Уравнение центра - Equation of the center

Смоделированный вид объекта в эллиптическая орбита, как видно из фокус из орбита. Вид вращается вместе с средняя аномалия, поэтому кажется, что объект колеблется взад и вперед в этом среднем положении с уравнение центра. Также кажется, что объект становится все меньше и больше по мере того, как он удаляется и приближается из-за эксцентриситет орбиты. Маркер (красный) показывает положение перицентр.

В двухчастный, Кеплеровский орбитальная механика, то уравнение центра это угловая разница между фактическим положением тела в его эллиптическая орбита и положение, которое он занял бы, если бы его движение было равномерным, в круговая орбита того же периода. Это определяется как разница истинная аномалия, $ν$ , минус средняя аномалия, $M$ , и обычно выражается как функция средней аномалии, $M$ , и орбитальный эксцентриситет, $е$ .^[1]

Обсуждение

С древних времен проблема предсказания движений небесных тел была упрощена, сводя ее к одному из одного тела, движущегося по орбите вокруг другого. При вычислении положения тела вокруг орбиты часто удобно начинать с предположения о круговом движении. Это первое приближение - это просто постоянная угловая скорость, умноженная на количество времени. Существуют различные методы корректировки приблизительного кругового положения относительно положения, создаваемого эллиптическим движением, многие из них являются сложными, а многие требуют решения Уравнение Кеплера. Напротив, уравнение центра - один из самых простых в применении методов.

В случаях небольших эксцентриситет, положение, заданное уравнением центра, может быть почти таким же точным, как и любой другой метод решения проблемы. Многие интересующие орбиты, например орбиты тел в Солнечная система или искусственной Земли спутники, есть эти почти-круговые орбиты. По мере того, как эксцентриситет становится больше, а орбиты становятся более эллиптическими, точность уравнения снижается, полностью теряясь при самых высоких значениях, поэтому оно не используется для таких орбит.

Уравнение в его современной форме может быть усечено с любым произвольным уровнем точности, и, если оно ограничено только наиболее важными членами, оно может дать легко вычисляемую аппроксимацию истинного положения, когда полная точность не важна. Такие приближения могут использоваться, например, как начальные значения для итерационных решений Уравнение Кеплера,^[1] или при вычислении времени нарастания или наступления, которое из-за атмосферных воздействий не может быть предсказано с большой точностью.

В древние греки, особенно Гиппарх, знал уравнение центра как простаферез, хотя их понимание геометрии движения планет было другим.^[2] Слово уравнение (латинский, aequatio, -онис) в настоящем смысле происходит от астрономия. Это было указано и использовалось Кеплер, так как эта переменная величина, определяемая расчетом, которая должна быть добавлена или вычтена из среднего движения, чтобы получить истинное движение. В астрономии термин уравнение времени имеет аналогичное значение.^[3] Уравнение центра в современном виде было разработано в рамках возмущение анализ, то есть изучение эффектов третье тело на движение двух тел.^[4]^[5]

Расширение серии

Максимальная погрешность расширение серии уравнения центра, в радианы, как функция орбитальный эксцентриситет (нижняя ось) и мощность из е на котором серия усекается (правая ось). Обратите внимание, что при низком эксцентриситете (левая часть графика) нет необходимости переводить серию в высокий уровень для получения точных результатов.

Расширенное в ряд уравнение центра как функция от средняя аномалия для различных эксцентриситет, с усечением уравнения центра на е⁷ для всех кривых. Обратите внимание, что усеченное уравнение не работает при высоком эксцентриситете и дает колеблющийся изгиб.

В кеплеровском движении координаты тела изменяют одни и те же значения с каждой орбитой, что является определением периодическая функция. Такие функции можно выразить как периодический ряд любой непрерывно возрастающей угловой переменной,^[6] а наиболее интересной переменной является средняя аномалия, $M$ . Поскольку она равномерно увеличивается со временем, выражение любой другой переменной в виде ряда средней аномалии по сути то же самое, что выражение ее в терминах времени. Поскольку эксцентриситет, $е$ , орбиты мала по величине, коэффициенты ряда могут быть развиты по степеням $е$ .^[5] Обратите внимание, что, хотя эти ряды могут быть представлены в усеченной форме, они представляют собой сумму бесконечный количество терминов.^[7]

Сериал для $ν$ , то истинная аномалия можно наиболее удобно выразить через $M$ , $е$ и Функции Бесселя первого рода,^[8]

{ displaystyle nu = M + 2 sum _ {s = 1} ^ { infty} { frac {1} {s}} left {J_ {s} (se) + sum _ {p = 1} ^ { infty} beta ^ {p} left [J_ {sp} (se) + J_ {s + p} (se) right] right } sin sM,}

куда

{ displaystyle J_ {n} (se)}

являются Функции Бесселя и

{ displaystyle beta = { frac {1} {e}} left (1 - { sqrt {1-e ^ {2}}} right).}

^[9]

Результат в радианы.

Функции Бесселя могут быть расширены по степеням $Икс$ к,^[10]

{ displaystyle J_ {n} (x) = { frac {1} {n!}} left ({ frac {x} {2}} right) ^ {n} sum _ {m = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {m} { frac { left ({ frac {x} {2}} right) ^ {2m}} {m! prod _ {k = 1} ^ {m} (n + k)}}}

и $β м$ к,^[11]

{ displaystyle beta ^ {m} = left ({ frac {e} {2}} right) ^ {m} left [1 + m sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(2n + m-1)!} {n! (n + m)!}} left ({ frac {e} {2}} right) ^ {2n} right].}

Подставляя и сокращая, уравнение для $ν$ становится (усечено при заказе $е 7$ ),^[8]

{ displaystyle { begin {align} nu = M & + left (2e - { frac {1} {4}} e ^ {3} + { frac {5} {96}} e ^ {5} + { frac {107} {4608}} e ^ {7} right) sin M & {} + left ({ frac {5} {4}} e ^ {2} - { frac {11} {24}} e ^ {4} + { frac {17} {192}} e ^ {6} right) sin 2M & {} + left ({ frac {13} { 12}} e ^ {3} - { frac {43} {64}} e ^ {5} + { frac {95} {512}} e ^ {7} right) sin 3M & { } + left ({ frac {103} {96}} e ^ {4} - { frac {451} {480}} e ^ {6} right) sin 4M & {} + left ({ frac {1097} {960}} e ^ {5} - { frac {5957} {4608}} e ^ {7} right) sin 5M & {} + { frac {1223} {960}} e ^ {6} sin 6M + { frac {47273} {32256}} e ^ {7} sin 7M + cdots end {align}}}

и по определению двигаясь $M$ в левую сторону,

${ displaystyle nu -M = left (2e - { frac {1} {4}} e ^ {3} + { frac {5} {96}} e ^ {5} + { frac {107 } {4608}} e ^ {7} right) sin M + cdots}$

дает уравнение центра.

Это уравнение иногда выводится альтернативным способом и выражается в терминах степеней $е$ с коэффициентами при функциях $грех M$ (усечено по заказу $е 6$ ),

{ displaystyle { begin {align} nu = M & {} + 2e sin M + { frac {5} {4}} e ^ {2} sin 2M & {} + { frac {e ^ {3}} {12}} (13 sin 3M-3 sin M) & {} + { frac {e ^ {4}} {96}} (103 sin 4M-44 sin 2M) & {} + { frac {e ^ {5}} {960}} (1097 sin 5M-645 sin 3M + 50 sin M) & {} + { frac {e ^ {6 }} {960}} (1223 sin 6M-902 sin 4M + 85 sin 2M) + cdots end {align}}}

который идентичен приведенной выше форме.^[12]^[13]

Для малых $е$ , ряд быстро сходится. Если $е$ превышает 0,6627 ..., расходится для некоторых значений $M$ , впервые обнаруженный Пьер-Симон Лаплас.^[12]^[14]

Примеры

	орбитальный эксцентриситет^[15]	максимальное уравнение центра (серия усечена, как показано)
	орбитальный эксцентриситет^[15]	е⁷	е³	е²
Венера	0.006777	0.7766°	0.7766°	0.7766°
земной шар	0.01671	1.915°	1.915°	1.915°
Сатурн	0.05386	6.174°	6.174°	6.186°
Марс	0.09339	10.71°	10.71°	10.77°
Меркурий	0.2056	23.68°	23.77°	23.28°

Смотрите также

дальнейшее чтение

Март, А. (1890). О вычислении уравнения центра на эллиптических орбитах с умеренными эксцентриситетами. Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества, Vol. 50, стр. 502. Приводит в порядок уравнение центра. е¹⁰.
Моррисон, Дж. (1883). О вычислении эксцентрической аномалии, уравнения центра и радиус-вектора планеты в терминах средней аномалии и эксцентриситета. Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества, Vol. 43, стр. 345. Приводит в порядок уравнение центра. е¹².
Моррисон, Дж. (1883 г.). Опечатки. Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества, Vol. 43, стр. 494.

[Vallado82-1] а ^б Валладо, Дэвид А. (2001). Основы астродинамики и приложений (второе изд.). Microcosm Press, Эль-Сегундо, Калифорния. п. 82. ISBN 1-881883-12-4.

[2] Нарриен, Джон (1833). Исторический отчет о происхождении и прогрессе астрономии. Болдуин и Крэдок, Лондон. стр.230 –231.

[3] Капдеру, Мишель (2005). Орбиты спутников и миссии. Springer-Verlag. п.23. ISBN 978-2-287-21317-5.

[4] Моултон, Лесной Луч (1914). Введение в небесную механику (второе исправленное изд.). Macmillan Co., Нью-Йорк. п. 165., в Книги Google

[Smart26-5] а ^б Смарт, У. М. (1953). Небесная механика. Longmans, Green and Co., Лондон. п. 26.

[6] Брауэр, Дирк; Клеменс, Джеральд М. (1961). Методы небесной механики. Academic Press, Нью-Йорк и Лондон. п.60.

[7] Валладо, Дэвид А. (2001). п. 80

[B&C77-8] а ^б Брауэр, Дирк; Клеменс, Джеральд М. (1961). п. 77.

[9] Брауэр, Дирк; Клеменс, Джеральд М. (1961). п. 62.

[10] Брауэр, Дирк; Клеменс, Джеральд М. (1961). п. 68.

[11] Смарт, У. М. (1953). п. 32.

[Moulton171-12] а ^б Моултон, Лесной Луч (1914). С. 171–172.

[13] Дэнби, Дж.М.А. (1988). Основы небесной механики. Willmann-Bell, Inc., Ричмонд, Вирджиния. С. 199–200. ISBN 0-943396-20-4.

[14] Пламмер, Х.С. (1918). Введение в динамическую астрономию. Издательство Кембриджского университета. стр.46 –47.

[15] Зайдельманн, П. Кеннет; Урбан, Шон Э., ред. (2013). Пояснительное приложение к астрономическому альманаху (3-е изд.). Научные книги университета, Милл-Вэлли, Калифорния. п. 338. ISBN 978-1-891389-85-6.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]