Квазинормальная подгруппа - Quasinormal subgroup

В математика, в области теория групп, а квазинормальная подгруппа, или перестановочная подгруппа, это подгруппа из группа это ездит на работу (переставляет) с любой другой подгруппой относительно произведение подгрупп. Период, термин квазинормальная подгруппа был представлен Øystein Ore в 1937 г.

Говорят, что две подгруппы переставляют (или коммутируют), если любой элемент из первой подгруппы, умноженный на элемент второй подгруппы, может быть записан как элемент второй подгруппы, умноженный на элемент первой подгруппы. Это, ${ displaystyle H}$ и ${ displaystyle K}$ как подгруппы ${ displaystyle G}$ говорят, что ездят, если HK = KH, то есть любой элемент вида ${ displaystyle hk}$ с участием ${ displaystyle h in H}$ и ${ displaystyle k in K}$ можно записать в виде ${ displaystyle k'h '}$ где ${ displaystyle k ' in K}$ и ${ displaystyle h ' in H}$ .

Каждые нормальная подгруппа квазинормальна, потому что нормальная подгруппа коммутирует с каждым элементом группы. Обратное неверно. Например, любой продолжение циклического ${ displaystyle p}$ -группировать по другому циклическому ${ displaystyle p}$ -группа для одного и того же (нечетного) простого числа обладает тем свойством, что все его подгруппы квазинормальны. Однако не все его подгруппы должны быть нормальными.

Каждая квазинормальная подгруппа является модульная подгруппа, то есть модульный элемент в решетка подгрупп. Это следует из модульное свойство групп. Если все подгруппы квазинормальны, то группа называется Группа Ивасава - иногда также называют модульная группа,^[1] хотя этот последний термин имеет другие значения.

В любой группе каждая квазинормальная подгруппа восходящий.

А сопряженная перестановочная подгруппа тот, который коммутирует со всеми своими сопряженными подгруппами. Каждая квазинормальная подгруппа сопряжена перестановочна.

В конечных группах

Каждая квазинормальная подгруппа в конечная группа это субнормальная подгруппа. Это следует из несколько более сильного утверждения, что каждая сопряженная перестановочная подгруппа субнормальна, что, в свою очередь, следует из утверждения, что каждая максимальная сопряженная перестановочная подгруппа нормальна. (В доказательствах решающим образом используется конечность.)

Таким образом, подгруппа ЧАС конечной группы г перестановочен в г если и только если ЧАС является как модульным, так и субнормальным вг.^[1]^[2]

ПТ-группы

Перестановочность - это не переходное отношение в общем. Группы, в которых перестановочность транзитивна, называются PT-группами по аналогии с Т-группы в котором нормальность транзитивна.^[3]

Смотрите также

Центральный продукт

использованная литература

^ ^а ^б Адольфо Баллестер-Болинчес; Рамон Эстебан-Ромеро; Мохамед Асаад (2010). Произведения конечных групп. Вальтер де Грюйтер. п.24. ISBN 978-3-11-022061-2.
^ Шмидт, Роланд (1994), Подгрупповые решетки групп, Экспозиции по математике, 14, Вальтер де Грюйтер, стр. 201, ISBN 978-3-11-011213-9
^ Адольфо Баллестер-Болинчес; Рамон Эстебан-Ромеро; Мохамед Асаад (2010). Произведения конечных групп. Вальтер де Грюйтер. п.52. ISBN 978-3-11-022061-2.

Стюарт Э. Стоунхуэр, «Старые, недавние и новые результаты о квазинормальных подгруппах», Ирландская математика. Soc. Бюллетень 56 (2005), 125–133
Тувал Фогель, «Сопряженно-перестановочные подгруппы», Journal of Algebra 191, 235-239 (1997).

[Ballester-BolinchesEsteban-Romero2010-1] а ^б Адольфо Баллестер-Болинчес; Рамон Эстебан-Ромеро; Мохамед Асаад (2010). Произведения конечных групп. Вальтер де Грюйтер. п.24. ISBN 978-3-11-022061-2.

[2] Шмидт, Роланд (1994), Подгрупповые решетки групп, Экспозиции по математике, 14, Вальтер де Грюйтер, стр. 201, ISBN 978-3-11-011213-9

[Ballester-BolinchesEsteban-Romero2010p1-3] Адольфо Баллестер-Болинчес; Рамон Эстебан-Ромеро; Мохамед Асаад (2010). Произведения конечных групп. Вальтер де Грюйтер. п.52. ISBN 978-3-11-022061-2.

[1]

[2]

[3]