Динамическая эпистемическая логика - Dynamic epistemic logic

Динамическая эпистемическая логика (DEL) - это логическая структура, связанная с изменением знаний и информации. Как правило, DEL сосредотачивается на ситуациях, связанных с несколькими агенты и изучает, как меняются их знания, когда События происходить. Эти события могут изменить фактические свойства реального мира (их называют онтические события): например, красная карточка окрашивается в синий цвет. Они также могут вызывать изменения знаний без изменения фактических свойств мира (их называют эпистемические события): например, карта раскрывается публично (или в частном порядке) как красная. Первоначально DEL фокусировался на эпистемических событиях. В этой статье мы представляем только некоторые из основных идей исходной среды DEL; более подробную информацию о DEL в целом можно найти в справочниках.

Из-за природы объекта изучения и абстрактного подхода, DEL имеет отношение к многочисленным областям исследований, таким как Информатика (искусственный интеллект ), философия (формальная эпистемология ), экономика (теория игры ) и наука о мышлении. Например, в информатике DEL очень тесно связан с мультиагентные системы, которые представляют собой системы, в которых несколько интеллектуальных агентов взаимодействуют и обмениваются информацией.

Как сочетание динамическая логика и эпистемическая логика, динамическая эпистемологическая логика - молодая область исследований. На самом деле все началось в 1989 году с логики публичных заявлений Plaza.^[1] Независимо, Гербранди и Греневельд^[2] предложила систему, касающуюся, кроме того, частных объявлений, и это было вдохновлено работой Велтмана.^[3] Другая система была предложена ван Дитмаршем, главным вдохновителем которого был Cluedo игра.^[4] Но наиболее влиятельной и оригинальной системой была система, предложенная Балтагом, Моссом и Солецким.^[5][6] Эта система может работать со всеми типами ситуаций, изученных в вышеперечисленных работах, и ее основная методология концептуально обоснована. В этой статье мы представим некоторые из его основных идей.

Формально DEL расширяет обычные эпистемическая логика путем включения моделей событий для описания действий и оператора обновления продукта, который определяет, как эпистемические модели обновляются в результате выполнения действий, описанных с помощью моделей событий. Эпистемическая логика сначала будет отозван. Затем действия и события войдут в картину, и мы представим структуру DEL.^[7]

Эпистемическая логика

Эпистемическая логика это модальная логика имея дело с понятиями знания и веры. Как логика, он связан с пониманием процесса рассуждение о знании и вере: какие принципы, относящиеся к понятиям знания и веры, интуитивно правдоподобны? Как и эпистемология, оно происходит от греческого слова ${ Displaystyle эпсилон пи йота сигма тау эта му эта}$ или «эпистема», означающая знание. Эпистемология тем не менее, больше озабочен анализом самого природа и объем знаний, отвечая на такие вопросы, как «Каково определение знания?» или «Как приобретаются знания?». Фактически, эпистемологическая логика выросла из эпистемологии в средние века благодаря усилиям Берли и Оккама.^[8] Формальная работа, основанная на модальной логике, положившая начало современным исследованиям эпистемологической логики, датируется только 1962 годом и была создана Hintikka.^[9] Затем это вызвало в 1960-х годах дискуссии о принципах знания и убеждений, и многие аксиомы для этих понятий были предложены и обсуждены.^[10] Например, аксиомы взаимодействия ${ displaystyle Kp rightarrow Bp}$ и ${ displaystyle Bp rightarrow KBp}$ часто считаются интуитивными принципами: если агент знает ${ displaystyle p}$ тогда (s) он также верит ${ displaystyle p}$, или если агент считает ${ displaystyle p}$, то он знает, что он верит ${ displaystyle p}$. Совсем недавно такие философские теории были подхвачены исследователями в экономика,^[11] искусственный интеллект и теоретическая информатика ^[12] где рассуждения о знаниях являются центральной темой. Благодаря новому сеттингу, в котором использовалась эпистемологическая логика, появились новые перспективы и новые функции, такие как вычислимость Затем вопросы были добавлены в повестку дня исследования эпистемологической логики.

Синтаксис

Впоследствии, ${ displaystyle AGTS = {1, ldots, n }}$ - конечное множество, элементы которого называются агентами и ${ displaystyle PROP}$ это набор пропозициональных букв.

Эпистемический язык является расширением основного многомодального языка модальная логика с всем известный факт оператор ${ displaystyle C_ {A}}$ и распределенное знание оператор ${ displaystyle D_ {A}}$. Формально эпистемический язык ${ Displaystyle { mathcal {L}} _ { extf {EL}} ^ {C}}$ индуктивно определяется следующим грамматика в BNF:

${ displaystyle { mathcal {L}} _ { extf {EL}} ^ {C}: phi ~~ :: = ~~ p ~ mid ~ neg phi ~ mid ~ ( phi land phi) ~ mid ~ K_ {j} phi ~ mid ~ C_ {A} phi ~ mid ~ D_ {A} phi}$

куда ${ displaystyle p in PROP}$, ${ displaystyle j in {AGTS}}$ и ${ displaystyle A substeq {AGTS}}$. В основной эпистемологический язык ${ displaystyle { mathcal {L}} _ {EL}}$ это язык ${ displaystyle { mathcal {L}} _ {EL} ^ {C}}$ без операторов общих знаний и распределенных знаний. Формула ${ displaystyle bot}$ это сокращение от ${ displaystyle neg p land p}$ (для данного ${ displaystyle p in PROP}$), ${ displaystyle langle K_ {j} rangle phi}$ это сокращение от ${ displaystyle neg K_ {j} neg phi}$, ${ displaystyle E_ {A} phi}$ это сокращение от ${ displaystyle bigwedge limits _ {j in A} K_ {j} phi}$ и ${ displaystyle C phi}$ сокращение для ${ displaystyle C_ {AGTS} phi}$.

Групповые понятия: общие, общие и распределенные знания.

В мультиагентной среде есть три важных эпистемологических концепции: общие знания, распределенные знания и общие знания. Понятие общего знания было впервые изучено Льюис в контексте условностей.^[13] Затем он был применен к распределенные системы^[12] и чтобы теория игры,^[14] где это позволяет выразить, что рациональность игроков, правила игры и набор игроков общеизвестны.

Общие знания.

Общие знания ${ displaystyle phi}$ означает, что все в группе агентов ${ displaystyle {AGTS}}$ знает это ${ displaystyle phi}$. Формально это соответствует следующей формуле:

${ displaystyle E phi: = { underset {j in {AGTS}} { bigwedge}} K_ {j} phi.}$

Всем известный факт.

Общие сведения о ${ displaystyle phi}$ означает, что все знают ${ displaystyle phi}$ но также что все знают, что все знают ${ displaystyle phi}$, что все знают, что все знают, что все знают ${ displaystyle phi}$, и так далее до бесконечности. Формально это соответствует следующей формуле

${ displaystyle C phi: = E phi land EE phi land EEE phi land ldots}$

Поскольку мы не допускаем бесконечного соединения, понятие общего знания должно быть введено в наш язык как примитив.

Прежде чем определять язык с помощью этого нового оператора, мы собираемся привести пример, представленный Льюис это иллюстрирует разницу между понятиями общих знаний и общих знаний. Льюис хотел знать, какие знания необходимы, чтобы утверждение ${ displaystyle p}$: «Каждый водитель должен ездить по правой стороне» - это условность группы агентов. Другими словами, он хотел знать, какие знания необходимы, чтобы каждый чувствовал себя в безопасности при езде по правой стороне. Предположим, есть только два агента ${ displaystyle i}$ и ${ displaystyle j}$. Тогда все знают ${ displaystyle p}$ (формально ${ displaystyle Ep}$) недостаточно. В самом деле, возможно, что агент ${ displaystyle i}$ считает возможным, что агент ${ displaystyle j}$ не знает ${ displaystyle p}$ (формально ${ displaystyle neg K_ {i} K_ {j} p}$). В этом случае агент ${ displaystyle i}$ будет небезопасно ехать справа, потому что он может подумать, что агент ${ displaystyle j}$, не зная ${ displaystyle p}$, мог ехать налево. Чтобы избежать этой проблемы, мы могли бы предположить, что все знают, что все знают, что ${ displaystyle p}$ (формально ${ displaystyle EEp}$). Этого опять же недостаточно для того, чтобы все чувствовали себя в безопасности при движении справа. В самом деле, возможно, что агент ${ displaystyle i}$ считает возможным, что агент ${ displaystyle j}$ считает возможным, что агент ${ displaystyle i}$ не знает ${ displaystyle p}$ (формально ${ displaystyle neg K_ {i} K_ {j} K_ {i} p}$). В этом случае и от ${ displaystyle i}$Точка зрения, ${ displaystyle j}$ считает возможным, что ${ displaystyle i}$, не зная ${ displaystyle p}$, будет двигаться слева. Так что из ${ displaystyle i}$Точка зрения, ${ displaystyle j}$ может двигаться и слева (по тем же аргументам, что и выше). Так ${ displaystyle i}$ будет небезопасно ехать справа. Рассуждая по индукции, Льюис показал, что для любого ${ Displaystyle к в mathbb {N}}$, ${ displaystyle Ep land E ^ {1} p land ldots land E ^ {k} p}$ недостаточно, чтобы водители чувствовали себя в безопасности при движении справа. На самом деле нам нужно бесконечное соединение. Другими словами, нам нужны общие знания о ${ displaystyle p}$: ${ displaystyle Cp}$.

Распространенные знания.

Распределенное знание ${ displaystyle phi}$ означает, что если бы агенты полностью использовали свои знания, они бы знали, что ${ displaystyle phi}$ держит. Другими словами, знание ${ displaystyle phi}$ является распределен среди агентов. Формула ${ displaystyle D_ {A} phi}$ читается как «это распределенное знание среди множества агентов. ${ displaystyle A}$ который ${ displaystyle phi}$ держит ».

Семантика

Эпистемическая логика - это модальная логика. Итак, что мы называем эпистемическая модель ${ Displaystyle { mathcal {M}} = (W, R_ {1}, ldots, R_ {n}, I)}$ это просто Модель Крипке как определено в модальной логике. Набор ${ displaystyle W}$ - непустое множество, элементы которого называются возможные миры и интерпретация ${ displaystyle I: W rightarrow 2 ^ {PROP}}$ это функция определение того, какие пропозициональные факты (например, «Энн имеет красную карточку») верны в каждом из этих миров. В отношения доступности ${ Displaystyle R_ {j} substeq W times W}$ находятся бинарные отношения для каждого агента ${ displaystyle j в АГТС}$; они предназначены для отражения неопределенности каждого агента (относительно реального мира и неопределенности других агентов). Интуитивно мы имеем ${ Displaystyle (ш, v) в R_ {j}}$ когда мир ${ displaystyle v}$ совместим с агентом ${ displaystyle j}$Информация в мире ${ displaystyle w}$ или, другими словами, когда агент ${ displaystyle j}$ считает этот мир ${ displaystyle v}$ может соответствовать миру ${ displaystyle w}$ (с этой точки зрения). Мы оскорбительно пишем ${ displaystyle w in { mathcal {M}}}$ за ${ displaystyle w in W}$ и ${ Displaystyle R_ {j} (ш)}$ обозначает множество миров ${ Displaystyle {v in W; (w, v) in R_ {j} }}$.

Интуитивно остроконечная эпистемическая модель ${ Displaystyle ({ mathcal {M}}, ш)}$, куда ${ displaystyle w in { mathcal {M}}}$, представляет с внешней точки зрения, как реальный мир ${ displaystyle w}$ воспринимается агентами ${ displaystyle {AGTS}}$.

Для каждой эпистемической модели ${ Displaystyle { mathcal {M}}}$, каждый ${ displaystyle w in { mathcal {M}}}$ и каждый ${ displaystyle phi in { mathcal {L}} _ { extf {EL}}}$, мы определяем ${ Displaystyle { mathcal {M}}, ш модели phi}$ индуктивно следующим условия истины:

${ displaystyle { mathcal {M}}, ш модели p}$	если только	${ displaystyle p in I (w)}$
${ Displaystyle { mathcal {M}}, ш модели neg phi}$	если только	${ displaystyle { textrm {~ ~ ~ не ~ ~ ~ ~}} { mathcal {M}}, w models phi}$
${ displaystyle { mathcal {M}}, w models phi land psi}$	если только	${ displaystyle { mathcal {M}}, w models phi { textrm {~ и ~}} { mathcal {M}}, w models psi}$
${ displaystyle { mathcal {M}}, w models K_ {j} phi}$	если только	${ textstyle { textrm {для ~ всех ~}} v in R_ {j} (w), { mathcal {M}}, v models phi}$
${ Displaystyle { mathcal {M}}, ш модели C_ {A} phi}$	если только	${ displaystyle { textrm {для ~ всех ~}} v in left ({ underset {j in A} { bigcup}} R_ {j} right) ^ {+} (w), { mathcal {M}}, v models phi}$
${ Displaystyle { mathcal {M}}, ш модели D_ {A} phi}$	если только	${ displaystyle { textrm {для ~ всех ~}} v in { underset {j in A} { bigcap}} R_ {j} (w), { mathcal {M}}, v models фи}$

куда ${ displaystyle left ({ underset {j in A} { bigcup}} R_ {j} right) ^ {+}}$ это переходное закрытие из ${ displaystyle { underset {j in A} { bigcup}} R_ {j}}$: у нас есть это ${ Displaystyle v in left ({ underset {j in A} { bigcup}} R_ {j} right) ^ {+} (w)}$ если и только если есть ${ displaystyle w_ {0}, ldots, w_ {m} in { mathcal {M}}}$ и ${ displaystyle j_ {1}, ldots, j_ {m} in A}$ такой, что ${ displaystyle w_ {0} = w, w_ {m} = v}$ и для всех ${ Displaystyle я в {1, ldots, м }}$, ${ displaystyle w_ {i-1} R_ {j_ {i}} w_ {i}}$.

Несмотря на то, что понятие общего убеждения должно быть введено в качестве примитива в языке, мы можем заметить, что определение эпистемических моделей не должно быть изменено, чтобы придать истинное значение операторам общего знания и распределенного знания.

Пример карты:

Игроки ${ displaystyle A}$, ${ displaystyle B}$ и ${ displaystyle C}$ (обозначающие Энн, Боба и Клэр) сыграйте в карточную игру с тремя картами: красной, зеленой и синей. У каждого из них есть по одной карте, но они не знают карт других игроков. У Энн красная карточка, у Боба зеленая карточка, а у Клэр синяя карточка. Этот пример изображен в заостренной эпистемической модели. ${ Displaystyle ({ mathcal {M}}, ш)}$ представлен ниже. В этом примере ${ displaystyle AGTS: = {A, B, C }}$ и ${ displaystyle PROP: = {{ color {red} {A}}, { color {green} {B}}, { color {blue} {C}}, { color {red} {B} }, { color {green} {C}}, { color {blue} {A}}, { color {red} {C}}, { color {green} {A}}, { color { синий} {B}} }}$. Каждый мир обозначен пропозициональными буквами, которые истинны в этом мире и ${ displaystyle w}$ соответствует реальному миру. Есть стрелка, указанная агентом ${ displaystyle j in {A, B, C }}$ из возможного мира ${ displaystyle u}$ в возможный мир ${ displaystyle v}$ когда ${ Displaystyle (и, v) в R_ {j}}$. Возвратные стрелки опущены, что означает, что для всех ${ displaystyle j in {A, B, C }}$ и все ${ displaystyle v in { mathcal {M}}}$у нас есть это ${ displaystyle (v, v) in R_ {j}}$.

Пример карты: остроконечная эпистемическая модель ${ Displaystyle ({ mathcal {M}}, ш)}$

${ displaystyle { color {красный} {A}}}$ означает: "${ displaystyle A}$ имеет красную карточку ''

${ displaystyle { color {синий} {C}}}$ означает: "${ displaystyle C}$ имеет синюю карту ''

${ displaystyle { color {зеленый} {B}}}$ означает: "${ displaystyle B}$ имеет грин-карту ''

и так далее...

Когда отношения доступности являются отношениями эквивалентности (как в этом примере), и мы имеем, что ${ Displaystyle (ш, v) в R_ {j}}$, мы говорим, что агент ${ displaystyle j}$ не могу отличить Мир ${ displaystyle w}$ из мира ${ displaystyle v}$ (или мир ${ displaystyle w}$ неотличим от мира ${ displaystyle v}$ для агента ${ displaystyle j}$). Так, например, ${ textstyle A}$ не может отличить реальный мир ${ displaystyle w}$ из возможного мира, где ${ displaystyle B}$ имеет синюю карту (${ displaystyle { color {синий} {B}}}$), ${ displaystyle C}$ имеет грин-карту (${ displaystyle { color {зеленый} {C}}}$) и ${ displaystyle A}$ осталась красная карточка (${ displaystyle { color {красный} {A}}}$).

В частности, имеют место следующие утверждения:

${ displaystyle { mathcal {M}}, w models ({ color {red} {A}} land K_ {A} { color {red} {A}}) land ({ color {blue } {C}} land K_ {C} { color {blue} {C}}) land ({ color {green} {B}} land K_ {B} { color {green} {B}) })}$

«Все агенты знают цвет своей карты».

${ displaystyle { mathcal {M}}, w models K_ {A} ({ color {blue} {B}} vee { color {green} {B}}) land K_ {A} ({ color {синий} {C}} vee { color {зеленый} {C}})}$

'${ displaystyle A}$ знает это ${ displaystyle B}$ имеет либо синюю, либо зеленую карту и что ${ displaystyle C}$ имеет либо синюю, либо зеленую карту ».

${ displaystyle { mathcal {M}}, w models E ({ color {red} {A}} vee { color {blue} {A}} vee { color {green} {A}}) ) land C ({ color {red} {A}} vee { color {blue} {A}} vee { color {green} {A}})}$

'Все это знают ${ displaystyle A}$ имеет красную, зеленую или синюю карту, и это даже известно всем агентам ».

Знание против веры

Мы используем те же обозначения ${ displaystyle K_ {j}}$ и для знания, и для веры. Следовательно, в зависимости от контекста, ${ displaystyle K_ {j} phi}$ либо прочитает "агент ${ displaystyle j}$ Kтеперь это ${ displaystyle phi}$ держит »или« агент ${ displaystyle j}$ Believes, что ${ displaystyle phi}$ держит ». Принципиальное отличие состоит в том, что, в отличие от знаний, убеждения могут быть неправильный: аксиома ${ displaystyle K_ {j} phi rightarrow phi}$ справедливо только для знания, но не обязательно для веры. Эта аксиома, называемая аксиомой T (истина), утверждает, что если агент знает предложение, то это утверждение истинно. Его часто считают признаком знания, и он не подвергался серьезным атакам с момента его введения в Theaetetus к Платон.

Понятие знания может соответствовать некоторым другим ограничениям (или аксиомам), таким как ${ displaystyle K_ {j} phi rightarrow K_ {j} K_ {j} phi}$: если агент ${ displaystyle j}$ что-то знает, она знает, что знает это. Эти ограничения могут повлиять на характер отношений доступности. ${ displaystyle R_ {j}}$ который затем может соответствовать некоторым дополнительным свойствам. Итак, теперь мы собираемся определить некоторые конкретные классы эпистемических моделей, которые все добавляют некоторые дополнительные ограничения на отношения доступности. ${ displaystyle R_ {j}}$. Этим ограничениям соответствуют определенные аксиомы для оператора знания ${ displaystyle K_ {j}}$. Под каждым свойством мы приводим аксиому, которая определяет^[15] класс эпистемических фреймов, выполняющих это свойство. (${ displaystyle K phi}$ означает ${ displaystyle K_ {j} phi}$ для любого ${ displaystyle j in AGTS}$.)

Свойства отношений доступности и соответствующие аксиомы

серийный	${ Displaystyle R (ш) neq emptyset}$
D	${ displaystyle K phi rightarrow langle K rangle phi}$
переходный	${ displaystyle { textrm {If}} ~ w ' in R (w) ~ { textrm {and}} ~ w' ' in R (w'), ~ { textrm {then}} ~ w ' ' in R (w)}$
4	${ displaystyle K phi rightarrow KK phi}$
Евклидичность	${ displaystyle { textrm {If}} ~ w ' in R (w) ~ { textrm {and}} ~ w' ' in R (w), ~ { textrm {then}} ~ w' в R (w '')}$
5	${ displaystyle neg K phi rightarrow K neg K phi}$
рефлексивный	${ Displaystyle ш в р (ш)}$
Т	${ displaystyle K phi rightarrow phi}$
симметричный	${ displaystyle { textrm {If}} ~ w ' in R (w), ~ { textrm {then}} ~ w in R (w')}$
B	${ displaystyle phi rightarrow K neg K neg phi}$
сливаться	${ displaystyle { textrm {If}} ~ w ' in R (w) { textrm {~ и ~}} w' ' in R (w), { textrm {тогда ~ есть ~ ~}} v { textrm {~ такой ~ что}} ~ v in R (w ') { textrm {~ и ~}} v in R (w' ')}$
.2	${ displaystyle langle K rangle K phi rightarrow K langle K rangle phi}$
слабо связанный	${ displaystyle { textrm {If}} ~ w ' in R (w) { textrm {~ и ~}} w' ' in R (w), { textrm {~ then ~}} w' = w '' { textrm {~ или ~}} w ' in R (w' ') { textrm {~ или ~}} w' ' in R (w')}$
.3	${ displaystyle langle K rangle phi land langle K rangle psi rightarrow langle K rangle ( phi land psi) vee langle K rangle ( psi land langle K rangle phi) vee langle K rangle ( phi land langle K rangle psi)}$
полуевклидов	${ displaystyle { textrm {If ~}} w '' in R (w) { textrm {~ and ~}} w notin R (w '') { textrm {~ and ~}} w ' в R (w), { textrm {~ затем ~}} w '' in R (w ')}$
.3.2	${ displaystyle ( langle K rangle phi land langle K rangle K psi) rightarrow K ( langle K rangle phi vee psi)}$
R1	${ displaystyle { textrm {If ~}} w '' in R (w) { textrm {~ and ~}} w neq w '' { textrm {~ and ~}} w ' in R ( w), { textrm {~ затем ~}} w '' in R (w ')}$
.4	${ displaystyle ( phi land langle K rangle K phi) rightarrow K phi}$

Мы обсуждаем аксиомы выше. Аксиома 4 утверждает, что если агент знает предложение, то он знает, что он знает его (эта аксиома также известна как «KK-принцип» или «KK-тезис»). В эпистемологии аксиома 4 обычно принимается интерналисты, но не экстерналисты.^[16] Тем не менее, аксиома 4 широко принята компьютерными учеными (но также и многими философами, включая Платон, Аристотель, Святой Августин, Спиноза и Шопенгауэр, в качестве Hintikka вспоминает). Более спорная аксиома для логики познания аксиомы 5 для Euclidicity: эта аксиома гласит, что если агент не знает предложение, то она знает, что она не знает об этом. Большинство философов (включая Хинтикку) напали на эту аксиому, поскольку многочисленные примеры из повседневной жизни, кажется, опровергают ее.^[17] В общем, аксиома 5 недействительна, если агент ошибается во взглядах, которые могут быть вызваны, например, неправильным восприятием, ложью или другими формами обмана. Аксиома B утверждает, что агент не может считать возможным, что он знает ложное предложение (т. Е. ${ Displaystyle neg ( neg phi land neg K neg K phi)}$). Если мы предположим, что аксиомы T и 4 верны, то аксиома B станет жертвой той же атаки, что и аксиома 5, поскольку эта аксиома выводима. Аксиома D утверждает, что убеждения агента последовательны. В сочетании с аксиомой K (где оператор знания заменен оператором убеждения) аксиома D фактически эквивалентна более простой аксиоме D ', которая передает, возможно, более явно, тот факт, что убеждения агента не могут быть противоречивыми: ${ displaystyle neg B bot}$. Другие сложные аксиомы .2, .3, .3.2 и .4 были введены эпистемологическими логиками, такими как Ленцен и Кутчера в 1970-х годах.^[10][18] и представлены для некоторых из них как ключевые аксиомы эпистемологической логики. Их можно охарактеризовать с точки зрения аксиом интуитивного взаимодействия, связывающих знания и убеждения.^[19]

Аксиоматизация

Гильберт система доказательств K для основного модальная логика определяется следующим аксиомы и правила вывода: для всех ${ displaystyle j in AGTS}$,

Система доказательств ${ Displaystyle { extf {K}}}$ за ${ displaystyle { mathcal {L}} _ {EL}}$

Опора	Все аксиомы и правила вывода логика высказываний
K	${ Displaystyle K_ {J} ( phi rightarrow psi) rightarrow (K_ {j} phi rightarrow K_ {j} psi)}$
Nec	Если ${ displaystyle phi}$ тогда ${ displaystyle K_ {j} phi}$

Аксиомы эпистемической логики, очевидно, отображают способ рассуждений агентов. Например, из аксиомы K вместе с правилом вывода Nec следует, что если я знаю ${ displaystyle phi}$ (${ displaystyle K phi}$) и я знаю что ${ displaystyle phi}$ подразумевает ${ displaystyle psi}$ (${ Displaystyle К ( фи rightarrow psi))}$ тогда я знаю что ${ displaystyle psi}$ (${ displaystyle K psi}$). Могут быть добавлены более строгие ограничения. Следующее системы доказательства за ${ displaystyle { mathcal {L}} _ { extf {EL}}}$ часто используются в литературе.

Общие системы доказательства для ${ displaystyle { mathcal {L}} _ {EL}}$

KD45

=

К + Д + 4 + 5

S4.2

=

S4 + .2

S4.3.2

=

S4 + .3.2

S5

=

S4 + 5

S4

=

К + Т + 4

S4.3

=

S4 + .3

S4.4

=

S4 + .4

Br

=

К + Т + В

Определим множество систем доказательств ${ Displaystyle mathbb {L} _ { extf {EL}}: = {{ extf {K}}, { extf {KD45}}, { extf {S4}}, { extf {S4. 2}}, { extf {S4.3}}, { extf {S4.3.2}}, { extf {S4.4}}, { extf {S5}} }}$.

Более того, для всех ${ displaystyle { mathcal {H}} in mathbb {L} _ { extf {EL}}}$, определим систему доказательств ${ Displaystyle { mathcal {H}} ^ { extf {C}}}$ добавив следующие схемы аксиом и правила вывода к тем из ${ displaystyle { mathcal {H}}}$. Для всех ${ displaystyle A substeq AGTS}$,

Dis	${ displaystyle K_ {j} phi rightarrow D_ {A} phi}$
Смешивание	${ Displaystyle C_ {A} phi rightarrow E_ {A} ( phi land C_ {A} phi)}$
Ind	${ displaystyle { textrm {если ~}} phi rightarrow E_ {A} ( psi land phi) { textrm {~ then ~}} phi rightarrow C_ {A} psi}$

Относительная сила систем доказательства знаний такова:

${ Displaystyle { extf {S4}} subset { extf {S4.2}} subset { extf {S4.3}} subset { extf {S4.3.2}} subset { extf {S4 .4}} subset { extf {S5}}.}$

Итак, все теоремы из ${ Displaystyle { extf {S4.2}}}$ также теоремы ${ displaystyle { extf {S4.3}}, { extf {S4.3.2}}, { extf {S4.4}}}$ и ${ Displaystyle { extf {S5}}}$. Многие философы утверждают, что в самых общих случаях логика познания ${ Displaystyle { extf {S4.2}}}$ или же ${ Displaystyle { extf {S4.3}}}$.^[18][20] Обычно в информатике и во многих теориях, разработанных в области искусственного интеллекта, логика веры (доксастический логика) считается ${ Displaystyle { extf {KD45}}}$ и логика познания (эпистемический логика) считается ${ Displaystyle { extf {S5}}}$, даже если ${ Displaystyle { extf {S5}}}$ подходит только для ситуаций, когда агенты не имеют ошибочных убеждений.^[17] ${ displaystyle { extf {Br}}}$ Флориди предложил логику понятия «информированность», которая в основном отличается от логики знания отсутствием интроспекции для агентов.^[21]

Для всех ${ displaystyle { mathcal {H}} in mathbb {L} _ { extf {EL}}}$, то класс ${ displaystyle { mathcal {H}}}$–Модели или же ${ Displaystyle { mathcal {H}} ^ { extf {C}}}$–Модели - это класс эпистемических моделей, отношения доступности которых удовлетворяют перечисленным выше свойствам, определенным аксиомами ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ или же ${ Displaystyle { mathcal {H}} ^ { extf {C}}}$. Тогда для всех ${ displaystyle { mathcal {H}} in mathbb {L} _ { extf {EL}}}$, ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ является звук и сильно полный за ${ displaystyle { mathcal {L}} _ { extf {EL}}}$ w.r.t. класс ${ displaystyle { mathcal {H}}}$–Модели и ${ Displaystyle { mathcal {H}} ^ { extf {C}}}$ является звук и сильно полный за ${ Displaystyle { mathcal {L}} _ { extf {EL}} ^ { extf {C}}}$ w.r.t. класс ${ Displaystyle { mathcal {H}} ^ { extf {C}}}$–Модели.

Разрешимость и сложность

В проблема выполнимости для всей введенной логики разрешимый. Мы перечисляем ниже вычислительная сложность проблемы выполнимости для каждого из них. Обратите внимание, что он становится линейным во времени, если в языке есть только конечное число пропозициональных букв. За ${ Displaystyle п geq 2}$, если мы ограничимся конечной вложенностью, то проблема выполнимости будет НП-полный для всех рассмотренных модальных логик. Если мы затем ограничим язык наличием только конечного числа примитивных предложений, сложность во всех случаях снизится до линейной по времени.^[22][23]

Сложность проблемы выполнимости

Логика	${ Displaystyle п = 1}$	${ Displaystyle п geq 2}$	общеизвестно
К, S4	PSPACE	PSPACE	EXPTIME
KD45	НП	PSPACE	EXPTIME
S5	НП	PSPACE	EXPTIME

Вычислительная сложность проблема проверки модели в п во всех случаях.

Добавление динамики

Динамическая эпистемическая логика (DEL) - это логическая структура для моделирования эпистемических ситуаций с участием нескольких агентов и изменений, которые происходят в этих ситуациях в результате поступающей информации или, в более общем смысле, поступающих действий. Методология DEL такова, что она разделяет задачу представления убеждений и знаний агентов на три части:

1. Один представляет свои убеждения относительно исходной ситуации благодаря эпистемическая модель;
2. Один представляет свои представления о событии, происходящем в этой ситуации благодаря модель событий;
3. Один представляет, как агенты обновляют свои представления о ситуации после (или во время) наступления события благодаря обновление продукта.

Как правило, информативным мероприятием может быть публичное объявление для всех агентов формулы. ${ displaystyle psi}$: это публичное объявление и соответствующее обновление составляют динамическую часть. Однако эпистемологические события могут быть намного сложнее простого публичного объявления, включая сокрытие информации для некоторых агентов, обман, ложь, блеф и т. Д. и Т. Д. Эта сложность решается, когда мы вводим понятие модели событий. Сначала мы сосредоточимся на публичных объявлениях, чтобы получить интуитивное представление об основных идеях, лежащих в основе DEL.

Публичные мероприятия

В этом разделе мы предполагаем, что все мероприятия являются публичными. Начнем с конкретного примера, где можно использовать DEL, чтобы лучше понять, что происходит. Этот пример называется пазл грязные дети. Затем мы представим формализацию этой головоломки в логике, называемой Логика публичных объявлений (PAL). Загадка грязных детей - одна из самых известных головоломок, которая сыграла роль в развитии DEL. Другие важные загадки включают пазл суммы и произведения, то Дилемма Монти Холла, то Проблема с русскими картами, то проблема с двумя конвертами, Парадокс Мура, то парадокс палача, так далее.^[24]

Пример Muddy Children:

У нас двое детей, А и Б, оба грязные. A может видеть B, но не себя, а B может видеть A, но не себя. Позволять ${ displaystyle p}$ - предложение о том, что A грязно, и ${ displaystyle q}$ быть утверждением, утверждающим, что B грязный.

1. Представляем исходную ситуацию указанной эпистемической моделью ${ displaystyle ({ mathcal {N}}, s)}$ представлен ниже, где отношения между мирами являются отношениями эквивалентности. состояния ${ displaystyle s, t, u, v}$ интуитивно представить возможные миры, предложение (например, ${ displaystyle p}$) выполнимый в одном из этих миров интуитивно означает, что в соответствующем возможном мире интуитивная интерпретация ${ displaystyle p}$ (A грязный) верно. Связи между мирами, помеченные агентами (A или B), интуитивно выражают понятие неразличимости для агента, о котором идет речь, между двумя возможными мирами. Например, связь между ${ displaystyle s}$ и ${ displaystyle t}$ помеченный A интуитивно означает, что A не может различить возможный мир ${ displaystyle s}$ из ${ displaystyle t}$ наоборот. Действительно, А не может видеть себя, поэтому он не может отличить мир, в котором он грязен, от мира, в котором он не грязен. Однако он может различать миры, в которых B является грязным или нет, потому что он может видеть B. Эта интуитивная интерпретация заставляет нас предположить, что наши отношения между мирами являются отношениями эквивалентности.
   

   Исходная ситуация: точечная эпистемическая модель ${ displaystyle ({ mathcal {N}}, s)}$
2. Теперь предположим, что их отец приходит и объявляет, что хотя бы один грязный (формально ${ displaystyle p vee q}$). Затем мы обновляем модель, и это дает указанную эпистемическую модель, представленную ниже. Что мы на самом деле делаем, так это подавляем миры, в которых содержание объявления не выполняется. В нашем случае это мир, в котором ${ displaystyle neg p}$ и ${ displaystyle neg q}$ верны. Это подавление и есть то, что мы называем обновлением. Затем мы получаем модель, изображенную ниже. В результате объявления и A, и B действительно знают, что по крайней мере один из них грязный. Мы можем прочитать это из эпистемической модели.
   

   Обновленная эпистемическая модель после первого объявления ${ displaystyle p vee q}$
3. Теперь предположим, что есть второе (и последнее) объявление, в котором говорится, что ни один из них не знает, что он грязный (объявление может выражать факты о ситуации, а также эпистемологические факты о знаниях, которыми обладают агенты). Затем мы аналогичным образом обновляем модель, подавляя миры, которые не удовлетворяют содержанию объявления, или, что эквивалентно, оставляя миры, которые удовлетворяют объявлению. Таким образом, этот процесс обновления приводит к указанной ниже эпистемической модели. Интерпретируя эту модель, мы получаем, что A и B оба знают, что они грязные, что, похоже, противоречит содержанию объявления. Однако, если мы предположим, что A и B оба являются совершенными рассуждающими и что это общеизвестно среди них, тогда этот вывод имеет смысл.

Обновленная эпистемическая модель после второго анонса

Логика публичного объявления (PAL):

Мы представляем синтаксис и семантику Логика публичных объявлений (PAL), сочетающий в себе черты эпистемической логики и пропозициональная динамическая логика.^[25]

Мы определяем язык ${ displaystyle {{ mathcal {L}} _ {PAL}}}$ индуктивно следующим грамматика в BNF:

${ Displaystyle {{ mathcal {L}} _ {PAL}}: phi ~~ :: = ~~ p ~ mid ~ neg phi ~ mid ~ ( phi land phi) ~ mid ~ K_ {j} phi ~ mid ~ [ phi!] Phi}$

куда ${ displaystyle j in AGTS}$.

Язык ${ displaystyle {{ mathcal {L}} _ {PAL}}}$ интерпретируется по эпистемическим моделям. В условия истины ибо связки эпистемического языка те же, что и в эпистемической логике (см. выше). Условие истинности для новой модальности динамического действия ${ displaystyle [ psi!] phi}$ определяется следующим образом:

${ Displaystyle { mathcal {M}}, ш модели [ psi!] phi}$

если только

${ displaystyle { mbox {if}} { mathcal {M}}, w models psi { mbox {then}} { mathcal {M}} ^ { psi}, w models phi}$

куда ${ displaystyle { mathcal {M}} ^ { psi}: = (W ^ { psi}, R_ {1} ^ { psi}, ldots, R_ {n} ^ { psi}, I ^ { psi})}$ с

${ displaystyle W ^ { psi}: = {w in W; { mathcal {M}}, w models psi }}$,

${ Displaystyle R_ {j} ^ { psi}: = R_ {j} cap (W ^ { psi} times W ^ { psi})}$ для всех ${ displaystyle j in {1, ldots, n }}$ и

${ displaystyle I ^ { psi} (w): = I (w) { textrm {~ для ~ всех ~}} w in W ^ { psi}}$.

Формула ${ displaystyle [ psi!] phi}$ интуитивно означает, что после правдивого объявления ${ displaystyle psi}$, ${ displaystyle phi}$ держит. Публичное объявление предложения ${ displaystyle psi}$ изменяет текущую эпистемическую модель, как показано на рисунке ниже.

Устраните все миры, которые в настоящее время не удовлетворяют ${ displaystyle psi}$

Система доказательств ${ displaystyle { mathcal {H}} _ {PAL}}$ определяется ниже звук и сильно полный за ${ displaystyle {{ mathcal {L}} _ {PAL}}}$ w.r.t. класс всех указанных эпистемических моделей.

${ Displaystyle { extf {K}}}$		Аксиомы и правила вывода системы доказательств ${ Displaystyle { extf {K}}}$(см. выше)
Красный 1		${ Displaystyle [ psi!] p leftrightarrow ( psi rightarrow p)}$
Красный 2		${ displaystyle [ psi!] neg phi leftrightarrow ( psi rightarrow neg [ psi!] phi)}$
Красный 3		${ displaystyle [ psi!] ( phi land chi) leftrightarrow ([ psi!] phi land [ psi!] chi)}$
Красный 4		${ Displaystyle [ psi!] K_ {i} phi leftrightarrow left ( psi rightarrow K_ {i} ( psi rightarrow [ psi!] phi) right)}$

Аксиомы Red 1 - Red 4 называются редукционные аксиомы потому что они позволяют уменьшить любую формулу ${ displaystyle {{ mathcal {L}} _ {PAL}}}$ доказуемо эквивалентной формуле ${ displaystyle { mathcal {L}} _ {EL}}$ в ${ displaystyle { mathcal {H}} _ {PAL}}$. Формула ${ displaystyle [q!] Kq}$ это теорема доказуемо в ${ displaystyle { mathcal {H}} _ {PAL}}$. В нем говорится, что после публичного объявления ${ displaystyle q}$, агент знает, что ${ displaystyle q}$ держит.

PAL - это разрешимый, это проблема проверки модели разрешима в полиномиальное время и это проблема выполнимости является PSPACE-полный.^[26]

Пазл грязных детей, формализованный с помощью PAL:

Вот некоторые из утверждений, содержащихся в запутанной детской головоломке, формализованной в PAL.

${ displaystyle { mathcal {N}}, s models p land q}$

«В исходной ситуации A грязный, а B грязный».

${ displaystyle { mathcal {N}}, s models ( neg K_ {A} p land neg K_ {A} neg p) land ( neg K_ {B} q land neg K_ { B} neg q)}$

«В исходной ситуации A не знает, грязный ли он, а B - тоже».

${ displaystyle { mathcal {N}}, s models [p vee q!] (K_ {A} (p vee q) land K_ {B} (p vee q))}$

«После публичного объявления о том, что по крайней мере один из детей A и B грязный, оба потом знают, что по крайней мере один из них грязный». Тем не мение:

${ displaystyle { mathcal {N}}, s models [p vee q!] (( neg K_ {A} p land neg K_ {A} neg p) land ( neg K_ {B } q land neg K_ {B} neg q))}$

«После публичного объявления о том, что по крайней мере один из детей A и B грязный, они все еще не знают, что они грязные». Более того:

${ displaystyle { mathcal {N}}, s models [p vee q!] [( neg K_ {A} p land neg K_ {A} neg p) land ( neg K_ {B } q land neg K_ {B} neg q)!] (K_ {A} p land K_ {B} q)}$

«После последовательных публичных заявлений о том, что по крайней мере один из детей A и B грязный и что они все еще не знают, грязны ли они, A и B оба знают, что они грязные».

В этом последнем утверждении мы видим в действии интересную особенность процесса обновления: формула не обязательно верна после объявления. Это то, что мы технически называем «самостойкостью», и эта проблема возникает для эпистемических формул (в отличие от пропозициональных формул). Не следует путать объявление и обновление, вызванное этим объявлением, которое может отменить некоторую информацию, закодированную в объявлении.^[27]

Произвольные события

В этом разделе мы предполагаем, что события не обязательно являются публичными, и сосредоточиваемся на пунктах 2 и 3 выше, а именно на том, как представлять события и как обновить эпистемическую модель с таким представлением событий посредством обновления продукта.

Модель событий

Эпистемические модели используются для моделирования того, как агенты воспринимают реальный мир. Их восприятие также можно описать с точки зрения знаний и убеждений о мире и верований других агентов. Суть подхода DEL состоит в том, что можно описать, как событие воспринимается агентами, очень похожим образом. Действительно, восприятие события агентами также может быть описано с точки зрения знаний и убеждений. Например, частное объявление ${ displaystyle A}$ к ${ displaystyle B}$ То, что ее карта красная, также можно описать с точки зрения знаний и убеждений: ${ displaystyle A}$ говорит ${ displaystyle B}$ что ее карта красная (событие ${ displaystyle e}$) ${ displaystyle C}$ верит что ничего не происходит (событие ${ displaystyle f}$). Это приводит к определению понятия модели событий, определение которой очень похоже на определение эпистемической модели.

Модель заостренных событий ${ displaystyle ({ mathcal {E}}, e)}$ представляет, как фактическое событие представлено ${ displaystyle e}$ воспринимается агентами. Интуитивно ${ displaystyle f in R_ {j} (e)}$ означает, что пока возможное событие, представленное ${ displaystyle e}$ происходит, агент ${ displaystyle j}$ считает возможным, что возможное событие, представленное ${ displaystyle f}$ действительно происходит.

An модель событий кортеж ${ displaystyle { mathcal {E}} = (W ^ { alpha}, R_ {1} ^ { alpha}, ldots, R_ {m} ^ { alpha}, I ^ { alpha})}$ куда:

• ${ displaystyle W ^ { alpha}}$ непустой набор возможные события,
• ${ Displaystyle R_ {j} ^ { alpha} substeq W ^ { alpha} times W ^ { alpha}}$ это бинарное отношение, называемое отношение доступности на ${ displaystyle W ^ { alpha}}$, для каждого ${ displaystyle j in AGTS}$,
• ${ displaystyle I ^ { alpha}: W ^ { alpha} rightarrow { mathcal {L}} _ { extf {EL}}}$ функция, называемая функция предусловия присвоение каждому возможному событию формулы ${ displaystyle { mathcal {L}} _ { extf {EL}}}$.

${ Displaystyle R_ {j} ^ { alpha} (е)}$ обозначает множество ${ Displaystyle {е в W ^ { альфа}; (е, е) в R_ {j} ^ { alpha} }}$ .Мы пишем ${ Displaystyle е in { mathcal {E}}}$ за ${ displaystyle e in W ^ { alpha}}$, и ${ displaystyle ({ mathcal {E}}, e)}$ называется модель заостренных событий (${ displaystyle e}$ часто представляет собой реальное событие).

Пример карты:

Вернемся к примеру с картой и предположим, что игроки ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle B}$ покажите свои карты друг другу. Как выясняется из, ${ displaystyle C}$ заметил это ${ displaystyle A}$ показала свою карту ${ displaystyle B}$ но не заметил что ${ displaystyle B}$ сделал это ${ displaystyle A}$. Игроки ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle B}$ знаю это. Это событие представлено ниже в модели событий. ${ displaystyle ({ mathcal {E}}, e)}$.

Возможное событие ${ displaystyle e}$ соответствует фактическому событию «игроки ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle B}$ показать свои карты и карты соответственно друг другу »(с предварительным условием ${ displaystyle { color {красный} {A}} land { color {зеленый} {B}}}$), ${ displaystyle f}$ обозначает событие «игрок ${ displaystyle A}$ показывает свою грин-карту »(с предварительным условием ${ displaystyle { color {зеленый} {A}}}$) и ${ displaystyle g}$ обозначает атомное событие "игрок" ${ displaystyle A}$ показывает свою красную карточку »(с предварительным условием ${ displaystyle { color {красный} {A}}}$). Игроки ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle B}$ показать свои карты друг другу, игроки ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle B}$ знать это и считать возможным, пока игрок ${ displaystyle C}$ считает возможным, что игрок ${ displaystyle A}$ показывает свою красную карточку и также считает возможным, что игрок ${ displaystyle A}$ показывает свою грин-карту, так как не знает ее карты. Фактически, это все, что игрок ${ displaystyle C}$ считает возможным, потому что она не заметила, что ${ displaystyle B}$ показал свою карточку.

Заостренная модель событий ${ displaystyle ({ mathcal {E}}, e)}$: Игроки A и B показывают свои карты друг другу перед игроком C.

Другой пример модели событий приведен ниже. Этот второй пример соответствует событию, когда Player ${ displaystyle A}$ всем публично показывает свою красную карточку. Игрок ${ displaystyle A}$ показывает свою красную карточку, игроки ${ displaystyle A}$, ${ displaystyle B}$ и ${ displaystyle C}$ "Знать" это, игроки ${ displaystyle A}$, ${ displaystyle B}$ и ${ displaystyle C}$ «Знать», что каждый из них «знает» это, и Т. Д. Другими словами, есть всем известный факт среди игроков ${ displaystyle A}$, ${ displaystyle B}$ и ${ displaystyle C}$ этот игрок ${ displaystyle A}$ показывает свою красную карточку.

Заостренная модель событий ${ Displaystyle ({ mathcal {F}}, е)}$

Обновление продукта

Обновление продукта DEL описано ниже.^[5] Это обновление дает новую точную эпистемическую модель ${ displaystyle ({ mathcal {M}}, w) otimes ({ mathcal {E}}, e)}$ представляя, как новая ситуация, которая ранее была представлена ${ Displaystyle ({ mathcal {M}}, ш)}$ воспринимается агентами после наступления события, представленного ${ displaystyle ({ mathcal {E}}, e)}$.

Позволять ${ Displaystyle { mathcal {M}} = (W, R_ {1}, ldots, R_ {n}, I)}$ быть эпистемической моделью и позволить ${ displaystyle { mathcal {E}} = (W ^ { alpha}, R_ {1} ^ { alpha}, ldots, R_ {n} ^ { alpha}, I ^ { alpha})}$ быть моделью событий. В обновление продукта из ${ Displaystyle { mathcal {M}}}$ и ${ displaystyle { mathcal {E}}}$ эпистемическая модель ${ displaystyle { mathcal {M}} otimes { mathcal { mathcal {E}}} = (W ^ { otimes}, R_ {1} ^ { otimes}, ldots, R_ {n} ^ { otimes}, я ^ { otimes})}$ определяется следующим образом: для всех ${ displaystyle v in W}$ и все ${ displaystyle f in W ^ { alpha}}$,

${ displaystyle W ^ { otimes}}$	=	${ displaystyle {(v, f) in W times W ^ { alpha}; { mathcal {M}}, v models I ^ { alpha} (f) }}$
${ Displaystyle R_ {j} ^ { otimes} (v, f)}$	=	${ displaystyle {(u, g) in W ^ { otimes}; u in R_ {j} (v) { textrm {~ и ~}} g in R_ {j} ^ { alpha} (е) }}$
${ Displaystyle I ^ { otimes} (v, f)}$	=	${ Displaystyle I (v)}$

Если ${ displaystyle w in W}$ и ${ displaystyle e in W ^ { alpha}}$ такие, что ${ Displaystyle { mathcal {M}}, ш модели I ^ { alpha} (е)}$ тогда ${ displaystyle ({ mathcal {M}}, w) otimes ({ mathcal {E}}, e)}$ обозначает заостренную эпистемическую модель ${ Displaystyle ({ mathcal {M}} otimes { mathcal {E}}, (ш, е))}$. Это определение обновления продукта концептуально обосновано.^[6]

Пример карты:

В результате первого события, описанного выше (Игроки ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle B}$ показать свои карты друг другу перед игроком ${ displaystyle C}$) агенты обновляют свои убеждения. Мы получаем ситуацию, представленную в указанной эпистемической модели ${ displaystyle ({ mathcal {M}}, w) otimes ({ mathcal {E}}, e)}$ ниже. В этой острой эпистемической модели справедливо следующее утверждение: ${ displaystyle ({ mathcal {M}}, w) otimes ({ mathcal {E}}, e) models ({ color {green} {B}} land K_ {A} { color { зеленый} {B}}) land K_ {C} neg K_ {A} { color {green} {B}}.}$ В нем говорится, что игрок ${ displaystyle A}$ знает этого игрока ${ displaystyle B}$ есть карта, но игрок ${ displaystyle C}$ «считает», что это не так.

Обновленная заостренная эпистемическая модель ${ displaystyle ({ mathcal {M}}, w) otimes ({ mathcal {E}}, e)}$

Результат второго события представлен ниже. В этой острой эпистемической модели справедливо следующее утверждение: ${ displaystyle ({ mathcal {M}}, w) otimes ({ mathcal {F}}, e) models C _ { {B, C }} ({ color {red} {A}} land { color {green} {B}} land { color {blue} {C}}) land neg K_ {A} ({ color {green} {B}} land { color { синий} {C}})}$. В нем говорится, что среди ${ displaystyle B}$ и ${ displaystyle C}$ что они знают истинное состояние мира (а именно ${ displaystyle A}$ имеет красную карточку, ${ displaystyle B}$ имеет грин-карту и ${ displaystyle C}$ имеет синюю карту), но ${ displaystyle A}$ не знает этого.

Обновленная заостренная эпистемическая модель ${ displaystyle ({ mathcal {M}}, w) otimes ({ mathcal {F}}, e)}$

Основываясь на этих трех компонентах (эпистемическая модель, модель событий и обновление продукта), Балтаг, Мосс и Солецки определили общий логический язык, вдохновленный логическим языком пропозициональная динамическая логика^[25] рассуждать об изменении информации и знаний.^[5][6]

Смотрите также

• Эпистемическая логика
• Эпистемология
• Логика в информатике
• Модальная логика

Примечания

Рекомендации

• ван Бентем, Йохан (2011). Логическая динамика информации и взаимодействия. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0521873970.
• Ханс, ван Дитмарш; Халперн, Джозеф; ван дер Хук, Вибе; Куи, Бартельд (2015). Справочник по эпистемической логике. Лондон: издание колледжа. ISBN  978-1848901582.
• ван Дитмарш, Ханс, ван дер Хук, Вибе и Коой, Бартельд (2007). Динамическая эпистемическая логика. Итака: том 337 библиотеки Synthese. Springer. ISBN  978-1-4020-5839-4.CS1 maint: несколько имен: список авторов (связь)
• Феджин, Рональд; Халперн, Джозеф; Моисей, Йорам; Варди, Моше (2003). Рассуждения о знаниях. Кембридж: MIT Press. ISBN  978-0-262-56200-3. Классическая справка.
• Хинтикка, Яакко (1962). Знание и вера - введение в логику двух понятий. Итака: Издательство Корнельского университета. ISBN  978-1-904987-08-6..

внешняя ссылка

• Балтаг, Александру; Ренне, Брайан. «Динамическая эпистемическая логика». В Залта, Эдуард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии.
• ван Дитмарш, Ганс; ван дер Хук, Вибе; Куи, Бартельд. «Динамическая эпистемическая логика». Интернет-энциклопедия философии.
• Хендрикс, Винсент; Саймонс, Джон. «Эпистемическая логика». В Залта, Эдуард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии.
• Гарсон, Джеймс. «Модальная логика». В Залта, Эдуард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии.