Фермионное поле - Fermionic field

В квантовая теория поля, а фермионное поле это квантовое поле чей кванты находятся фермионы; то есть они подчиняются Статистика Ферми – Дирака. Фермионные поля подчиняются канонические антикоммутационные отношения а не канонические коммутационные соотношения из бозонные поля.

Наиболее ярким примером фермионного поля является поле Дирака, которое описывает фермионы с вращение -1/2: электроны, протоны, кварки и др. Поле Дирака можно описать как 4-компонентное спинор или в виде пары 2-компонентных спиноров Вейля. Спин-1/2 Майорана фермионы, например, гипотетический нейтралино, можно описать как зависимую 4-компонентную Майорана спинор или один 2-компонентный спинор Вейля. Неизвестно, были ли нейтрино майорановский фермион или Фермион Дирака; наблюдение безнейтринный двойной бета-распад экспериментально разрешил бы этот вопрос.

Основные свойства

Свободные (невзаимодействующие) фермионные поля подчиняются канонические антикоммутационные отношения; т.е. задействовать антикоммутаторы {а, б} = ab + ба, а не коммутаторы [а, б] = ab − ба бозонной или стандартной квантовой механики. Эти соотношения справедливы и для взаимодействующих фермионных полей в картинка взаимодействия, где поля эволюционируют во времени, как если бы они были свободными, а эффекты взаимодействия закодированы в эволюции состояний.

Именно из этих антикоммутационных соотношений следует статистика Ферми – Дирака для квантов поля. Они также приводят к Принцип исключения Паули: две фермионные частицы не могут находиться в одном и том же состоянии одновременно.

Поля Дирака

Ярким примером фермионного поля со спином 1/2 является Поле Дирака (названный в честь Поль Дирак ) и обозначается ${ Displaystyle psi (х)}$. Уравнение движения частицы со свободным спином 1/2 - это уравнение Уравнение Дирака,

${ displaystyle left (я гамма ^ { mu} partial _ { mu} -m right) psi (x) = 0. ,}$

куда ${ displaystyle gamma ^ { mu}}$ находятся гамма-матрицы и ${ displaystyle m}$ масса. Простейшие возможные решения этого уравнения - решения плоских волн, ${ Displaystyle psi _ {1} (х) = и (р) е ^ {- ip.x} ,}$ и ${ Displaystyle psi _ {2} (х) = v (р) е ^ {ip.x} ,}$. Эти плоская волна решения составляют основу фурье-компонент ${ Displaystyle psi (х)}$, с учетом общего разложения волновой функции следующим образом:

${ displaystyle psi (x) = int { frac {d ^ {3} p} {(2 pi) ^ {3}}} { frac {1} { sqrt {2E_ {p}}} } sum _ {s} left (a _ { mathbf {p}} ^ {s} u ^ {s} (p) e ^ {- ip cdot x} + b _ { mathbf {p}} ^ { s dagger} v ^ {s} (p) e ^ {ip cdot x} right). ,}$

ты и v спиноры, помеченные спином, s. Для электрона частица со спином 1/2, s = +1/2 или s = −1 / 2. Коэффициент энергии является результатом наличия инвариантной лоренц-инвариантной меры интегрирования. В второе квантование, ${ Displaystyle psi (х)}$ повышается до оператора, поэтому коэффициенты его мод Фурье также должны быть операторами. Следовательно, ${ Displaystyle а _ { mathbf {p}} ^ {s}}$ и ${ displaystyle b _ { mathbf {p}} ^ {s dagger}}$ являются операторами. Свойства этих операторов можно определить по свойствам поля. ${ Displaystyle psi (х)}$ и ${ displaystyle psi (y) ^ { dagger}}$ подчиняются антикоммутационным соотношениям:

${ displaystyle left { psi _ {a} ( mathbf {x}), psi _ {b} ^ { dagger} ( mathbf {y}) right } = delta ^ {(3 )} ( mathbf {x} - mathbf {y}) delta _ {ab},}$

куда а и б - спинорные индексы. Мы накладываем антикоммутаторное отношение (в отличие от коммутационное отношение как мы делаем для бозонное поле ), чтобы операторы были совместимы с Статистика Ферми – Дирака. Добавив расширения для ${ Displaystyle psi (х)}$ и ${ displaystyle psi (y)}$, можно вычислить антикоммутационные соотношения для коэффициентов.

${ displaystyle left {a _ { mathbf {p}} ^ {r}, a _ { mathbf {q}} ^ {s dagger} right } = left {b _ { mathbf {p} } ^ {r}, b _ { mathbf {q}} ^ {s dagger} right } = (2 pi) ^ {3} delta ^ {3} ( mathbf {p} - mathbf { q}) delta ^ {rs}, ,}$

Подобно нерелятивистским операторам уничтожения и рождения и их коммутаторам, эти алгебры приводят к физической интерпретации, что ${ displaystyle a _ { mathbf {p}} ^ {s dagger}}$ создает фермион импульса п и спин s, и ${ displaystyle b _ { mathbf {q}} ^ {r dagger}}$ создает антифермион импульса q и вращать р. Общее поле ${ Displaystyle psi (х)}$ теперь рассматривается как взвешенное (по энергетическому фактору) суммирование по всем возможным спинам и импульсам для создания фермионов и антифермионов. Его сопряженное поле, ${ Displaystyle { overline { psi}} { stackrel { mathrm {def}} {=}} psi ^ { dagger} gamma ^ {0}}$, наоборот, взвешенное суммирование по всем возможным спинам и импульсам для аннигилирования фермионов и антифермионов.

Поняв моды поля и определив сопряженное поле, можно построить лоренц-инвариантные величины для фермионных полей. Самый простой - это количество ${ Displaystyle { overline { psi}} psi ,}$. Это и есть причина выбора ${ Displaystyle { overline { psi}} = psi ^ { dagger} gamma ^ {0}}$Чисто. Это потому, что общее преобразование Лоренца на ${ displaystyle psi}$ не является унитарный так количество ${ displaystyle psi ^ { dagger} psi}$ не будет инвариантным относительно таких преобразований, поэтому включение ${ Displaystyle gamma ^ {0} ,}$ это исправить. Другой возможный ненулевой Инвариант Лоренца величина с точностью до полного сопряжения, построенная из фермионных полей, равна ${ Displaystyle { overline { psi}} gamma ^ { mu} partial _ { mu} psi}$.

Поскольку линейные комбинации этих величин также лоренц-инвариантны, это естественным образом приводит к Плотность лагранжиана для поля Дирака требованием, чтобы Уравнение Эйлера – Лагранжа. системы восстанавливают уравнение Дирака.

${ Displaystyle { mathcal {L}} _ {D} = { overline { psi}} left (я gamma ^ { mu} partial _ { mu} -m right) psi , }$

Индексы такого выражения подавлены. При повторном введении полное выражение

${ displaystyle { mathcal {L}} _ {D} = { overline { psi}} _ {a} left (я gamma _ {ab} ^ { mu} partial _ { mu} - m mathbb {I} _ {ab} right) psi _ {b} ,}$

В Гамильтониан (энергия ) плотность также можно построить, определив сначала импульс, канонически сопряженный с ${ Displaystyle psi (х)}$, называется ${ displaystyle Pi (x):}$

${ Displaystyle Pi { overset { mathrm {def}} {=}} { frac { partial { mathcal {L}} _ {D}} { partial ( partial _ {0} psi)}} = i psi ^ { dagger} ,.}$

С этим определением ${ displaystyle Pi}$, плотность гамильтониана равна:

${ displaystyle { mathcal {H}} _ {D} = { overline { psi}} left [-i { vec { gamma}} cdot { vec { nabla}} + m right ] psi ,,}$

куда ${ displaystyle { vec { nabla}}}$ это стандарт градиент пространственно-подобных координат, и ${ displaystyle { vec { gamma}}}$ - вектор пространственноподобного ${ displaystyle gamma}$ матрицы. Удивительно, что плотность гамильтониана не зависит от производной по времени от ${ displaystyle psi}$, прямо, но выражение верное.

Учитывая выражение для ${ Displaystyle psi (х)}$ мы можем построить Фейнмана пропагатор для фермионного поля:

${ Displaystyle D_ {F} (x-y) = left langle 0 left | T ( psi (x) { overline { psi}} (y)) right | 0 right rangle}$

мы определяем по расписанию продукт для фермионов со знаком минус из-за их антикоммутирующей природы

${ Displaystyle T left [ psi (x) { overline { psi}} (y) right] { overset { text {def}} {=}} theta left (x ^ { 0} -y ^ {0} right) psi (x) { overline { psi}} (y) - theta left (y ^ {0} -x ^ {0} right) { overline { psi}} (y) psi (x).}$

Подставляя наше разложение для плоской волны для поля фермионов в приведенное выше уравнение, получаем:

${ displaystyle D_ {F} (ху) = int { frac {d ^ {4} p} {(2 pi) ^ {4}}} { frac {i ({p ! ! ! /} + m)} {p ^ {2} -m ^ {2} + i epsilon}} e ^ {- ip cdot (xy)}}$

где мы использовали Слэш Фейнмана обозначение. Этот результат имеет смысл, поскольку множитель

${ displaystyle { frac {я ({p ! ! ! /} + m)} {p ^ {2} -m ^ {2}}}}$

является просто обратным оператору, действующему на ${ Displaystyle psi (х)}$ в уравнении Дирака. Отметим, что пропагатор Фейнмана для поля Клейна – Гордона обладает тем же свойством. Поскольку все разумные наблюдаемые (такие как энергия, заряд, число частиц и т. Д.) Построены из четного числа фермионных полей, соотношение коммутации исчезает между любыми двумя наблюдаемыми в точках пространства-времени за пределами светового конуса. Как мы знаем из элементарной квантовой механики, две одновременно коммутирующие наблюдаемые можно измерить одновременно. Поэтому мы правильно реализовали Лоренц-инвариантность для поля Дирака и сохранил причинность.

Более сложные теории поля с участием взаимодействий (например, Теория Юкавы, или же квантовая электродинамика ) также можно анализировать различными пертурбативными и непертурбативными методами.

Поля Дирака - важная составляющая Стандартная модель.

Смотрите также

• Уравнение Дирака
• Уравнения Эйнштейна – Максвелла – Дирака.
• Теорема спин-статистики
• Спинор

Рекомендации

• Эдвардс, Д. (1981). "Математические основы квантовой теории поля: фермионы, калибровочные поля и суперсимметрия, часть I: теории поля на решетке". Int. J. Theor. Phys. 20 (7): 503–517. Bibcode:1981IJTP ... 20..503E. Дои:10.1007 / BF00669437.
• Пескин, М., Шредер, Д. (1995). Введение в квантовую теорию поля, Westview Press. (См. Страницы 35–63.)
• Средницки, Марк (2007). Квантовая теория поля, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-86449-7.
• Вайнберг, Стивен (1995). Квантовая теория полей, (3 тома) Cambridge University Press.