Арифметика абелевых многообразий - Arithmetic of abelian varieties

эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью от добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найдите источники: «Арифметика абелевых многообразий»  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Октябрь 2013) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В математика, то арифметика абелевых многообразий это исследование теория чисел из абелева разновидность, или семейство абелевых разновидностей. Это восходит к исследованиям Пьер де Ферма на том, что теперь признано эллиптические кривые; и стала очень важной областью арифметическая геометрия как с точки зрения результатов, так и предположений. Большинство из них можно поставить перед абелевой разновидностью. А через числовое поле K; или в более общем плане (для глобальные поля или более общие конечно порожденные кольца или поля).

Целочисленные точки на абелевых многообразиях

Здесь есть некоторая напряженность между концепциями: целая точка принадлежит в некотором смысле к аффинная геометрия, в то время как абелева разновидность по сути определен в проективная геометрия. Основные результаты, такие как Теорема Зигеля о целых точках, исходят из теории диофантово приближение.

Рациональные точки зрения на абелевы многообразия

Основной результат, Теорема Морделла – Вейля. в Диофантова геометрия, Говорит, что А(K) группа точек на А над K, это конечно порожденная абелева группа. Много информации о его возможном торсионные подгруппы известно, по крайней мере, когда А - эллиптическая кривая. Вопрос о ранг считается связанным с L-функции (см. ниже).

В торсор теория здесь приводит к Группа Сельмера и Группа Тейт-Шафаревич причем последнее (предположительно конечное) трудно изучать.

Высоты

Теория высоты играет заметную роль в арифметике абелевых многообразий. Например, канонический Высота Нерона – Тейта это квадратичная форма с замечательными свойствами, которые появляются в утверждении Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера.

Мод уменьшения п

Редукция абелевой разновидности А по модулю а главный идеал of (целые числа) K - скажем, простое число п - получить абелеву разновидность А_п через конечное поле, возможно для почти все п. «Плохие» простые числа, для которых уменьшение вырождается приобретая особые точки, как известно, содержат очень интересную информацию. Как это часто бывает в теории чисел, «плохие» простые числа играют в теории довольно активную роль.

Здесь уточненная теория (по сути) правый смежный к уменьшению мода п - в Модель Нерона - не всегда можно избежать. В случае эллиптической кривой существует алгоритм Джон Тейт описывая это.

L-функции

Для абелевых разновидностей, таких как A_п, есть определение локальная дзета-функция имеется в наличии. Чтобы получить L-функцию для самого A, нужно выбрать подходящий Произведение Эйлера таких локальных функций; чтобы понять конечное число множителей для «плохих» простых чисел, нужно обратиться к Модуль Тейт A, которая (двойственна) этальные когомологии группа H¹(A), а Группа Галуа действие на нем. Таким образом получается респектабельное определение L-функция Хассе – Вейля для A. В целом его свойства, такие как функциональное уравнение, по-прежнему предположительны - Гипотеза Таниямы – Шимуры (что было доказано в 2001 году) было просто частным случаем, так что это неудивительно.

Именно в терминах этой L-функции гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера ставится. Это лишь один особенно интересный аспект общей теории значений L-функций L (s) при целых значениях s, и есть много эмпирических данных, подтверждающих это.

Комплексное умножение

Со времен Карл Фридрих Гаусс (кто знал о функция лемнискаты case) особая роль этих абелевых многообразий была известна ${ displaystyle A}$ с дополнительными автоморфизмами и более общими эндоморфизмами. Что касается кольца ${ Displaystyle { rm {Конец}} (А)}$, есть определение абелева разновидность CM-типа это выделяет самый богатый класс. Они особенные по своей арифметике. Это видно в их L-функциях в довольно благоприятных условиях - гармонический анализ требуется все Понтрягинская двойственность тип, а не более общие автоморфные представления. Это отражает хорошее понимание их модулей Тейт как Модули Галуа. Это также делает их Сильнее рассматривать с точки зрения гипотезы алгебраическая геометрия (Гипотеза Ходжа и Гипотеза Тейта ). В этих задачах особая ситуация более требовательна, чем общая.

В случае эллиптических кривых Kronecker Jugendtraum была программа Леопольд Кронекер предложено использовать эллиптические кривые CM-типа для теория поля классов явно для мнимые квадратичные поля - таким образом, чтобы корни единства позволяют сделать это для поля рациональных чисел. Это обобщает, но в некотором смысле с потерей явной информации (что типично для несколько сложных переменных ).

Гипотеза Манина – Мамфорда

Гипотеза Манина – Мамфорда о Юрий Манин и Дэвид Мамфорд, доказано Мишель Рейно,^[1][2] заявляет, что кривая C в его Якобиева многообразие J может содержать только конечное число точек конечного порядка (a точка кручения ) в J, если только C = J. Существуют и другие более общие версии, такие как Гипотеза Богомолова что обобщает утверждение на точки не кручения.

использованная литература