Теорема флуктуации-диссипации - Fluctuation-dissipation theorem

В теорема флуктуации-диссипации (FDT) или же соотношение флуктуация-диссипация (FDR) - мощный инструмент в статистическая физика для прогнозирования поведения систем, подчиняющихся подробный баланс. Учитывая, что система подчиняется детальному балансу, теорема является общим доказательством того, что термодинамические колебания в физической переменной предсказать ответ, количественно выраженный допуск или же сопротивление одной и той же физической переменной (например, напряжения, разницы температур и т. д.), и наоборот. Теорема флуктуации-диссипации применима как к классический и квантово-механический системы.

Теорема о флуктуация-диссипация была доказана Герберт Каллен и Теодор Велтон в 1951 г.^[1] и расширен Рёго Кубо. Есть антецеденты общей теоремы, в том числе Эйнштейн объяснение Броуновское движение^[2]во время его Annus Mirabilis и Гарри Найквист объяснение в 1928 г. Джонсон шум в электрических резисторах.^[3]

Качественный обзор и примеры

Теорема флуктуации-диссипации гласит, что когда есть процесс, который рассеивает энергию, превращая ее в тепло (например, трение), существует обратный процесс, связанный с тепловые колебания. Лучше всего это понять, рассмотрев несколько примеров:

• Тащить и Броуновское движение

Если объект движется через жидкость, он испытывает тащить (сопротивление воздуха или жидкости). Drag рассеивает кинетическую энергию, превращая ее в тепло. Соответствующее колебание Броуновское движение. Объект в жидкости не сидит на месте, а движется с небольшой и быстро меняющейся скоростью, когда молекулы жидкости сталкиваются с ним. Броуновское движение преобразует тепловую энергию в кинетическую энергию, обратную сопротивлению.

• Сопротивление и Джонсон шум

Если электрический ток проходит через проволочную петлю с резистор в нем ток быстро упадет до нуля из-за сопротивления. Сопротивление рассеивает электрическую энергию, превращая ее в тепло (Джоулевое нагревание ). Соответствующее колебание Джонсон шум. Проволочная петля с резистором на самом деле не имеет нулевого тока, у нее есть небольшой и быстро флуктуирующий ток, вызванный тепловыми колебаниями электронов и атомов в резисторе. Шум Джонсона преобразует тепловую энергию в электрическую - обратную сопротивлению.

• Поглощение света и тепловое излучение

Когда свет падает на объект, некоторая часть света поглощается, делая объект более горячим. Таким образом, поглощение света превращает световую энергию в тепло. Соответствующее колебание тепловое излучение (например, свечение «раскаленного» объекта). Тепловое излучение превращает тепловую энергию в световую энергию, обратную поглощению света. В самом деле, Закон Кирхгофа теплового излучения подтверждает, что чем эффективнее объект поглощает свет, тем больше теплового излучения он излучает.

Подробно примеры

Теорема о флуктуация-диссипация является общим результатом статистическая термодинамика который количественно определяет связь между флуктуациями в системе, которая подчиняется подробный баланс и реакция системы на приложенные возмущения.

Броуновское движение

Например, Альберт Эйнштейн отметил в своей статье 1905 г. Броуновское движение что те же самые случайные силы, которые вызывают беспорядочное движение частицы в броуновском движении, также вызовут сопротивление, если частица будет протаскиваться через жидкость. Другими словами, флуктуация покоящейся частицы имеет то же происхождение, что и диссипативная сила трения, с которой нужно работать, если кто-то пытается возмущать систему в определенном направлении.

Из этого наблюдения Эйнштейн смог использовать статистическая механика вывести Соотношение Эйнштейна – Смолуховского

${ Displaystyle D = { mu , k_ {B} T}}$

который соединяет постоянная диффузии D и подвижность частиц μ, отношение конечной скорости дрейфа частицы к приложенной силе. k_B это Постоянная Больцмана, и Т это абсолютная температура.

Тепловой шум в резисторе

В 1928 г. Джон Б. Джонсон обнаружил и Гарри Найквист объяснил Шум Джонсона – Найквиста. В отсутствие приложенного тока среднеквадратичное напряжение зависит от сопротивления ${ displaystyle R}$, ${ displaystyle k_ {B} T}$, а пропускная способность ${ displaystyle Delta nu}$ на котором измеряется напряжение:^[4]

${ Displaystyle langle V ^ {2} rangle приблизительно 4Rk_ {B} T , Delta nu.}$

Простая схема для иллюстрации теплового шума Джонсона-Найквиста в резисторе.

Это наблюдение можно понять через призму теоремы флуктуационно-диссипации. Возьмем, например, простую схему, состоящую из резистор с сопротивлением ${ displaystyle R}$ и конденсатор с малой емкостью ${ displaystyle C}$. Кирхгофа закон дает

${ displaystyle V = -R { frac {dQ} {dt}} + { frac {Q} {C}}}$

и так функция отклика для этой схемы

${ Displaystyle чи ( omega) Equiv { frac {Q ( omega)} {V ( omega)}} = { frac {1} {{ frac {1} {C}} - я омега R}}}$

В пределе низких частот ${ displaystyle omega ll (RC) ^ {- 1}}$, его мнимая часть просто

${ displaystyle { text {Im}} left [ chi ( omega) right] приблизительно omega RC ^ {2}}$

которую затем можно связать с функцией автокорреляции ${ Displaystyle S_ {V} ( omega)}$ напряжения через теорему флуктуации-диссипации

${ Displaystyle S_ {V} ( omega) = { frac {S_ {Q} ( omega)} {C ^ {2}}} приблизительно { frac {2k _ { rm {B}} T} { C ^ {2} omega}} { text {Im}} left [ chi ( omega) right] = 2Rk _ { rm {B}} T}$

Шум напряжения Джонсона-Найквиста ${ Displaystyle langle V ^ {2} rangle}$ наблюдалось с небольшой частотой пропускная способность ${ Displaystyle Delta nu = Delta omega / (2 pi)}$ сосредоточено вокруг ${ displaystyle omega = pm omega _ {0}}$. Следовательно

${ Displaystyle langle V ^ {2} rangle приблизительно S_ {V} ( omega) times 2 Delta nu приблизительно 4Rk _ { rm {B}} T Delta nu}$

Общая формулировка

Флуктуационно-диссипативную теорему можно сформулировать по-разному; одна особенно полезная форма следующая:^{[нужна цитата ]}

Позволять ${ Displaystyle х (т)}$ быть наблюдаемый из динамическая система с Гамильтониан ${ Displaystyle H_ {0} (х)}$ подвержены тепловым колебаниям. ${ Displaystyle х (т)}$ будет колебаться около своего среднего значения ${ displaystyle langle x rangle _ {0}}$с колебаниями, характеризующимися спектр мощности ${ displaystyle S_ {x} ( omega) = langle { hat {x}} ( omega) { hat {x}} ^ {*} ( omega) rangle}$.Предположим, что мы можем включить изменяющееся во времени, пространственно постоянное поле ${ displaystyle f (t)}$ который изменяет гамильтонианто ${ Displaystyle H (x) = H_ {0} (x) -f (t) x}$.Ответ наблюдаемого ${ Displaystyle х (т)}$ в зависящее от времени поле ${ displaystyle f (t)}$ характеризуется в первую очередь восприимчивость или же функция линейного отклика${ Displaystyle чи (т)}$ системы

${ Displaystyle langle x (t) rangle = langle x rangle _ {0} + int limits _ {- infty} ^ {t} ! f ( tau) chi (t- tau ) , d tau,}$

где возмущение включается адиабатически (очень медленно) при ${ Displaystyle тау = - infty}$.

Теорема флуктуации-диссипации связывает двусторонний спектр мощности (т.е. как положительные, так и отрицательные частоты) ${ displaystyle x}$ к мнимой части преобразование Фурье ${ Displaystyle { шляпа { чи}} ( омега)}$ восприимчивости ${ Displaystyle чи (т)}$:

${ displaystyle S_ {x} ( omega) = { frac {2k _ { mathrm {B}} T} { omega}} mathrm {Im} , { hat { chi}} ( omega) .}$

Левая часть описывает колебания ${ displaystyle x}$правая часть тесно связана с энергией, рассеиваемой системой при накачке колебательным полем ${ Displaystyle е (т) = F грех ( омега т + фи)}$.

Это классическая форма теоремы; квантовые флуктуации учитываются заменой ${ displaystyle 2k _ { mathrm {B}} T / omega}$ с ${ Displaystyle { hbar} , coth ( hbar omega / 2k _ { mathrm {B}} T)}$ (чей предел для ${ displaystyle hbar to 0}$ является ${ displaystyle 2k _ { mathrm {B}} T / omega}$). Доказательство можно найти с помощью Уменьшение LSZ, тождество из квантовой теории поля.^{[нужна цитата ]}

Теорема о флуктуации-диссипации может быть прямо обобщена на случай пространственно-зависимых полей, на случай нескольких переменных или на квантово-механическую установку.^[1]

Вывод

Классическая версия

Мы выводим флуктуационно-диссипативную теорему в приведенной выше форме, используя те же обозначения. Рассмотрим следующий тестовый случай: поле ж был включен бесконечно долго и выключается в т=0

${ Displaystyle е (т) = е_ {0} тета (-t),}$

куда ${ Displaystyle тета (т)}$ это Функция Хевисайда.Мы можем выразить математическое ожидание ${ displaystyle x}$ распределением вероятностей W(Икс, 0) и вероятность перехода ${ Displaystyle Р (х ', т | х, 0)}$

${ Displaystyle langle x (t) rangle = int dx ' int dx , x'P (x', t | x, 0) W (x, 0).}$

Функция распределения вероятностей W(Икс, 0) является равновесным распределением и, следовательно, определяется Распределение Больцмана для гамильтониана ${ Displaystyle Н (х) = Н_ {0} (х) -xf_ {0}}$

${ Displaystyle W (х, 0) = { гидроразрыва { exp (- beta H (x))} { int dx ', exp (- beta H (x'))}} ;, }$

куда ${ Displaystyle бета ^ {- 1} = к _ { rm {B}} T}$.Для слабого поля ${ displaystyle beta xf_ {0} ll 1}$, мы можем разложить правую часть

${ Displaystyle W (х, 0) приблизительно W_ {0} (x) [1+ beta f_ {0} (x (0) - langle x rangle _ {0})],}$

Вот ${ Displaystyle W_ {0} (х)}$ - равновесное распределение в отсутствие поля. Подставляя это приближение в формулу для ${ Displaystyle langle х (т) rangle}$ дает

${ displaystyle langle x (t) rangle = langle x rangle _ {0} + beta f_ {0} A (t),}$

(*)

куда А(т) - автокорреляционная функция Икс при отсутствии поля:

${ Displaystyle A (t) = langle [x (t) - langle x rangle _ {0}] [x (0) - langle x rangle _ {0}] rangle _ {0}.}$

Обратите внимание, что в отсутствие поля система инвариантна относительно сдвигов во времени. Мы можем переписать ${ displaystyle langle x (t) rangle - langle x rangle _ {0}}$ используя восприимчивость системы и, следовательно, найдем с помощью приведенного выше уравнения (*)

${ displaystyle f_ {0} int _ {0} ^ { infty} d tau , chi ( tau) theta ( tau -t) = beta f_ {0} A (t)}$

Как следствие,

${ displaystyle - chi (t) = beta { operatorname {d} A (t) over operatorname {d} t} theta (t).}$

(**)

Чтобы сделать утверждение о частотной зависимости, необходимо выполнить преобразование Фурье уравнения (**). Интегрируя по частям, можно показать, что

${ displaystyle - { hat { chi}} ( omega) = я omega beta int limits _ {0} ^ { infty} mathrm {e} ^ {- i omega t} A ( t) , dt- beta A (0).}$

С ${ Displaystyle А (т)}$ действительна и симметрична, отсюда следует, что

${ displaystyle 2 , mathrm {Im} [{ hat { chi}} ( omega)] = omega beta { hat {A}} ( omega).}$

Наконец, для стационарные процессы, то Теорема Винера – Хинчина заявляет, что двусторонний спектральная плотность равно преобразование Фурье автокорреляционной функции:

${ displaystyle S_ {x} ( omega) = { hat {A}} ( omega).}$

Следовательно,

${ displaystyle S_ {x} ( omega) = { frac {2k _ { text {B}} T} { omega}} , mathrm {Im} [{ hat { chi}} ( omega )].}$

Квантовая версия

Теорема флуктуационно-диссипации связывает корреляционная функция наблюдаемого интереса ${ Displaystyle langle { шляпа {х}} (т) { шляпа {х}} (0) rangle}$ (мера флуктуации) мнимой части функция отклика ${ displaystyle { text {Im}} left [ chi (t) right] = { frac {1} {2i}} left [ chi (t) - chi (-t) right] }$ (мера рассеяния) в частотной области. Связь между этими величинами можно найти через так называемые Формула Кубо ^[5]

${ Displaystyle чи (т-т ') = я тета (т-т') langle [{ шляпа {х}} (т), { шляпа {х}} (т ')] рангл}$

что следует, в предположениях линейный отклик теории, с времен эволюции средний по ансамблю наблюдаемых ${ Displaystyle langle { шляпа {х}} (т) rangle}$ при наличии возмущающего источника. Формула Кубо позволяет нам записать мнимую часть функции отклика в виде

${ displaystyle { text {Im}} left [ chi (t) right] = - { frac {1} {2}} left [ langle { hat {x}} (t) { шляпа {x}} (0) rangle - langle { hat {x}} (0) { hat {x}} (t) rangle right]}$

в канонический ансамбль, второй член можно переформулировать как

${ displaystyle langle { hat {x}} (0) { hat {x}} (t) rangle = { text {Tr}} e ^ {- beta { hat {H}}} { hat {x}} (0) { hat {x}} (t) = { text {Tr}} { hat {x}} (t) e ^ {- beta { hat {H}} } { hat {x}} (0) = { text {Tr}} e ^ {- beta { hat {H}}} underbrace {e ^ { beta { hat {H}}} { hat {x}} (t) e ^ {- beta { hat {H}}}} _ {{ hat {x}} (ti hbar beta)} { hat {x}} (0 ) = langle { hat {x}} (ti hbar beta) { hat {x}} (0) rangle}$

где во втором равенстве мы переставили ${ Displaystyle { шляпа {х}} (т)}$ используя циклическое свойство следа (на этом шаге мы также предположили, что оператор ${ displaystyle { hat {x}}}$ является бозонным, т.е.не меняет знак при перестановке). Далее в третьем равенстве мы вставили ${ displaystyle e ^ {- beta { hat {H}}} e ^ { beta { hat {H}}}}$ рядом со следом и интерпретируется ${ displaystyle e ^ {- beta { hat {H}}}}$ как оператор эволюции во времени ${ displaystyle e ^ {- { frac {i} { hbar}} { hat {H}} Delta t}}$ с мнимое время интервал ${ displaystyle Delta t = -i hbar beta}$. Затем мы можем преобразовать Фурье мнимую часть функции отклика, приведенной выше, чтобы прийти к квантовому соотношению флуктуации-диссипации ^[6]

${ displaystyle S_ {x} ( omega) = 2 hbar left [n _ { rm {BE}} ( omega) + { frac {1} {2}} right] { text {Im} } left [ chi ( omega) right]}$

куда ${ Displaystyle S_ {х} ( omega)}$ - преобразование Фурье ${ Displaystyle langle { шляпа {х}} (т) { шляпа {х}} (0) rangle}$ и ${ displaystyle n _ { rm {BE}} ( omega) = left (e ^ { beta hbar omega} -1 right) ^ {- 1}}$ это Бозе-Эйнштейн функция распределения. "${ displaystyle +1/2}$"термин можно рассматривать как связанный с квантовые флуктуации. При достаточно высоких температурах ${ Displaystyle п _ { rm {BE}} приблизительно ( бета hbar omega) ^ {- 1} gg 1}$, т.е. квантовый вклад пренебрежимо мал, и мы восстанавливаем классический вариант.

Нарушения в стеклянных системах

В то время как теорема флуктуации-диссипации обеспечивает общую связь между реакцией систем, подчиняющихся подробный баланс при нарушении детального баланса сравнение колебаний с диссипацией более сложно. Ниже так называемого температура стекла ${ displaystyle T _ { rm {g}}}$, стеклянные системы не уравновешены и медленно приближаются к своему состоянию равновесия. Этот медленный подход к равновесию является синонимом нарушения подробный баланс. Таким образом, эти системы требуют больших временных масштабов для изучения, пока они медленно движутся к равновесию.

Изучить нарушение флуктуационно-диссипативного соотношения в стеклообразных системах, в частности спин-очки, Ref. ^[7] проведено численное моделирование макроскопических систем (т.е. больших по сравнению с их корреляционными длинами), описываемых трехмерными Модель Эдвардса-Андерсона с помощью суперкомпьютеров. В их моделировании система сначала готовится при высокой температуре, затем быстро охлаждается до температуры ${ displaystyle T = 0,64T _ { rm {g}}}$ ниже температура стекла ${ displaystyle T_ {g}}$, и оставили на очень долгое время для уравновешивания ${ displaystyle t _ { rm {w}}}$ под магнитным полем ${ displaystyle H}$. Затем, в более позднее время ${ Displaystyle т + т _ { rm {ш}}}$исследуются две динамические наблюдаемые, а именно функция отклика

${ Displaystyle чи (т + т _ { рм {ш}}, т _ { рм {ш}}) экв влево. { гидроразрыва { частичный м (т + т _ { рм {ш}}) } { partial H}} right | _ {H = 0}}$

и спин-временной корреляционная функция

${ displaystyle C (t + t _ { rm {w}}, t _ { rm {w}}) Equiv { frac {1} {V}} left. sum _ {x} langle S_ { x} (t ​​_ { rm {w}}) S_ {x} (t ​​+ t _ { rm {w}}) rangle right | _ {H = 0}}$

куда ${ displaystyle S_ {x} = pm 1}$ Спин живет на узле ${ displaystyle x}$ кубической решетки объема ${ displaystyle V}$, и ${ Displaystyle м (т) эквив { гидроразрыва {1} {V}} сумма _ {х} langle S_ {х} (т) rangle}$ - плотность намагниченности. Соотношение флуктуаций-диссипации в этой системе можно записать в терминах этих наблюдаемых как

${ displaystyle T chi (t + t _ { rm {w}}, t _ { rm {w}}) = 1-C (t + t _ { rm {w}}, t _ { rm {w}) })}$

Их результаты подтверждают ожидание того, что, поскольку системе дают уравновешиваться в течение более длительного времени, соотношение флуктуаций и диссипации становится ближе к выполнению.

В середине 1990-х гг. При изучении динамики спин-стекло моделей обнаружено обобщение флуктуационно-диссипативной теоремы. ^[8] это справедливо для асимптотических нестационарных состояний, когда температура, фигурирующая в соотношении равновесия, заменяется эффективной температурой с нетривиальной зависимостью от временных масштабов. Предполагается, что это соотношение сохраняется в стеклянных системах за пределами моделей, для которых оно было первоначально обнаружено.

Квантовая версия

Энтропия Реньи, а также энтропия фон Неймана в квантовой физике не наблюдаются, поскольку они нелинейно зависят от матрицы плотности. Недавно, Ансари и Назаров доказали точное соответствие, раскрывающее физический смысл Энтропийный поток Реньи во время. Это соответствие аналогично теорема флуктуации-диссипации по духу и позволяет измерять квантовую энтропию с помощью полная статистика подсчета (FCS) передачи энергии.^[9][10][11]

Смотрите также

• Неравновесная термодинамика
• Отношения Грина – Кубо
• Взаимные отношения Онзагера
• Теорема о равнораспределении
• Распределение Больцмана
• Диссипативная система

Примечания

Рекомендации

• Х. Б. Каллен, Т. А. Велтон (1951). «Необратимость и обобщенный шум». Физический обзор. 83: 34–40. Bibcode:1951PhRv ... 83 ... 34C. Дои:10.1103 / PhysRev.83.34.
• Л. Д. Ландау, Э. М. Лифшиц (1980). Статистическая физика. Курс теоретической физики. 5 (3-е изд.).
• Умберто Марини Беттоло Маркони; Андреа Пуглиси; Ламберто Рондони; Анджело Вульпиани (2008). "Флуктуация-диссипация: теория отклика в статистической физике". Отчеты по физике. 461 (4–6): 111–195. arXiv:0803.0719. Bibcode:2008ФР ... 461..111М. Дои:10.1016 / j.physrep.2008.02.002. S2CID  118575899.

дальнейшее чтение

• Аудио запись лекции профессора Э. В. Карлсона из Университет Пердью
• Знаменитый текст Кубо: Теорема флуктуации-диссипации
• Вебер Дж (1956). "Теорема флуктуационной диссипации". Физический обзор. 101 (6): 1620–1626. arXiv:0710.4394. Bibcode:1956ПхРв..101.1620Вт. Дои:10.1103 / PhysRev.101.1620.
• Фельдерхоф БУ (1978). «К выводу флуктуационно-диссипативной теоремы». Журнал физики А. 11 (5): 921–927. Bibcode:1978JPhA ... 11..921F. Дои:10.1088/0305-4470/11/5/021.
• Кристани А., Риторт Ф (2003). «Нарушение флуктуационно-диссипативной теоремы в стеклообразных системах: основные понятия и численные доказательства». Журнал физики А. 36 (21): R181 – R290. arXiv:cond-mat / 0212490. Bibcode:2003JPhA ... 36R.181C. Дои:10.1088/0305-4470/36/21/201. S2CID  14144683.
• Чендлер Д. (1987). Введение в современную статистическую механику. Издательство Оксфордского университета. стр.231–265. ISBN  978-0-19-504277-1.
• Reichl LE (1980). Современный курс статистической физики. Остин, Техас: Техасский университет Press. С. 545–595. ISBN  0-292-75080-3.
• Плишке М, Бергерсен Б (1989). Статистическая физика равновесия. Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice Hall. С. 251–296. ISBN  0-13-283276-3.
• Патрия РК (1972). Статистическая механика. Оксфорд: Pergamon Press. С. 443, 474–477. ISBN  0-08-018994-6.
• Хуанг К. (1987). Статистическая механика. Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. С. 153, 394–396. ISBN  0-471-81518-7.
• Каллен HB (1985). Термодинамика и введение в термостатистику. Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. С. 307–325. ISBN  0-471-86256-8.
• Мазонка, Олег (2016). «Легко, как Пи: соотношение флуктуации и рассеяния» (PDF). Справочный журнал. 16.
• Ансари, Мохаммад Х .; Назаров, Юлий В. (2015). «Точное соответствие между потоками энтропии Реньи и физическими потоками». Физический обзор B. 91 (17): 174307. arXiv:1502.08020. Bibcode:2015PhRvB..91q4307A. Дои:10.1103 / PhysRevB.91.174307. S2CID  36847902.