Алгебра Бозе – Меснера - Bose–Mesner algebra
В математика, а Алгебра Бозе – Меснера это специальный набор матрицы которые возникают из комбинаторной структуры, известной как схема ассоциации вместе с обычным набором правил для комбинирования (формирования продуктов) этих матриц, так что они образуют ассоциативная алгебра, или, точнее, унитарная коммутативная алгебра. Среди этих правил:
- результат продукта также входит в набор матриц,
- в наборе есть единичная матрица, и
- принимать продукты коммутативный.
Алгебры Бозе – Меснера имеют приложения в физика к спиновые модели, И в статистика к дизайн экспериментов. Они названы в честь Р. К. Бозе и Дейл Марш Меснер.[1]
Определение
Позволять Икс быть набором v элементы. Рассмотрим разбиение 2-элементных подмножеств Икс в п непустые подмножества, р1, ..., рп такой, что:
- учитывая , количество такой, что зависит только от i (а не от Икс). Это число будем обозначать vя, и
- данный с , количество такой, что и зависит только от я,j и k (а не на Икс и у). Это число будет обозначаться .
Эта структура улучшается за счет добавления всех пар повторяющихся элементов Икс и собирая их в подмножество р0. Это улучшение позволяет параметрам я, j, и k принять нулевое значение и позволить некоторым из Икс,у или же z быть равным.
Набор с такой расширенной перегородкой называется схема ассоциации.[2] Схему ассоциации можно рассматривать как разбиение ребер полный график (с набором вершин Икс) на n классов, часто называемых цветовыми классами. В этом представлении в каждой вершине есть петля, и все петли имеют одинаковый 0-й цвет.
Схема ассоциации также может быть представлена алгебраически. Рассмотрим матрицы Dя определяется:
Позволять быть векторное пространство состоящий из всех матрицы , с сложный.[3][4]
Определение схема ассоциации равносильно утверждению, что находятся v × v (0,1)-матрицы которые удовлетворяют
- симметрично,
- (матрица всех единиц),
(Икс,у) -й элемент левой части числа 4. - это количество двух цветных путей длиной два, соединяющих Икс и у (используя "цвета" я и j) на графике. Обратите внимание, что строки и столбцы содержать 1 с:
Начиная с 1., эти матрицы находятся симметричный. Начиная с 2., находятся линейно независимый, а размер является . С 4., замкнуто относительно умножения, а умножение всегда ассоциативно. Этот ассоциативный коммутативная алгебра называется Алгебра Бозе – Меснера из схема ассоциации. Поскольку матрицы в симметричны и коммутируют друг с другом, их можно одновременно диагонализовать. Это означает, что есть матрица так что каждому Существует диагональная матрица с . Это означает, что полупроста и имеет уникальную основу из примитивных идемпотентов . Это комплексные n × n матрицы удовлетворение
В Алгебра Бозе – Меснера имеет две выделенные основы: основа, состоящая из матрицы смежности , а базис из неприводимых идемпотентные матрицы . По определению существуют вполне определенные сложные числа такой, что
и
P-числа , а q-числа , играют важную роль в теории.[5] Они удовлетворяют четко определенным соотношениям ортогональности. P-числа - это собственные значения из матрица смежности .
Теорема
В собственные значения из и , удовлетворяют условиям ортогональности:
Также
В матрица обозначения, это
куда
Доказательство теоремы
В собственные значения из находятся с кратностями . Отсюда следует, что
что доказывает уравнение и уравнение ,
что дает уравнения , и .
Есть аналогия между расширениями схемы ассоциации и расширения из конечные поля. Нас больше всего интересуют случаи, когда расширенные схемы определены на -й Декартова степень набора на котором базовый схема ассоциации определено. Первый схема ассоциации определено на называется -й Сила Кронекера из . Затем расширение определяется в том же наборе собирая классы . В Сила Кронекера соответствует кольцо многочленов впервые определено на поле , а схема расширения соответствует поле расширения получено как частное. Примером такой расширенной схемы является Схема Хэмминга.
Схемы ассоциации могут быть объединены, но их объединение приводит к несимметричным схемы ассоциации, тогда как все обычные коды находятся подгруппы в симметричном Абелевы схемы.[6][7][8]
Смотрите также
Эта статья включает в себя список общих Рекомендации, но он остается в основном непроверенным, потому что ему не хватает соответствующих встроенные цитаты.Сентябрь 2010 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) ( |
Примечания
- ^ Бозе и Меснер (1959)
- ^ Кэмерон и ван Линт 1991, стр.197–198
- ^ Камион 1998
- ^ Дельсарта и Левенштейн 1998
- ^ Камион 1998
- ^ Дельсарта и Левенштейн 1998
- ^ Камион 1998
- ^ МакУильямс и Слоан 1978
Рекомендации
- Бейли, Розмари А. (2004), Схемы ассоциации: Спланированные эксперименты, алгебра и комбинаторика., Кембриджские исследования по высшей математике, 84, Cambridge University Press, стр. 387, г. ISBN 978-0-521-82446-0, МИСТЕР 2047311CS1 maint: ref = harv (связь)
- Баннаи, Эйити; Ито, Тацуро (1984), Алгебраическая комбинаторика I: схемы ассоциаций, Менло-Парк, Калифорния: The Benjamin / Cummings Publishing Co., Inc., стр. Xxiv + 425, ISBN 0-8053-0490-8, МИСТЕР 0882540
- Баннаи, Эцуко (2001), "Алгебры Бозе – Меснера, связанные с четырехвесовыми спиновыми моделями", Графы и комбинаторика, 17 (4): 589–598, Дои:10.1007 / PL00007251
- Бозе, Р.; Меснер, Д. М. (1959), «О линейных ассоциативных алгебрах, соответствующих схемам ассоциации частично сбалансированных планов», Анналы математической статистики, 30 (1): 21–38, Дои:10.1214 / aoms / 1177706356, JSTOR 2237117, МИСТЕР 0102157
- Cameron, P.J .; ван Линт, Дж. Х. (1991), Конструкции, графики, коды и их ссылки, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-42385-6
- Камион, П. (1998), «Коды и схемы ассоциации: основные свойства схем ассоциации, относящиеся к кодированию», в Плесс, В.С.; Хаффман, У. К. (ред.), Справочник по теории кодирования, Нидерланды: Elsevier
- Delsarte, P .; Левенштейн, В.И. (1998), "Схемы ассоциации и теория кодирования", IEEE Transactions по теории информации, 44 (6): 2477–2504, Дои:10.1109/18.720545
- MacWilliams, F.J .; Слоан, Н. Дж. А. (1978), Теория кодов с исправлением ошибок, Нью-Йорк: Эльзевир
- Номура, К. (1997), "Алгебра, связанная со спиновой моделью", Журнал алгебраической комбинаторики, 6 (1): 53–58, Дои:10.1023 / А: 1008644201287