Производная Помпею - Pompeiu derivative

В математический анализ, а Производная Помпею это настоящий -значен функция одной реальной переменной, которая является производная повсюду дифференцируемый функция и которая обращается в нуль в плотный набор. В частности, производная Помпею разрывна в любой точке, где она не равна 0. Вопрос о том, могут ли существовать такие функции, не являющиеся тождественным нулем, возник в контексте исследований начала 1900-х годов по функциональной дифференцируемости и интегрируемость. На вопрос утвердительно ответил Димитрие Помпейу построив явный пример; поэтому эти функции названы в его честь.

Строительство Помпею

Здесь описывается конструкция Помпею. Позволять $3 \sqrt Икс$ обозначить реальный кубический корень из настоящий номер $Икс$ . Позволять ${q j} j \inℕ$ быть перечисление из рациональное число в единичный интервал $[0, 1]$ . Позволять ${а j} j \inℕ$ быть положительными действительными числами с $\sum j а j < \infty$ . Определять $грамм : [0, 1] \to ℝ$ к

{ displaystyle g (x): = a_ {0} + sum _ {j = 1} ^ { infty} , a_ {j} { sqrt [{3}] {x-q_ {j}}} .}

Для любого $Икс$ в $[0, 1]$ , каждый член ряда меньше или равен $а j$ по абсолютной величине, поэтому серия равномерно сходится к непрерывному, строго возрастающий функция $грамм (Икс)$ , посредством Weierstrass $M$ -тест. Более того, оказывается, что функция $грамм$ дифференцируема, с

{ displaystyle g ^ { prime} (x): = { frac {1} {3}} sum _ {j = 1} ^ { infty} { frac {a_ {j}} { sqrt [ {3}] {(x-q_ {j}) ^ {2}}}}> 0,}

в любой точке, где сумма конечна; также во всех других точках, в частности, в любом из $q j$ , надо $грамм'(Икс) := +\infty$ . Поскольку изображение из $грамм$ это замкнутый ограниченный интервал с левой конечной точкой

{ displaystyle g (0) = a_ {0} - sum _ {j = 1} ^ { infty} , a_ {j} { sqrt [{3}] {q_ {j}}},}

до выбора $а 0$ , можно предположить $грамм (0) = 0$ и с точностью до выбора мультипликативного множителя можно считать, что $грамм$ отображает интервал $[0, 1]$ на сам. С $грамм$ строго увеличивается, это инъективный, а значит гомеоморфизм; и по теореме дифференцирования обратная функция, его обратное $ж := грамм -1$ имеет конечную производную в любой точке, которая обращается в нуль хотя бы в точках ${грамм (q j)} j \inℕ$ . Они образуют плотное подмножество $[0, 1]$ (на самом деле он исчезает во многих других точках; см. ниже).

Характеристики

Известно, что множество нулей производной любой всюду дифференцируемой функции является $грамм δ$ подмножество реальной линии. По определению для любой функции Помпейу это множество является плотный $грамм δ$ установлено, поэтому Теорема Бэра о категории это остаточный набор. В частности, он обладает бесчисленно много очков.
А линейная комбинация $аф (Икс) + bg (Икс)$ функций Помпейю является производной и обращается в нуль на множестве ${ж = 0} \cap {грамм = 0}$ , который является плотным $грамм δ$ устанавливается теоремой Бэра о категории. Таким образом, функции Помпейю образуют векторное пространство функций.
Предельная функция равномерно сходящийся последовательность производных Помпейу является производной Помпейю. Действительно, это производная по теореме о пределе под знаком производной. Более того, он исчезает в пересечение нулевых множеств функций последовательности: поскольку они плотные $грамм δ$ множества, нулевое множество предельной функции также плотно.
Как следствие, учебный класс $E$ из всех ограниченный Производные Помпейю на отрезке $[а, б]$ это закрыто линейное подпространство из Банахово пространство всех ограниченных функций относительно равномерного расстояния (следовательно, это банахово пространство).
Вышеупомянутая конструкция Помпею положительный функция - довольно своеобразный пример функции Помпею: теорема Вейля утверждает, что в целом производная Помпейу принимает как положительные, так и отрицательные значения в плотных множествах, в том точном смысле, в котором такие функции составляют остаточное множество банахова пространства $E$ .

Производная Помпею - Pompeiu derivative

Строительство Помпею

Характеристики

Рекомендации