Алгебра Бозе – Меснера - Bose–Mesner algebra

В математика, а Алгебра Бозе – Меснера это специальный набор матрицы которые возникают из комбинаторной структуры, известной как схема ассоциации вместе с обычным набором правил для комбинирования (формирования продуктов) этих матриц, так что они образуют ассоциативная алгебра, или, точнее, унитарная коммутативная алгебра. Среди этих правил:

  • результат продукта также входит в набор матриц,
  • в наборе есть единичная матрица, и
  • принимать продукты коммутативный.

Алгебры Бозе – Меснера имеют приложения в физика к спиновые модели, И в статистика к дизайн экспериментов. Они названы в честь Р. К. Бозе и Дейл Марш Меснер.[1]

Определение

Позволять Икс быть набором v элементы. Рассмотрим разбиение 2-элементных подмножеств Икс в п непустые подмножества, р1, ..., рп такой, что:

  • учитывая , количество такой, что зависит только от i (а не от Икс). Это число будем обозначать vя, и
  • данный с , количество такой, что и зависит только от я,j и k (а не на Икс и у). Это число будет обозначаться .

Эта структура улучшается за счет добавления всех пар повторяющихся элементов Икс и собирая их в подмножество р0. Это улучшение позволяет параметрам я, j, и k принять нулевое значение и позволить некоторым из Икс,у или же z быть равным.

Набор с такой расширенной перегородкой называется схема ассоциации.[2] Схему ассоциации можно рассматривать как разбиение ребер полный график (с набором вершин Икс) на n классов, часто называемых цветовыми классами. В этом представлении в каждой вершине есть петля, и все петли имеют одинаковый 0-й цвет.

Схема ассоциации также может быть представлена ​​алгебраически. Рассмотрим матрицы Dя определяется:

Позволять быть векторное пространство состоящий из всех матрицы , с сложный.[3][4]

Определение схема ассоциации равносильно утверждению, что находятся v × v (0,1)-матрицы которые удовлетворяют

  1. симметрично,
  2. (матрица всех единиц),

(Икс,у) -й элемент левой части числа 4. - это количество двух цветных путей длиной два, соединяющих Икс и у (используя "цвета" я и j) на графике. Обратите внимание, что строки и столбцы содержать 1 с:

Начиная с 1., эти матрицы находятся симметричный. Начиная с 2., находятся линейно независимый, а размер является . С 4., замкнуто относительно умножения, а умножение всегда ассоциативно. Этот ассоциативный коммутативная алгебра называется Алгебра Бозе – Меснера из схема ассоциации. Поскольку матрицы в симметричны и коммутируют друг с другом, их можно одновременно диагонализовать. Это означает, что есть матрица так что каждому Существует диагональная матрица с . Это означает, что полупроста и имеет уникальную основу из примитивных идемпотентов . Это комплексные n × n матрицы удовлетворение

В Алгебра Бозе – Меснера имеет две выделенные основы: основа, состоящая из матрицы смежности , а базис из неприводимых идемпотентные матрицы . По определению существуют вполне определенные сложные числа такой, что

и

P-числа , а q-числа , играют важную роль в теории.[5] Они удовлетворяют четко определенным соотношениям ортогональности. P-числа - это собственные значения из матрица смежности .

Теорема

В собственные значения из и , удовлетворяют условиям ортогональности:

Также

В матрица обозначения, это

куда

Доказательство теоремы

В собственные значения из находятся с кратностями . Отсюда следует, что

что доказывает уравнение и уравнение ,

что дает уравнения , и .

Есть аналогия между расширениями схемы ассоциации и расширения из конечные поля. Нас больше всего интересуют случаи, когда расширенные схемы определены на Декартова степень набора на котором базовый схема ассоциации определено. Первый схема ассоциации определено на называется Сила Кронекера из . Затем расширение определяется в том же наборе собирая классы . В Сила Кронекера соответствует кольцо многочленов впервые определено на поле , а схема расширения соответствует поле расширения получено как частное. Примером такой расширенной схемы является Схема Хэмминга.

Схемы ассоциации могут быть объединены, но их объединение приводит к несимметричным схемы ассоциации, тогда как все обычные коды находятся подгруппы в симметричном Абелевы схемы.[6][7][8]

Смотрите также

Примечания

Рекомендации

  • Бейли, Розмари А. (2004), Схемы ассоциации: Спланированные эксперименты, алгебра и комбинаторика., Кембриджские исследования по высшей математике, 84, Cambridge University Press, стр. 387, г. ISBN  978-0-521-82446-0, МИСТЕР  2047311CS1 maint: ref = harv (связь)
  • Баннаи, Эйити; Ито, Тацуро (1984), Алгебраическая комбинаторика I: схемы ассоциаций, Менло-Парк, Калифорния: The Benjamin / Cummings Publishing Co., Inc., стр. Xxiv + 425, ISBN  0-8053-0490-8, МИСТЕР  0882540
  • Баннаи, Эцуко (2001), "Алгебры Бозе – Меснера, связанные с четырехвесовыми спиновыми моделями", Графы и комбинаторика, 17 (4): 589–598, Дои:10.1007 / PL00007251
  • Бозе, Р.; Меснер, Д. М. (1959), «О линейных ассоциативных алгебрах, соответствующих схемам ассоциации частично сбалансированных планов», Анналы математической статистики, 30 (1): 21–38, Дои:10.1214 / aoms / 1177706356, JSTOR  2237117, МИСТЕР  0102157
  • Cameron, P.J .; ван Линт, Дж. Х. (1991), Конструкции, графики, коды и их ссылки, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-42385-6
  • Камион, П. (1998), «Коды и схемы ассоциации: основные свойства схем ассоциации, относящиеся к кодированию», в Плесс, В.С.; Хаффман, У. К. (ред.), Справочник по теории кодирования, Нидерланды: Elsevier
  • Delsarte, P .; Левенштейн, В.И. (1998), "Схемы ассоциации и теория кодирования", IEEE Transactions по теории информации, 44 (6): 2477–2504, Дои:10.1109/18.720545
  • MacWilliams, F.J .; Слоан, Н. Дж. А. (1978), Теория кодов с исправлением ошибок, Нью-Йорк: Эльзевир
  • Номура, К. (1997), "Алгебра, связанная со спиновой моделью", Журнал алгебраической комбинаторики, 6 (1): 53–58, Дои:10.1023 / А: 1008644201287