Поперечный Меркатор: серия Redfearn - Википедия - Transverse Mercator: Redfearn series

Статья Поперечная проекция Меркатора ограничивается общими характеристиками проекции. В этой статье подробно описывается одна из (двух) реализаций, разработанных Луи Крюгером в 1912 году;^[1] который выражается в виде степенного ряда разницы долготы от центрального меридиана. Эти ряды были пересчитаны Ли в 1946 г.^[2] Redfearn в 1948 году,^[3] и Томасом в 1952 году.^[4]^[5] Их часто называют серией Redfearn или серией Thomas. Эта реализация имеет большое значение, поскольку она широко используется в Государственной системе координат США.^[5] в национальном (Великобритания,^[6] Ирландия^[7] и многие другие), а также международные^[8] картографические системы, включая Универсальная поперечная система координат Меркатора (UTM).^[9]^[10] Они также включены в преобразователь координат Geotrans, предоставленный Национальным агентством геопространственной разведки США.^[11] В паре с подходящим геодезическая база, эта серия обеспечивает высокую точность в зонах менее нескольких градусов с востока на запад.

Предварительные сведения I: датум и параметры эллипсоида

Серия должна использоваться с геодезическая база который определяет положение, ориентацию и форму Справочный эллипсоид. Несмотря на то, проекционные формулы зависят только от параметров формы эллипсоида полный набор параметров нулевых точек необходимо связать координаты проекции истинных позиций в трехмерном пространстве. Перечислены датумы и опорные эллипсоиды, связанные с конкретными реализациями формул Redfearn. ниже. Исчерпывающий список важных эллипсоидов приведен в статье о Фигура Земли.

При указании эллипсоидов обычно дают большая полуось (экваториальная ось), ${ displaystyle a}$ , вместе с обратное уплощение, ${ displaystyle 1 / f}$ , или малая полуось (полярная ось), ${ displaystyle b}$ , а иногда и то, и другое. В представленной ниже серии используется эксцентриситет, ${ displaystyle e}$ , вместо уплощения, ${ displaystyle f}$ . Кроме того, они используют параметры ${ displaystyle n}$ , называется третье сплющивание, и ${ displaystyle e '}$ , то второй эксцентриситет. Есть только два независимых параметра формы и между ними много взаимосвязей: в частности

{ displaystyle { begin {align} f & = { frac {ab} {a}}, qquad e ^ {2} = 2f-f ^ {2}, qquad e '^ {2} = { frac {e ^ {2}} {1-e ^ {2}}} b & = a (1-f) = a (1-e ^ {2}) ^ {1/2}, qquad n = { frac {ab} {a + b}}. end {align}}}

Формулы проекции также включают ${ displaystyle rho ( phi)}$ , то радиус кривизны меридиана (на широте ${ displaystyle phi}$ ), и ${ Displaystyle ню ( фи)}$ , радиус кривизны в основная вертикаль. (Первичная вертикаль - это вертикальная плоскость, ортогональная плоскости меридиана в точке на эллипсоиде). Радиусы кривизны определяются следующим образом:

{ displaystyle nu ( phi) = { frac {a} { sqrt {1-e ^ {2} sin ^ {2} phi}}}, qquad rho ( phi) = { frac { nu ^ {3} (1-e ^ {2})} {a ^ {2}}}.}

Кроме того, функции ${ Displaystyle бета ( фи)}$ и ${ displaystyle eta ( phi)}$ определяются как:

{ displaystyle beta ( phi) = { frac { nu ( phi)} { rho ( phi)}}, qquad eta ^ {2} = beta -1 = {e '^ { 2} cos ^ {2} ! Phi}.}

Для компактности принято вводить следующие сокращения:

{ Displaystyle s = sin phi, qquad c = cos phi, qquad t = tan phi.}

Предварительные мероприятия II: меридианное расстояние

Меридианное расстояние

Статья о Дуга меридиана описывает несколько методов вычисления ${ Displaystyle м ( фи)}$ , меридианное расстояние от экватора до точки на широте ${ displaystyle phi}$ : приведенные ниже выражения используются в 'действительный реализация поперечной проекции Меркатора OSGB.^[6] Ошибка усечения составляет менее 0,1 мм, поэтому серия определенно имеет точность в пределах 1 мм, что является расчетным допуском реализации OSGB.

{ Displaystyle { begin {выровнено} м ( phi) & = B_ {0} phi + B_ {2} sin 2 phi + B_ {4} sin 4 phi + B_ {6} sin 6 phi + cdots, end {выровнено}}}

где коэффициенты упорядочены ${ Displaystyle п ^ {3}}$ (порядок ${ displaystyle e ^ {6}}$ ) к

{ displaystyle { begin {align} B_ {0} & = b { bigg (} 1 + n + { frac {5} {4}} n ^ {2} + { frac {5} {4}} n ^ {3} { bigg)}, qquad B_ {4} = b { bigg (} { frac {15} {16}} n ^ {2} + { frac {15} {16}} n ^ {3} { bigg)}, B_ {2} & = - b { bigg (} { frac {3} {2}} n + { frac {3} {2}} n ^ { 2} + { frac {21} {16}} n ^ {3} { bigg)}, qquad B_ {6} = - b { bigg (} { frac {35} {48}} n ^ {3} { bigg)}. End {align}}}

Расстояние по меридиану от экватора до полюса составляет

{ Displaystyle m_ {p} = m ( pi / 2) = pi B_ {0} / 2 ,.}

Форма серии, указанная для UTM, представляет собой вариант вышеуказанного, демонстрирующий члены более высокого порядка с ошибкой усечения 0,03 мм.

Обратное меридиональное расстояние

Ни OSGB, ни реализации UTM не определяют обратный ряд для меридионального расстояния; вместо этого они используют итеративную схему. Для заданного меридионального расстояния ${ displaystyle M}$ первый набор ${ displaystyle phi _ {0} = M / B_ {0}}$ а затем повторите, используя

{ displaystyle { begin {align} phi _ {n} = phi _ {n-1} + { frac {Mm ( phi _ {n-1})} {B_ {0}}}, qquad n = 1,2,3, ldots end {выровнено}}}

до того как ${ Displaystyle | М-м ( фи _ {п-1}) | <0,01}$ мм.

Инверсия может будет производиться серией, представленной здесь для дальнейшего использования. Для данного меридионального расстояния ${ displaystyle M}$ определить исправление широты к

{ displaystyle mu = { frac { pi M} {2m_ {p}}}.}

Геодезическая широта, соответствующая ${ displaystyle M}$ это (Снайдер^[5] стр.17):

{ displaystyle { begin {align} phi & = mu + D_ {2} sin 2 mu + D_ {4} sin 4 mu + D_ {6} sin 6 mu + D_ {8} sin 8 mu + cdots, конец {выровнен}}}

куда ${ Displaystyle О (п ^ {4})}$ ,

{ displaystyle { begin {align} D_ {2} & = { frac {3} {2}} n - { frac {27} {32}} n ^ {3}, & D_ {4} & = { frac {21} {16}} n ^ {2} - { frac {55} {32}} n ^ {4}, [8pt] D_ {6} & = { frac {151} {96 }} n ^ {3}, & D_ {8} & = { frac {1097} {512}} n ^ {4}. end {align}}}

Краткое описание метода

Нормальный аспект проекции Меркатора сферы радиуса ${ displaystyle R}$ описывается уравнениями

{ Displaystyle х = р лямбда, qquad qquad y = R psi,}

куда ${ displaystyle psi}$ , то изометрическая широта, дан кем-то

{ displaystyle { begin {align} psi & = ln left [ tan left ({ frac { pi} {4}} + { frac { phi} {2}} right) справа]. end {выравнивается}}}

На эллипсоиде изометрическая широта принимает вид

{ displaystyle { begin {align} psi & = ln left [ tan left ({ frac { pi} {4}} + { frac { phi} {2}} right) right] - { frac {e} {2}} ln left [{ frac {1 + e sin phi} {1-e sin phi}} right]. end {выравнивается}} }

По построению проекция из геодезических координат ( ${ displaystyle phi}$ , ${ displaystyle lambda}$ ) к координатам ( ${ displaystyle psi}$ , ${ displaystyle lambda}$ ) конформно. Если координаты ( ${ displaystyle psi}$ , ${ displaystyle lambda}$ ) используются для определения точки ${ displaystyle zeta = psi + я лямбда}$ в комплексной плоскости, то любая аналитическая функция ${ displaystyle f ( zeta)}$ определит другую конформную проекцию. Метод Крюгера предполагает поиск конкретных ${ displaystyle f ( zeta)}$ который формирует равномерную шкалу вдоль центрального меридиана, ${ displaystyle lambda = 0}$ . Он достиг этого, исследуя приближение ряда Тейлора с координатами проекции, заданными следующим образом:

{ Displaystyle { begin {align} y + ix & = f ( zeta) = f ( psi + i lambda) & = f ( psi + i.0) + A_ {1} lambda + A_ {2} lambda ^ {2} + A_ {3} lambda ^ {3} + ldots, end {align}}}

где настоящая часть ${ displaystyle f ( psi + i.0)}$ должен быть пропорционален функции меридионального расстояния ${ Displaystyle м ( фи)}$ . (Комплексные) коэффициенты ${ displaystyle A_ {n}}$ зависят от производных от ${ displaystyle f ( zeta)}$ которые сводятся к производным от ${ Displaystyle м ( фи)}$ относительно ${ displaystyle psi}$ , (нет ${ displaystyle phi}$ ). Производные в принципе легко вычислить, но выражения становятся очень сложными на высоких порядках из-за сложной связи между ${ displaystyle psi}$ и ${ displaystyle phi}$ . Разделение реальной и мнимой частей дает серию для ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle y}$ а дальнейшие производные дают коэффициент масштабирования и коэффициент сходимости.

Подробно о сериале

В этом разделе представлена серия восьмого порядка, опубликованная Redfearn.^[3] (но с ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle y}$ поменяны местами, и разница долготы от центрального меридиана обозначена ${ displaystyle lambda}$ вместо ${ displaystyle omega}$ ). Эквивалентные серии восьмого порядка с разными обозначениями можно найти у Снайдера.^[5] (стр. 60–64) и на многих веб-сайтах, например, на сайте Ordnance Survey of Great Britain.^[6]

Прямые ряды построены на основе разницы долготы от центрального меридиана, выраженной в радианах: обратные ряды построены на основе отношения ${ Displaystyle х / а}$ . Проекция обычно ограничивается узкими зонами (по долготе), так что оба параметра расширения обычно меньше примерно 0,1, что гарантирует быстрое конвергенция. Например в каждом UTM зоны эти параметры расширения менее 0,053 и для британской национальной сетки (NGGB ) они меньше 0,09. Все прямые серии давая ${ displaystyle x}$ , ${ displaystyle y}$ , шкала ${ displaystyle k}$ , конвергенция ${ displaystyle gamma}$ являются функциями как широты, так и долготы, а также параметров эллипсоида: все обратные ряды дают ${ displaystyle phi}$ , ${ displaystyle lambda}$ , ${ displaystyle k}$ , ${ displaystyle gamma}$ являются функциями обоих ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle y}$ и параметры эллипсоида.

Прямая серия

В следующей серии ${ displaystyle lambda}$ это разница долготы произвольной точки и долготы выбранного центрального меридиана: ${ displaystyle lambda}$ выражается в радианах и положительно к востоку от центрального меридиана. Коэффициенты W являются функциями ${ displaystyle phi}$ перечисленные ниже. Сериал для ${ displaystyle y}$ уменьшается до масштабированного меридионального расстояния, когда ${ displaystyle lambda = 0}$ .

{ displaystyle { begin {align} x ( lambda, phi) & = k_ {0} nu left [ lambda c + { frac { lambda ^ {3} c ^ {3} W_ {3} } {3!}} + { Frac { lambda ^ {5} c ^ {5} W_ {5}} {5!}} + { Frac { lambda ^ {7} c ^ {7} W_ { 7}} {7!}} Right], [1ex] y ( lambda, phi) & = k_ {0} left [m ( phi) + { frac { lambda ^ {2} nu c ^ {2} t} {2}} + { frac { lambda ^ {4} nu c ^ {4} tW_ {4}} {4!}} + { frac { lambda ^ { 6} nu c ^ {6} tW_ {6}} {6!}} + { Frac { lambda ^ {8} nu c ^ {8} tW_ {8}} {8!}} Right] , end {align}}}

Обратный ряд

Обратный ряд включает следующую конструкцию: широта ступени. Учитывая точку ${ Displaystyle (х, у)}$ по проекции точка ног определяется как точка на центральном меридиане с координатами ${ displaystyle (0, y)}$ . Поскольку масштаб на центральном меридиане равен ${ displaystyle k_ {0}}$ меридиональное расстояние от экватора до подножия равно ${ displaystyle m = y / k_ {0}}$ . Соответствующая широта ступени, ${ displaystyle phi _ {1}}$ , вычисляется путем итерации или серии обратных меридиональных расстояний, как описано выше.

{ displaystyle { begin {align} mu & = { frac { pi y} {2m_ {p} k_ {0}}}, phi _ {1} & = mu + D_ {2} sin 2 mu + D_ {4} sin 4 mu + D_ {6} sin 6 mu + D_ {8} sin 8 mu + cdots, конец {выровнено}}}

Обозначая функции, оцениваемые на ${ displaystyle phi _ {1}}$ индексом «1» обратный ряд равен:

{ displaystyle { begin {align} lambda (x, y) & = { frac {x} {c_ {1} (k_ {0} nu _ {1})}} - { frac {x ^ {3} V_ {3}} {3! C_ {1} (k_ {0} nu _ {1}) ^ {3}}} - { frac {x ^ {5} V_ {5}} {5 ! c_ {1} (k_ {0} nu _ {1}) ^ {5}}} - { frac {x ^ {7} V_ {7}} {7! c_ {1} (k_ {0} nu _ {1}) ^ {7}}}, phi (x, y) & = phi _ {1} - { frac {x ^ {2} beta _ {1} t_ {1 }} {2 (k_ {0} nu _ {1}) ^ {2}}} - { frac {x ^ {4} beta _ {1} t_ {1} U_ {4}} {4! (k_ {0} nu _ {1}) ^ {4}}} - { frac {x ^ {6} beta _ {1} t_ {1} U_ {6}} {6! (k_ {0 } nu _ {1}) ^ {6}}} - { frac {x ^ {8} beta _ {1} t_ {1} U_ {8}} {8! (k_ {0} nu _ {1}) ^ {8}}}. End {align}}}

Шкала баллов и конвергенция

Балльная шкала ${ displaystyle k}$ не зависит от направления конформного преобразования. Его можно рассчитать в географических координатах или координатах проекции. Обратите внимание, что серия для ${ displaystyle k}$ сократить до ${ displaystyle k_ {0}}$ когда либо ${ displaystyle lambda = 0}$ или же ${ displaystyle x = 0}$ . Конвергенция ${ displaystyle gamma}$ также может быть рассчитано (в радианах) с точки зрения географических координат или координат проекции:

{ Displaystyle { begin {выровнено} к ( лямбда, фи) & = k_ {0} left [1 + { frac { lambda ^ {2} c ^ {2} H_ {2}} {2 }} + { frac { lambda ^ {4} c ^ {4} H_ {4}} {24}} + { frac { lambda ^ {6} c ^ {6} H_ {6}} {720 }} right], gamma ( lambda, phi) & = lambda s + { frac { lambda ^ {3} c ^ {3} tH_ {3}} {3}} + { frac { lambda ^ {5} c ^ {5} tH_ {5}} {15}} + { frac { lambda ^ {7} c ^ {7} tH_ {7}} {315}}, k (x, y) & = k_ {0} left [1 + { frac {x ^ {2} K_ {2}} {2 (k_ {0} nu _ {1}) ^ {2}}} + { frac {x ^ {4} K_ {4}} {24 (k_ {0} nu _ {1}) ^ {4}}} + { frac {x ^ {6} K_ {6}} {720 (k_ {0} nu _ {1}) ^ {6}}} right] гамма (x, y) & = { frac {xt_ {1}} {k_ {0} nu _ {1}}} + { frac {x ^ {3} t_ {1} K_ {3}} {3 (k_ {0} nu _ {1}) ^ {3}}} + { frac { x ^ {5} t_ {1} K_ {5}} {15 (k_ {0} nu _ {1}) ^ {5}}} + { frac {x ^ {7} t_ {1} K_ { 7}} {315 (k_ {0} nu _ {1}) ^ {7}}}. End {align}}}

Коэффициенты для всех серий

{ displaystyle { begin {align} W_ {3} & = beta -t ^ {2} W_ {5} & = 4 beta ^ {3} (1-6t ^ {2}) + beta ^ {2} (1 + 8t ^ {2}) - 2 beta t ^ {2} + t ^ {4} W_ {7} & = 61-479t ^ {2} + 179t ^ {4} - t ^ {6} + O (e ^ {2}) W_ {4} & = 4 beta ^ {2} + beta -t ^ {2} W_ {6} & = 8 beta ^ {4} (11 {-} 24t ^ {2}) - 28 beta ^ {3} (1 {-} 6t ^ {2}) + beta ^ {2} (1 {-} 32t ^ {2} ) -2 beta t ^ {2} + t ^ {4} W_ {8} & = 1385-3111t ^ {2} + 543t ^ {4} -t ^ {6} + O (e ^ {2 }) V_ {3} & = beta _ {1} + 2t_ {1} ^ {2} V_ {5} & = 4 beta _ {1} ^ {3} (1-6t_ {1 } ^ {2}) - beta _ {1} ^ {2} (9-68t_ {1} ^ {2}) - 72 beta _ {1} t_ {1} ^ {2} -24t_ {1} ^ {4} V_ {7} & = 61 + 662t_ {1} ^ {2} + 1320t_ {1} ^ {4} + 720t_ {1} ^ {6} U_ {4} & = 4 бета _ {1} ^ {2} -9 beta _ {1} (1-t_ {1} ^ {2}) - 12t_ {1} ^ {2} U_ {6} & = 8 beta _ {1} ^ {4} (11-24t_ {1} ^ {2}) - 12 beta _ {1} ^ {3} (21-71t_ {1} ^ {2}) + 15 beta _ {1 } ^ {2} (15-98t_ {1} ^ {2} + 15t_ {1} ^ {4}) & qquad qquad +180 beta _ {1} (5t_ {1} ^ {2} -3t_ {1} ^ {4}) + 360t_ {1} ^ {4} U_ {8} & = - 1385-3633t_ {1} ^ {2} -4095t_ {1} ^ {4} -1575t_ { 1} ^ {6} H_ {2} & = beta H_ {4} & = 4 beta ^ {3} (1-6t ^ {2}) + beta ^ {2} (1+ 24t ^ {2}) - 4 beta t ^ {2} H_ {6} & = 61-148t ^ {2} + 16t ^ {4} H_ {3} & = 2 beta ^ {2 } - beta H_ {5} & = beta ^ {4} (11-24t ^ {2}) - b eta ^ {3} (11-36t ^ {2}) + beta ^ {2} (2-14t ^ {2}) + beta t ^ {2} H_ {7} & = 17-26t ^ {2} + 2t ^ {4} K_ {2} & = beta _ {1} K_ {4} & = 4 beta _ {1} ^ {3} (1-6t_ {1} ^ {2}) - 3 beta _ {1} ^ {2} (1-16t_ {1} ^ {2}) - 24 beta _ {1} t_ {1} ^ {2} K_ {6} & = 1 K_ {3} & = 2 beta _ {1} ^ {2} -3 beta _ {1} -t_ {1} ^ {2} K_ {5} & = beta _ {1} ^ {4} (11-24t_ {1} ^ {2}) - 3 beta _ {1} ^ {3} (8-23t_ {1} ^ {2}) + 5 beta _ {1 } ^ {2} (3-14t_ {1} ^ {2}) + 30 beta _ {1} t_ {1} ^ {2} + 3t_ {1} ^ {4} K_ {7} & = -17-77t_ {1} ^ {2} -105t_ {1} ^ {4} -45t_ {1} ^ {6} end {align}}}

Точность серии

Точное решение Ли-Томпсона,^[12] реализовано Карни (2011),^[13] имеет большое значение для оценки точности усеченного ряда Redfearn. Это подтверждает, что ошибка усечения серии Redfearn (восьмого порядка) составляет менее 1 мм до разницы долготы в 3 градуса, что соответствует расстоянию 334 км от центрального меридиана на экваторе и всего лишь 35 км на северной стороне. предел зоны UTM.

Серии Redfearn становятся намного хуже по мере расширения зоны. Карни приводит в качестве поучительного примера Гренландию. Длинный тонкий массив суши сосредоточен на 42W и в самом широком месте находится не более чем в 750 км от этого меридиана, в то время как размах по долготе достигает почти 50 градусов. Серия Redfearn достигает максимальной ошибки 1километр.

Реализации

Приведенные ниже реализации являются примерами использования серии Redfearn. Определяющие документы в разных странах немного различаются по обозначениям и, что более важно, в пренебрежении некоторыми небольшими терминами. Анализ малых значений зависит от диапазонов широты и долготы в различных сетках. Существуют также небольшие различия в формулах, используемых для определения меридионального расстояния: иногда к формуле, указанной выше, добавляют один дополнительный член, но такой член меньше 0,1 мм.

OSGB

Реализация поперечной проекции Меркатора в Великобритании полностью описана в OSGB документ Руководство по системам координат в Великобритании, Приложения A.1, A.2 и C.^[6]

датум: OSGB36

эллипсоид: Эйри 1830

большая ось: 6 377 563,396

малая ось: 6 356 256,909

долгота центрального меридиана: 2 ° W

масштабный коэффициент центрального меридиана: 0,9996012717

исходная точка проекции: 2 ° з.д. и 0 ° с.ш.

истинное начало координатной сетки: 2 ° з.д. и 49 ° с.ш.

ложное восточное положение истинного начала координат сетки, E0 (метры): 400000

ложное северное положение истинного начала координат сетки, N0 (метры): -100000

E = E0 + x = 400000 + x

N = N0 + y -k0 * m (49 °) = y - 5527063

Протяженность сети составляет 300 км к востоку и 400 км к западу от центрального меридиана и 1300 км к северу от ложный происхождение, (OSGB^[6] Раздел 7.1), но за исключением частей Северной Ирландии, Ирландии и Франции. А ссылка на сетку обозначается парой (E, N), где E находится в диапазоне от чуть больше нуля до 800000 м, а N - от нуля до 1300000 м. Чтобы уменьшить количество фигур, необходимых для привязки к сетке, сетка разделена на квадраты по 100 км, каждый из которых имеет двухбуквенный код. Позиции национальной сети могут быть заданы с помощью этого кода, за которым следуют восточное и северное направления в диапазоне 0 и 99999 м.

Формулы проекции немного отличаются от формул Redfearn, представленных здесь. Они были упрощены за счет игнорирования большинства членов седьмого и восьмого порядка в ${ displaystyle lambda}$ или же ${ Displaystyle х / а}$ : единственное исключение - член седьмого порядка в серии для ${ displaystyle lambda}$ с точки зрения ${ Displaystyle х / а}$ . Это упрощение основано на рассмотрении условий Redfearn по действительный протяженность сетки. Единственными другими отличиями являются (а) поглощение центрального масштабного фактора в радиусы кривизны и меридианное расстояние, б) замена параметра ${ displaystyle beta}$ по параметру ${ displaystyle eta}$ (определенный над ).

Руководство OSGB^[6] включает обсуждение Преобразования Гельмерта которые необходимы для ссылки геодезический координаты Эйри 1830 эллипсоид и на WGS84.

UTM

Статья о Универсальная поперечная проекция Меркатора дает общий обзор, но полная спецификация определена в Техническом руководстве Агентства по картированию обороны США TM8358.1^[9] и TM8358.2.^[10] В этом разделе содержится подробная информация о зона 30 в качестве еще одного примера формул Redfearn (обычно называемых формулами Томаса в США).

эллипсоид: International 1924 (также известный как Hayford 1909)

большая ось: 6 378 388 000

малая ось: 6 356 911.946

долгота центрального меридиана: 3 ° з.д.

исходная точка проекции: 3 ° з.д. и 0 ° с.ш.

масштабный коэффициент центрального меридиана: 0,9996

истинное начало координатной сетки: 3 ° з.д. и 0 ° с.ш.

ложное восточное положение от истинного начала координатной сетки, E0: 500,000

E = E0 + x = 500000 + x

Северное полушарие ложное северное положение истинного начала координат сетки N0: 0

северное полушарие: N = N0 + y = y

Южное полушарие ложное северное положение истинного начала координатной сетки N0: 10,000,000

Южное полушарие: N = N0 + y = 10,000,000 + y

Ряд, принятый для меридионального расстояния, включает члены пятого порядка по ${ displaystyle n}$ но в руководстве указано, что они менее 0,03 мм (TM8358.2^[10] Глава 2). В формулах проекции используются, ${ displaystyle e '}$ , второй эксцентричность (определяется над ) вместо ${ displaystyle n}$ . Схемы привязки к сетке определены в статье. Универсальная поперечная система координат Меркатора. Заявленная точность проекций UTM составляет 10 см в координатной сетке и 0,001 угловой секунды для геодезических координат.

Ирландия

Поперечная проекция Меркатора в Ирландии и Северной Ирландии (международная реализация, охватывающая одну страну и часть другой) в настоящее время реализуется двумя способами:

Ирландская сеточная система отсчета

дата: Ирландия, 1965 г.

эллипсоид: Эйри 1830 модифицированный

большая ось: 6 377 340,189

малая ось: 6 356 034,447

масштабный коэффициент центрального меридиана: 1.000035

истинное происхождение: 8 ° з.д. и 53,5 ° с.ш.

ложное восточное положение от истинного начала координатной сетки, E0: 200,000

ложное северное положение истинного начала координатной сетки, N0: 250,000

Ирландская сетка использует формулы проекции OSGB.

Ирландский поперечный Меркатор

дата: Ирландия, 1965 г.

эллипсоид: GRS80

большая ось: 6 378 137

малая ось: 6 356 752.314140

масштабный коэффициент центрального меридиана: 0,999820

истинное начало: 8 ° з.д. и 53,5 ° с.ш.

ложное восточное положение от истинного начала координатной сетки, E0: 600,000

ложное северное положение истинного начала координатной сетки, N0: 750,000

Это интересный пример перехода между использованием традиционного эллипсоида и современного глобального эллипсоида. Принятие радикально разных ложных источников помогает избежать путаницы между двумя системами.