Категория стабильных модулей - Википедия - Stable module category

В теория представлений, то категория стабильного модуля это категория в котором "исключены" проекции.

Определение

Позволять р быть звенеть. Для двух модули M и N над р, определять ${ displaystyle { underline { mathrm {Hom}}} (M, N)}$ быть набором р-линейные карты из M к N по модулю отношения, что ж ~ грамм если ж − грамм факторов через проективный модуль. Категория стабильного модуля определяется установкой объекты быть р-модули, а морфизмы являются классы эквивалентности ${ displaystyle { underline { mathrm {Hom}}} (M, N)}$.

Учитывая модуль M, позволять п - проективный модуль с сюрприз ${ displaystyle p двоеточие P to M}$. Затем установите ${ Displaystyle Omega (М)}$ быть ядро из п. Предположим, нам дан морфизм ${ displaystyle f двоеточие от M до N}$ и сюрприз ${ displaystyle q двоеточие Q to N}$ куда Q проективно. Тогда можно поднять ж на карту ${ displaystyle P to Q}$ который отображает ${ Displaystyle Omega (М)}$ в ${ displaystyle Omega (N)}$. Это дает четко определенный функтор ${ displaystyle Omega}$ из категории стабильных модулей в себя.

Для определенных колец, таких как Алгебры Фробениуса, ${ displaystyle Omega}$ является эквивалентность категорий. В этом случае обратный ${ displaystyle Omega ^ {- 1}}$ можно определить следующим образом. Данный Mнайти инъективный модуль я с включением ${ displaystyle i двоеточие M to I}$. потом ${ Displaystyle Omega ^ {- 1} (М)}$ определяется как коядро из я. Особый интерес представляет случай, когда кольцо р это групповая алгебра.

Функтор Ω⁻¹ может быть даже определен на модульной категории общего кольца (без выделения проективов), как коядро конверт для инъекций. В этом случае не обязательно, чтобы функтор Ω⁻¹ фактически является обратным к Ω. Одним из важных свойств категории стабильных модулей является то, что она позволяет определять функтор Ω для общих колец. Когда р является идеально (или же M является конечно порожденный и р является полусовершенный ), то Ω (M) можно определить как ядро проективное покрытие, задающий функтор в категории модуля. Однако в общем случае проективные накрытия могут не существовать, и поэтому необходим переход к категории стабильных модулей.

Связи с когомологиями

Теперь мы предполагаем, что R = кг является групповой алгеброй для некоторых поле k и немного группа грамм. Можно показать, что существуют изоморфизмы

${ displaystyle { underline { mathrm {Hom}}} ( Omega ^ {n} (M), N) cong mathrm {Ext} _ {kG} ^ {n} (M, N) cong { underline { mathrm {Hom}}} (M, Omega ^ {- n} (N))}$

за каждый положительный целое число п. В групповые когомологии представительства M дан кем-то ${ displaystyle mathrm {H} ^ {n} (G; M) = mathrm {Ext} _ {kG} ^ {n} (k, M)}$ куда k имеет тривиальный грамм-действие, поэтому таким образом стабильная модульная категория дает естественную среду, в которой обитают групповые когомологии.

Кроме того, указанный выше изоморфизм предлагает определить группы когомологий для отрицательных значений п, и таким образом восстанавливается Когомологии Тейта.

Триангулированная структура

An точная последовательность

${ Displaystyle 0 к X к E к Y к 0}$

в обычной категории модулей определяет элемент ${ Displaystyle mathrm {Ext} _ {кг} ^ {1} (Y, X)}$, а значит, и элемент ${ displaystyle { underline { mathrm {Hom}}} (Y, Omega ^ {- 1} (X))}$, так что мы получаем последовательность

${ Displaystyle X к E к Y к Omega ^ {- 1} (X).}$

Принимая ${ displaystyle Omega ^ {- 1}}$ чтобы быть функтором трансляции, а такие последовательности, как выше, быть точными треугольниками, категория стабильного модуля становится триангулированная категория.

Смотрите также

• Стабильная теория гомотопии

Рекомендации

• Дж. Ф. Карлсон, Лиза Таунсли, Луис Валеро-Элизондо, Мученг Чжан, Кольца когомологий конечных групп, Springer-Verlag, 2003.