Стохастические процессы и краевые задачи - Википедия - Stochastic processes and boundary value problems

В математика, немного краевые задачи можно решить с помощью методов стохастический анализ. Возможно, самый знаменитый пример - Шизуо Какутани решение 1944 г. Задача Дирихле для Оператор Лапласа с помощью Броуновское движение. Однако оказывается, что для большого класса полуэллиптический второго порядка уравнения в частных производных связанную краевую задачу Дирихле можно решить с помощью Itō процесс который решает связанный стохастическое дифференциальное уравнение.

Введение: решение Какутани классической проблемы Дирихле

Позволять ${ displaystyle D}$ быть доменом ( открыто и подключенный набор ) в ${ textstyle mathbb {R} ^ {n}}$ . Позволять ${ displaystyle Delta}$ быть Оператор Лапласа, позволять ${ displaystyle g}$ быть ограниченная функция на граница ${ displaystyle partial D}$ , и рассмотрим проблему:

{ displaystyle { begin {cases} - Delta u (x) = 0, & x in D displaystyle { lim _ {y to x} u (y)} = g (x), & x в partial D end {case}}}

Можно показать, что если решение ${ displaystyle u}$ существует, тогда ${ Displaystyle и (х)}$ это ожидаемое значение из ${ displaystyle g (x)}$ в (случайной) первой точке выхода из ${ displaystyle D}$ для канонического Броуновское движение начинается с ${ displaystyle x}$ . См. Теорему 3 в Kakutani 1944, стр. 710.

Проблема Дирихле – Пуассона.

Позволять ${ displaystyle D}$ быть доменом в ${ textstyle mathbb {R} ^ {n}}$ и разреши ${ displaystyle L}$ - полуэллиптический дифференциальный оператор на ${ textstyle C ^ {2} ( mathbb {R} ^ {n}; mathbb {R})}$ формы:

{ displaystyle L = sum _ {i = 1} ^ {n} b_ {i} (x) { frac { partial} { partial x_ {i}}} + sum _ {i, j = 1 } ^ {n} a_ {ij} (x) { frac { partial ^ {2}} { partial x_ {i} , partial x_ {j}}}}

где коэффициенты ${ displaystyle b_ {i}}$ и ${ displaystyle a_ {ij}}$ находятся непрерывные функции и все собственные значения из матрица ${ Displaystyle альфа (х) = а_ {ij} (х)}$ неотрицательны. Позволять ${ textstyle f in C (D; mathbb {R})}$ и ${ textstyle г в C ( partial D; mathbb {R})}$ . Рассмотрим Проблема Пуассона:

{ Displaystyle { begin {case} -Lu (x) = f (x), & x in D displaystyle { lim _ {y to x} u (y)} = g (x), & x in partial D end {case}} quad { mbox {(P1)}}}

Идея стохастического метода решения этой задачи заключается в следующем. Во-первых, можно найти It распространение ${ displaystyle X}$ чей бесконечно малый генератор ${ displaystyle A}$ совпадает с ${ displaystyle L}$ на компактно поддерживаемый ${ displaystyle C ^ {2}}$ функции ${ displaystyle f: mathbb {R} ^ {n} rightarrow mathbb {R}}$ . Например, ${ displaystyle X}$ можно принять за решение стохастического дифференциального уравнения:

{ Displaystyle mathrm {d} X_ {t} = b (X_ {t}) , mathrm {d} t + sigma (X_ {t}) , mathrm {d} B_ {t}}

куда ${ displaystyle B}$ является п-мерное броуновское движение, ${ displaystyle b}$ имеет компоненты ${ displaystyle b_ {i}}$ как указано выше, а матричное поле ${ displaystyle sigma}$ выбирается так, чтобы:

{ displaystyle { frac {1} {2}} sigma (x) sigma (x) ^ { top} = a (x), quad forall x in mathbb {R} ^ {n} }

Для точки ${ Displaystyle х в mathbb {R} ^ {п}}$ , позволять ${ displaystyle mathbb {P} ^ {x}}$ обозначают закон ${ displaystyle X}$ с учетом исходных данных ${ displaystyle X_ {0} = x}$ , и разреши ${ displaystyle mathbb {E} ^ {x}}$ обозначают ожидание относительно ${ displaystyle mathbb {P} ^ {x}}$ . Позволять ${ displaystyle tau _ {D}}$ обозначают время первого выхода ${ displaystyle X}$ из ${ displaystyle D}$ .

В этих обозначениях возможное решение для (P1):

{ Displaystyle и (х) = mathbb {E} ^ {x} left [g { big (} X _ { tau _ {D}} { big)} cdot chi _ { { tau _ {D} <+ infty }} right] + mathbb {E} ^ {x} left [ int _ {0} ^ { tau _ {D}} f (X_ {t}) , mathrm {d} t right]}

при условии, что ${ displaystyle g}$ это ограниченная функция и что:

{ displaystyle mathbb {E} ^ {x} left [ int _ {0} ^ { tau _ {D}} { big |} f (X_ {t}) { big |} , mathrm {d} t right] <+ infty}

Оказывается, требуется еще одно условие:

{ displaystyle mathbb {P} ^ {x} { big (} tau _ {D} < infty { big)} = 1, quad forall x in D}

Для всех ${ displaystyle x}$ , процесс ${ displaystyle X}$ начинается с ${ displaystyle x}$ почти наверняка листья ${ displaystyle D}$ в конечное время. При этом предположении приведенное выше возможное решение сводится к:

{ displaystyle u (x) = mathbb {E} ^ {x} left [g { big (} X _ { tau _ {D}} { big)} right] + mathbb {E} ^ {x} left [ int _ {0} ^ { tau _ {D}} f (X_ {t}) , mathrm {d} t right]}

и решает (P1) в том смысле, что если ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ обозначает характеристический оператор для ${ displaystyle X}$ (что согласуется с ${ displaystyle A}$ на ${ displaystyle C ^ {2}}$ функции), затем:

{ displaystyle { begin {case} - { mathcal {A}} u (x) = f (x), & x in D displaystyle { lim _ {t uparrow tau _ {D}} u (X_ {t})} = g { big (} X _ { tau _ {D}} { big)}, & mathbb {P} ^ {x} { mbox {-as,}} ; forall x in D end {case}} quad { mbox {(P2)}}}

Более того, если ${ textstyle v in C ^ {2} (D; mathbb {R})}$ удовлетворяет (P2) и существует постоянная ${ displaystyle C}$ такое, что для всех ${ displaystyle x in D}$ :

{ displaystyle | v (x) | leq C left (1+ mathbb {E} ^ {x} left [ int _ {0} ^ { tau _ {D}} { big |} g (X_ {s}) { big |} , mathrm {d} s right] right)}

тогда ${ displaystyle v = u}$ .

Стохастические процессы и краевые задачи - Википедия - Stochastic processes and boundary value problems

Введение: решение Какутани классической проблемы Дирихле

Проблема Дирихле – Пуассона.

Рекомендации