывный спектр нормальных режимов.

Эластичные твердые тела

В любом твердом теле при любой температуре первичные частицы (например, атомы или молекулы) не являются стационарными, а скорее колеблются относительно средних положений. В изоляторах способность твердого тела накапливать тепловую энергию почти полностью обусловлена ​​этими колебаниями. Многие физические свойства твердого тела (например, модуль упругости) можно предсказать, зная частоты, с которыми колеблются частицы. Самое простое предположение (Эйнштейна) состоит в том, что все частицы колеблются вокруг своего среднего положения с одной и той же собственной частотой. ν. Это эквивалентно предположению, что все атомы независимо колеблются с частотой ν. Эйнштейн также предположил, что разрешенные энергетические состояния этих колебаний являются гармониками или целыми кратными hν. Спектр форм волны можно описать математически с помощью ряда Фурье синусоидальных флуктуаций плотности (или тепловых колебаний). фононы ).

В фундаментальный и первые шесть обертоны вибрирующей струны. Математика распространение волн в кристаллических твердых телах состоит из обработки гармоники как идеал Ряд Фурье из синусоидальный флуктуации плотности (или волны смещения атомов).

Впоследствии Дебай осознал, что каждый осциллятор всегда тесно связан со своими соседними осцилляторами. Таким образом, заменив идентичные несвязанные осцилляторы Эйнштейна на такое же количество связанных осцилляторов, Дебай коррелировал упругие колебания одномерного твердого тела с числом математически особых видов колебаний натянутой струны (см. Рисунок). Чистый тон самого низкого тона или частоты называется основным, а кратные этой частоте - его гармоническими обертонами. Он присвоил одному из осцилляторов частоту основной вибрации всего блока твердого тела. Он назначил остальным осцилляторам частоты гармоник этой основной гармоники, причем самая высокая из всех этих частот ограничивалась движением наименьшего первичного блока.

Нормальные моды колебаний кристалла, как правило, представляют собой суперпозицию многих обертонов, каждый из которых имеет соответствующую амплитуду и фазу. Большая длина волны (низкая частота) фононы это как раз те акустические колебания, которые рассматриваются в теории звука. Как продольные, так и поперечные волны могут распространяться через твердое тело, в то время как, как правило, только продольные волны поддерживаются жидкостями.

в продольная мода, смещение частиц из положения равновесия совпадает с направлением распространения волны. Механические продольные волны также называют волны сжатия. За поперечные моды отдельные частицы движутся перпендикулярно распространению волны.

Согласно квантовой теории, средняя энергия нормальной колебательной моды кристаллического твердого тела с характеристической частотой ν является:

${ displaystyle E (v) = { frac {1} {2}} hv + { frac {hv} {e ^ {hv / kT} -1}}}$

Срок (1/2)hν представляет собой «нулевую энергию» или энергию, которую осциллятор будет иметь при абсолютном нуле. E(ν) стремится к классическому значению kT при высоких температурах

${ displaystyle E (v) = kT left [1 + { frac {1} {12}} left ({ frac {hv} {kT}} right) ^ {2} + O left ({ frac {hv} {kT}} right) ^ {4} + cdots right]}$

Зная термодинамическую формулу,

${ displaystyle left ({ frac { partial S} { partial E}} right) _ {N, V} = { frac {1} {T}}}$

энтропия в нормальном режиме:

${ Displaystyle { begin {align} S left (v right) & = int _ {0} ^ {T} { frac {d} {dT}} E left (v right) { frac {dT} {T}} [10pt] & = { frac {E left (v right)} {T}} - k log left (1-e ^ {- { frac {hv}) {kT}}} right) end {align}}}$

Бесплатная энергия:

${ Displaystyle F (v) = E-TS = kT log left (1-e ^ {- { frac {hv} {kT}}} right)}$

который для kT >> hν, как правило:

${ Displaystyle F (v) = kT log left ({ frac {hv} {kT}} right)}$

Чтобы вычислить внутреннюю энергию и удельную теплоемкость, мы должны знать количество нормальных форм колебаний и частоту между значениями ν и ν + dν. Позвольте этому номеру быть ж(ν) dν. Так как общее количество нормальных режимов - 3N, функция ж(ν) дан кем-то:

${ Displaystyle int е (v) , dv = 3N}$

Интегрирование производится по всем частотам кристалла. Тогда внутренняя энергия U будет выдан:

${ Displaystyle U = int f (v) E (v) , dv}$

В квантовой механике

В квантовая механика, Штат ${ displaystyle | psi rangle}$ системы описывается волновая функция ${ Displaystyle psi (х, т)}$ который решает Уравнение Шредингера. Квадрат абсолютного значения ${ displaystyle psi}$, т.е.

${ Displaystyle P (x, t) = | psi (x, t) | ^ {2}}$

это плотность вероятности измерить частицу в место Икс в время  т.

Обычно, когда задействованы какие-то потенциал волновая функция разлагается на суперпозиция энергии собственные состояния, каждый из которых колеблется с частотой ${ displaystyle omega = E_ {n} / hbar}$. Таким образом, можно написать

${ Displaystyle | psi (t) rangle = sum _ {n} | n rangle left langle n | psi (t = 0) right rangle e ^ {- iE_ {n} t / hbar}}$

Собственные состояния имеют физический смысл больше, чем ортонормированный базис. Когда энергия системы равна измеренный, волновая функция коллапсирует в одно из своих собственных состояний, и поэтому волновая функция частицы описывается чистым собственным состоянием, соответствующим измеренному энергия.

В сейсмологии

Нормальные моды генерируются в земле из длинных волн. сейсмические волны от сильных землетрясений, мешающих формированию стоячих волн.

Для упругой, изотропной, однородной сферы возникают сфероидальный, тороидальный и радиальный (или дышащий) режимы. Сфероидальные режимы включают только волны P и SV (например, Волны Рэлея ) и зависят от номера обертона п и угловой порядок л но имеют вырождение азимутального порядка м. Увеличение л концентрирует фундаментальную ветвь ближе к поверхности и в целом л это стремится к волнам Рэлея. Тороидальные режимы включают только волны SH (например, Волны любви ) и не существуют в жидком внешнем ядре. Радиальные моды - это всего лишь подмножество сфероидальных мод с l = 0. Вырождения не существует на Земле, поскольку оно нарушается вращением, эллиптичностью и трехмерной неоднородной структурой скорости и плотности.

Мы либо предполагаем, что каждая мода может быть изолирована, приближение самосвязи, либо что многие моды близки по частоте резонансный, приближение кросс-связи. Самосвязь изменит только фазовую скорость, а не количество волн вокруг большого круга, что приведет к растяжению или сжатию картины стоячей волны. Перекрестная связь может быть вызвана вращением Земли, приводящим к смешению фундаментальных сфероидальных и тороидальных мод, или асферической структурой мантии или эллиптичностью Земли.

Смотрите также

• Антирезонанс
• Критическая скорость
• Гармонический осциллятор
• Гармонический ряд (музыка)
• ИК-спектроскопия
• Утечный режим
• Механический резонанс
• Модальный анализ
• Режим (электромагнетизм)
• Квазинормальный режим
• Теория Штурма – Лиувилля
• Крутильные колебания
• Колебания круговой мембраны

Источники

• Блевинс, Роберт Д. (2001). Формулы для собственной частоты и формы колебаний (Перепечатка ред.). Малабар, Флорида: паб Krieger. ISBN  978-1575241845.
• Tzou, H.S .; Бергман, Л.А., ред. (2008). Динамика и управление распределенными системами. Кембридж [Англия]: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0521033749.
• Ширер, Питер М. (2009). Введение в сейсмологию (2-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. С. 231–237. ISBN  9780521882101.

внешняя ссылка

• Конспект лекций Гарварда о нормальных режимах