Неравновесная термодинамика - Non-equilibrium thermodynamics

Термодинамика
Тепловой двигатель Карно 2.svg

Неравновесная термодинамика это филиал термодинамика который имеет дело с физическими системами, не входящими в термодинамическое равновесие но могут быть описаны в терминах переменных (переменных неравновесного состояния), которые представляют собой экстраполяцию переменных, используемых для определения системы в термодинамическом равновесии. Неравновесная термодинамика занимается транспортные процессы и со ставками химические реакции. Он основан на том, что можно рассматривать как более или менее близость к термодинамическому равновесию.

Почти все системы, встречающиеся в природе, не находятся в термодинамическом равновесии, поскольку они изменяются или могут быть вызваны изменением с течением времени, и постоянно и прерывисто подвержены потоку вещества и энергии в другие системы и из других систем, а также к химическим реакциям. Некоторые системы и процессы, однако, в определенном смысле достаточно близки к термодинамическому равновесию, чтобы их можно было описать с полезной точностью с помощью известной в настоящее время неравновесной термодинамики. Тем не менее, многие природные системы и процессы всегда будут оставаться далеко за пределами возможностей неравновесных термодинамических методов из-за существования невариационной динамики, в которой понятие свободной энергии потеряно.[1]

Термодинамическое исследование неравновесных систем требует более общих концепций, чем те, которые рассматриваются в равновесная термодинамика. Одно фундаментальное различие между равновесной термодинамикой и неравновесной термодинамикой заключается в поведении неоднородных систем, которое требует для их изучения знания скоростей реакции, которые не рассматриваются в равновесной термодинамике гомогенных систем. Это обсуждается ниже. Еще одно фундаментальное и очень важное отличие - сложность или невозможность в целом определения энтропия в момент времени в макроскопических терминах для систем, не находящихся в термодинамическом равновесии; это может быть сделано в полезном приближении только в тщательно выбранных частных случаях, а именно тех, которые повсюду находятся в локальном термодинамическом равновесии.[2][3]

Объем

Разница между равновесной и неравновесной термодинамикой

Глубокое различие отделяет равновесие от неравновесной термодинамики. Равновесная термодинамика игнорирует течение физических процессов во времени. Напротив, неравновесная термодинамика пытается описать их временные ходы в непрерывных деталях.

Равновесная термодинамика ограничивает свои рассмотрения процессами, которые имеют начальное и конечное состояния термодинамического равновесия; временные рамки процессов сознательно игнорируются. Следовательно, равновесная термодинамика допускает процессы, которые проходят через состояния, далекие от термодинамического равновесия, которые не могут быть описаны даже переменными, допустимыми для неравновесной термодинамики,[4] такие как временные скорости изменения температуры и давления.[5] Например, в равновесной термодинамике процессу разрешается включать даже сильный взрыв, который не может быть описан неравновесной термодинамикой.[4] Равновесная термодинамика, однако, для теоретического развития использует идеализированную концепцию «квазистатического процесса». Квазистатический процесс - это концептуальный (вневременной и физически невозможный) плавный математический переход по непрерывному пути состояний термодинамического равновесия.[6] Это скорее упражнение по дифференциальной геометрии, чем процесс, который мог бы произойти в действительности.

С другой стороны, неравновесная термодинамика, пытающаяся описать непрерывное течение времени, нуждается в своем переменные состояния иметь очень тесную связь с равновесной термодинамикой.[7] Это сильно ограничивает сферу применения неравновесной термодинамики и предъявляет высокие требования к ее концептуальной структуре.

Переменные неравновесного состояния

Подходящее соотношение, которое определяет неравновесные термодинамические переменные состояния, выглядит следующим образом. В случаях, когда система оказывается в состояниях, достаточно близких к термодинамическому равновесию, переменные неравновесного состояния таковы, что их можно измерить локально с достаточной точностью теми же методами, которые используются для измерения переменных термодинамического состояния, или соответствующими производные времени и пространства, включая потоки вещества и энергии. В общем, неравновесные термодинамические системы пространственно и временно неоднородны, но их неоднородность все еще имеет достаточную степень гладкости, чтобы поддерживать существование подходящих временных и пространственных производных переменных неравновесного состояния. Из-за пространственной неоднородности переменные неравновесного состояния, которые соответствуют обширным термодинамическим переменным состояния, должны быть определены как пространственные плотности соответствующих обширных переменных состояния равновесия. В тех случаях, когда система достаточно близка к термодинамическому равновесию, интенсивные неравновесные переменные состояния, например температура и давление, близко соответствуют переменным равновесного состояния. Необходимо, чтобы измерительные зонды были достаточно маленькими и достаточно быстро реагирующими, чтобы улавливать соответствующую неоднородность. Кроме того, переменные неравновесного состояния должны быть математически функционально связаны друг с другом способами, которые соответствующим образом напоминают соответствующие отношения между переменными равновесного термодинамического состояния.[8] На самом деле эти требования очень высокие, и удовлетворить их может быть сложно, практически или даже теоретически невозможно. Это часть того, почему работа над неравновесной термодинамикой продолжается.

Обзор

Неравновесная термодинамика - это незавершенная работа, а не устоявшаяся конструкция. Эта статья представляет собой попытку обрисовать некоторые подходы к этому и некоторые важные для него концепции.

Некоторые концепции, имеющие особое значение для неравновесной термодинамики, включают временную скорость диссипации энергии (Rayleigh 1873,[9] Онсагер 1931,[10] также[8][11]), темп производства энтропии (Onsager 1931),[10] термодинамические поля,[12][13][14] диссипативная структура,[15] и нелинейная динамическая структура.[11]

Одна интересная проблема - термодинамическое исследование неравновесных устойчивые состояния, в котором энтропия производство и некоторые потоки не равны нулю, но нет изменение времени физических переменных.

Один из первых подходов к неравновесной термодинамике иногда называют «классической необратимой термодинамикой».[3] Есть и другие подходы к неравновесной термодинамике, например расширенная необратимая термодинамика,[3][16] и обобщенная термодинамика,[17] но в данной статье они почти не затрагиваются.

Квазирадиационная неравновесная термодинамика вещества в лабораторных условиях

По словам Вильдта[18] (см. также Эссекс[19][20][21]) текущие версии неравновесной термодинамики игнорируют лучистое тепло; они могут это сделать, потому что они относятся к лабораторным количествам вещества в лабораторных условиях с температурами значительно ниже звездных. При лабораторных температурах, в лабораторных количествах вещества тепловое излучение слабое и им практически можно пренебречь. Но, например, физика атмосферы имеет дело с большими количествами вещества, занимающими кубические километры, которые, взятые в целом, выходят за пределы диапазона лабораторных величин; то тепловое излучение нельзя игнорировать.

Термодинамика локального равновесия

Термины «классическая необратимая термодинамика»[3] и «термодинамика локального равновесия» иногда используются для обозначения версии неравновесной термодинамики, которая требует определенных упрощающих допущений, а именно: Эти допущения позволяют сделать каждый элемент очень малого объема системы эффективно однородным, или хорошо перемешанным, или без эффективной пространственной структуры, и без кинетической энергии объемного потока или диффузионного потока. Даже в рамках классической необратимой термодинамики забота[11] необходимо при выборе независимых переменных[22] для систем. В некоторых работах предполагается, что интенсивные переменные равновесной термодинамики достаточны в качестве независимых переменных для задачи (считается, что такие переменные не имеют «памяти» и не показывают гистерезиса); в частности, переменные с интенсивным локальным потоком не допускаются в качестве независимых переменных; считается, что локальные потоки зависят от квазистатических локальных интенсивных переменных.

Также предполагается, что локальная плотность энтропии является той же функцией других локальных интенсивных переменных, что и в состоянии равновесия; это называется предположением о локальном термодинамическом равновесии.[8][11][15][16][23][24][25][26] (см. также Кейзер (1987)[27]). Излучение игнорируется, потому что это передача энергии между регионами, которые могут быть удалены друг от друга. В классическом необратимом термодинамическом подходе допускается очень малое пространственное изменение, от очень маленького элемента объема до смежного очень маленького элемента объема, но предполагается, что глобальная энтропия системы может быть найдена простым пространственным интегрированием локальной плотности энтропии ; это означает, что пространственная структура не может вносить должный вклад в глобальную оценку энтропии системы. Этот подход предполагает пространственную и временную непрерывность и даже дифференцируемость локально определенных интенсивных переменных, таких как температура и плотность внутренней энергии. Все это очень жесткие требования. Следовательно, этот подход может иметь дело только с очень ограниченным кругом явлений. Тем не менее этот подход ценен, поскольку он может хорошо справляться с некоторыми макроскопически наблюдаемыми явлениями.[пример необходим ]

В других работах рассматриваются локальные переменные потока; их можно рассматривать как классические по аналогии с постоянными во времени долгосрочными средними значениями потоков, создаваемых бесконечно повторяющимися циклическими процессами; примеры с потоками есть в термоэлектрические явления известные как эффекты Зеебека и Пельтье, рассмотренные Кельвин в девятнадцатом веке и к Ларс Онсагер в двадцатом.[23][28] Эти эффекты возникают на стыках металлов, которые изначально эффективно рассматривались как двумерные поверхности без пространственного объема и без пространственных вариаций.

Термодинамика локального равновесия с материалами с «памятью»

Дальнейшее расширение термодинамики локального равновесия состоит в том, чтобы позволить материалам иметь «память», так что их основные уравнения зависят не только от текущих значений, но и от прошлых значений переменных локального равновесия. Таким образом, время входит в картину более глубоко, чем для зависящей от времени термодинамики локального равновесия с материалами без памяти, но потоки не являются независимыми переменными состояния.[29]

Расширенная необратимая термодинамика

Расширенная необратимая термодинамика является разделом неравновесной термодинамики, выходящим за рамки ограничений гипотезы локального равновесия. Пространство переменных состояния расширено за счет включения потоки формализм хорошо подходит для описания высокочастотных процессов и материалов с небольшими масштабами.

Базовые концепты

Существует множество примеров стационарных неравновесных систем, некоторые из которых очень простые, например, система, заключенная между двумя термостатами с разными температурами или обычным Поток Куэтта, жидкость, заключенная между двумя плоскими стенками, движущаяся в противоположных направлениях и определяющая неравновесные условия на стенках. Лазер действие также является неравновесным процессом, но оно зависит от отклонения от локального термодинамического равновесия и, таким образом, выходит за рамки классической необратимой термодинамики; здесь поддерживается сильная разница температур между двумя степенями свободы молекул (с молекулярным лазером, колебательным и вращательным движением молекул), требование двухкомпонентных «температур» в одной небольшой области пространства, исключающее локальное термодинамическое равновесие, которое требует только нужна одна температура. Затухание акустических возмущений или ударных волн - нестационарные неравновесные процессы. Управляемый сложные жидкости, турбулентные системы и стекла - другие примеры неравновесных систем.

Механика макроскопических систем зависит от ряда обширных величин. Следует подчеркнуть, что все системы постоянно взаимодействуют с окружающей средой, вызывая тем самым неизбежные колебания большое количество. Условия равновесия термодинамических систем связаны с максимальным свойством энтропии. Если единственная значительная величина, которая может колебаться, - это внутренняя энергия, а все остальные остаются строго постоянными, температура системы поддается измерению и имеет значение. Тогда свойства системы удобнее всего описывать с помощью термодинамического потенциала Свободная энергия Гельмгольца (А = U - TS), а Превращение Лежандра энергии. Если, помимо флуктуаций энергии, макроскопические размеры (объем) системы остаются флуктуирующими, мы используем Свободная энергия Гиббса (грамм = U + PV - TS), где свойства системы определяются как температурой, так и давлением.

Неравновесные системы намного сложнее, и они могут испытывать колебания более значительных величин. Граничные условия накладывают на них определенные интенсивные переменные, такие как градиенты температуры или искаженные коллективные движения (сдвиговые движения, вихри и т. Д.), Часто называемые термодинамическими силами. Если свободные энергии очень полезны в равновесной термодинамике, необходимо подчеркнуть, что не существует общего закона, определяющего стационарные неравновесные свойства энергии, как второй закон термодинамики для энтропия в равновесной термодинамике. Поэтому в таких случаях следует рассматривать более обобщенное преобразование Лежандра. Это расширенный потенциал Масье. энтропия (S) является функцией набора большое количество . Каждой экстенсивной величине соответствует сопряженная интенсивная переменная (здесь используется ограниченное определение интенсивной переменной по сравнению с определением, данным в этой ссылке), чтобы:

Затем мы определяем расширенный Функция Масье следующее:

куда является Постоянная Больцмана откуда

Независимые переменные - это интенсивности.

Интенсивности - это глобальные значения, действительные для системы в целом. Когда границы накладывают на систему различные местные условия (например, перепады температур), существуют интенсивные переменные, представляющие среднее значение, а другие - градиенты или более высокие моменты. Последние представляют собой термодинамические силы, управляющие потоками обширных свойств через систему.

Можно показать, что преобразование Лежандра изменяет условие максимума энтропии (действительное при равновесии) в условии минимума расширенной функции Масье для стационарных состояний, независимо от того, находится ли оно в равновесии или нет.

Стационарные состояния, флуктуации и устойчивость

В термодинамике часто интересует стационарное состояние процесса, допускающее, что стационарное состояние включает возникновение непредсказуемых и экспериментально невоспроизводимых флуктуаций состояния системы. Колебания происходят из-за внутренних подпроцессов системы и из-за обмена веществом или энергией с окружением системы, что создает ограничения, определяющие процесс.

Если стационарное состояние процесса стабильно, то невоспроизводимые флуктуации включают в себя локальные кратковременные уменьшения энтропии. Воспроизводимая реакция системы состоит в том, чтобы снова увеличить энтропию до максимума за счет необратимых процессов: флуктуацию невозможно воспроизвести со значительной степенью вероятности. Колебания относительно стабильных стационарных состояний чрезвычайно малы, за исключением критических точек (Кондепуди и Пригожин 1998, стр. 323).[30] Устойчивое стационарное состояние имеет локальный максимум энтропии и является локально наиболее воспроизводимым состоянием системы. Есть теоремы о необратимом рассеянии флуктуаций. Здесь «локальный» означает локальный по отношению к абстрактному пространству термодинамических координат состояния системы.

Если стационарное состояние неустойчиво, то любое колебание почти наверняка вызовет практически взрывной выход системы из нестабильного стационарного состояния. Это может сопровождаться увеличением экспорта энтропии.

Локальное термодинамическое равновесие

Сфера современной неравновесной термодинамики не охватывает все физические процессы. Условием достоверности многих исследований неравновесной термодинамики материи является то, что они имеют дело с тем, что известно как локальное термодинамическое равновесие.

Весомая материя

Локальное термодинамическое равновесие вещества[8][15][24][25][26] (см. также Кейзер (1987)[27] означает, что концептуально, для изучения и анализа, система может быть пространственно и временно разделена на «ячейки» или «микрофазы» небольшого (бесконечно малого) размера, в которых классические условия термодинамического равновесия для вещества выполняются с хорошим приближением. Эти условия не выполняются, например, в очень разреженных газах, в которых столкновения молекул нечасты; и в пограничных слоях звезды, где излучение передает энергию в космос; и для взаимодействующих фермионов при очень низкой температуре, когда диссипативные процессы становятся неэффективными. Когда эти «ячейки» определены, каждый допускает, что материя и энергия могут свободно проходить между смежными «ячейками», достаточно медленно, чтобы покинуть «ячейки» в их соответствующих индивидуальных локальных термодинамических равновесиях по отношению к интенсивным переменным.

Здесь можно представить себе два «времен релаксации», разделенных по порядку величины.[31] Чем больше время релаксации, тем больше времени требуется для изменения макроскопической динамической структуры системы. На порядок меньше времени требуется, чтобы одна «ячейка» достигла локального термодинамического равновесия. Если эти два времени релаксации плохо разделены, то классическая неравновесная термодинамическая концепция локального термодинамического равновесия теряет свой смысл.[31] и другие подходы должны быть предложены, см. например Расширенная необратимая термодинамика. Например, в атмосфере скорость звука намного превышает скорость ветра; это способствует идее локального термодинамического равновесия вещества для изучения атмосферного теплообмена на высотах ниже 60 км, где распространяется звук, но не выше 100 км, где из-за малого количества межмолекулярных столкновений звук не распространяется.

Определение Милна в терминах радиационного равновесия

Эдвард А. Милн размышляя о звездах, дал определение «локального термодинамического равновесия» в терминах тепловое излучение из иметь значение в каждой маленькой местной «клетке».[32] Он определил «локальное термодинамическое равновесие» в «ячейке», потребовав, чтобы она макроскопически поглощала и спонтанно испускала излучение, как если бы она находилась в радиационном равновесии в полости на температура о материи «клетки». Тогда он строго подчиняется закону Кирхгофа о равенстве излучательной способности излучения и поглощающей способности с функцией источника черного тела. Ключом к локальному термодинамическому равновесию здесь является то, что скорость столкновений крупных частиц материи, таких как молекулы, должна намного превышать скорость создания и уничтожения фотонов.

Энтропия в развивающихся системах

На это указывает W.T. Grandy Jr,[33][34][35][36] эта энтропия, хотя ее можно определить для неравновесной системы, является - при ее строгом рассмотрении - только макроскопической величиной, которая относится ко всей системе, а не динамической переменной и, в общем, не действует как локальный потенциал, описывающий локальный физические силы. Однако при особых обстоятельствах можно образно представить, как если бы тепловые переменные вели себя как локальные физические силы. Приближение, составляющее классическую необратимую термодинамику, построено на этом метафорическом мышлении.

Эта точка зрения имеет много общего с концепцией и использованием энтропии в термомеханике континуума.[37][38][39][40] которые развивались совершенно независимо от статистической механики и принципов максимальной энтропии.

Энтропия в неравновесном состоянии

Для описания отклонения термодинамической системы от равновесия в дополнение к определяющим переменным которые используются для фиксации состояния равновесия, как было описано выше, набор переменных которые называются внутренние переменные были введены. Состояние равновесия считается стабильным и основным свойством внутренних переменных как меры неравновесный системы, есть ли их тенденция к исчезновению; локальный закон исчезновения можно записать как уравнение релаксации для каждой внутренней переменной

 

 

 

 

(1)

куда - время релаксации соответствующих переменных. Удобно рассматривать начальное значение равны нулю. Вышеприведенное уравнение справедливо для небольших отклонений от равновесия; Покровский рассматривает динамику внутренних переменных в общем случае.[41]

Энтропия системы в неравновесном состоянии является функцией общего набора переменных

 

 

 

 

(1)

Существенный вклад в термодинамику неравновесные системы был принесен Пригожин, когда он и его сотрудники исследовали системы химически реагирующих веществ. Стационарные состояния таких систем существуют за счет обмена частицами и энергией с окружающей средой. В разделе 8 третьей главы его книги,[42] Пригожин указал три вклада в изменение энтропии рассматриваемой системы при заданном объеме и постоянной температуре . Прирост энтропия можно рассчитать по формуле

 

 

 

 

(1)

Первый член в правой части уравнения представляет собой поток тепловой энергии в систему; последний термин - поток энергии в систему, идущий с потоком частиц вещества что может быть положительным или отрицательным, является химический потенциал по существу . Средний член в (1) обозначает рассеяние энергии (производство энтропии ) за счет релаксации внутренних переменных . В случае химически реагирующих веществ, который исследовал Пригожин, внутренние переменные оказываются мерами незавершенности химических реакций, то есть мерами того, насколько рассматриваемая система с химическими реакциями находится вне равновесия. Теорию можно обобщить,[43][41] рассматривать любое отклонение от состояния равновесия как внутреннюю переменную, так что мы рассматриваем набор внутренних переменных в уравнении (1) состоять из величин, определяющих не только степень полноты всех химических реакций, протекающих в системе, но также структуру системы, градиенты температуры, разницу концентраций веществ и так далее.

Потоки и силы

Фундаментальное соотношение классической равновесной термодинамики [44]

выражает изменение в энтропия системы в зависимости от интенсивных количеств температура , давление и химический потенциал и дифференциалов экстенсивных количеств энергия , объем и число частиц .

Следуя Онзагеру (1931, I),[10] расширим наши рассмотрения на термодинамически неравновесные системы. В качестве основы нам нужны локально определенные версии обширных макроскопических величин , и и интенсивных макроскопических величин , и .

Для классических исследований неравновесия мы рассмотрим некоторые новые локально определенные интенсивные макроскопические переменные. Мы можем, при подходящих условиях, получить эти новые переменные, локально определяя градиенты и плотности потока основных локально определенных макроскопических величин.

Такие локально определенные градиенты интенсивных макроскопических переменных называются «термодинамическими силами». Они «управляют» плотностями потока, которые, возможно, ошибочно называют «потоками», которые двойственны силам. Эти количества определены в статье о Взаимные отношения Онзагера.

Установление связи между такими силами и плотностями магнитного потока является проблемой статистической механики. Плотность потока () могут быть связаны. В статье о взаимных соотношениях Онзагера рассматривается устойчивый, близкий к стационарному, термодинамически неравновесный режим, динамика которого линейна по силам и плотностям потока.

В стационарных условиях такие силы и связанные с ними плотности потока по определению инвариантны во времени, как и локально определенные энтропия системы и скорость производства энтропии. Примечательно, что по мнению Илья Пригожин и другие, когда открытая система находится в условиях, которые позволяют ей достичь стабильного стационарного термодинамически неравновесного состояния, она организует себя так, чтобы минимизировать общее производство энтропии, определяемое локально. Это рассматривается ниже.

Хочется перейти к следующему этапу анализа - описанию поведения поверхностных и объемных интегралов от нестационарных локальных величин; эти интегралы представляют собой макроскопические потоки и дебиты. В целом динамика этих интегралов неадекватно описывается линейными уравнениями, хотя в частных случаях они могут быть описаны так.

Взаимные отношения Онзагера

Основная статья: Взаимные отношения Онзагера

Следуя разделу III Рэлея (1873 г.),[9] Онзагер (1931, I)[10] показал, что в режиме, когда оба потока () малы, а термодинамические силы () изменяются медленно, скорость создания энтропии является линейно связанный к потокам:

а потоки связаны с градиентом сил, параметризованным матрица коэффициентов, условно обозначаемых :

из чего следует, что:

В второй закон термодинамики требует, чтобы матрица быть положительно определенный. Статистическая механика Из соображений микроскопической обратимости динамики следует, что матрица является симметричный. Этот факт называется Взаимные отношения Онзагера.

Обобщение приведенных выше уравнений для скорости создания энтропии было дано Покровским.[41]

Предполагаемые экстремальные принципы для неравновесных процессов

Основная статья: Экстремальные принципы в неравновесной термодинамике

До недавнего времени перспективы применения полезных экстремальных принципов в этой области казались туманными. Николис (1999)[45] приходит к выводу, что одна модель динамики атмосферы имеет аттрактор, который не является режимом максимальной или минимальной диссипации; она говорит, что это, кажется, исключает существование глобального организационного принципа, и отмечает, что это до некоторой степени разочаровывает; она также указывает на сложность поиска термодинамически последовательной формы производства энтропии. Другой ведущий эксперт предлагает обширное обсуждение возможностей принципов экстремумов производства энтропии и рассеивания энергии: Глава 12 Grandy (2008)[2] очень осторожен и во многих случаях испытывает трудности с определением `` скорости производства внутренней энтропии '' и обнаруживает, что иногда для предсказания хода процесса экстремум величины, называемой скоростью диссипации энергии, может быть больше полезнее, чем скорость производства энтропии; это количество появилось в 1931 г.[10] зарождение этой темы. Другие авторы также считали, что перспективы общих глобальных экстремальных принципов туманны. К таким авторам относятся Глансдорф и Пригожин (1971), Лебон, Йоу и Касас-Васкес (2008) и Шилхави (1997). Существуют хорошие экспериментальные доказательства того, что тепловая конвекция не подчиняется экстремальным принципам для временной скорости производства энтропии.[46] Теоретический анализ показывает, что химические реакции не подчиняются экстремальным принципам для второго дифференциала скорости производства энтропии по времени.[47] При нынешнем уровне знаний разработка общего экстремального принципа кажется невозможной.

Приложения

Неравновесная термодинамика успешно применялась для описания биологических процессов, таких как сворачивание белка / разворачивание и перенос через мембраны.[48][49]Он также используется для описания динамики наночастиц, которая может находиться вне равновесия в системах, где задействованы катализ и электрохимическое преобразование.[50] Кроме того, идеи неравновесной термодинамики и информатической теории энтропии были адаптированы для описания общих экономических систем.[51][52]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Боденшац, Эберхард; Каннелл, Дэвид С .; де Брюн, Джон Р .; Экке, Роберт; Ху, Юй-Чжоу; Лерман, Кристина; Алерс, Гюнтер (декабрь 1992 г.). «Эксперименты на трех системах с невариационными аспектами». Physica D: нелинейные явления. 61 (1–4): 77–93. Дои:10.1016 / 0167-2789 (92) 90150-Л.
  2. ^ а б Гранди, W.T., младший (2008).
  3. ^ а б c d Лебон, Г., Джоу, Д., Касас-Васкес, Дж. (2008). Понимание неравновесной термодинамики: основы, приложения, границы, Springer-Verlag, Berlin, e-ISBN  978-3-540-74252-4.
  4. ^ а б Либ, Э., Ингвасон, Дж. (1999), стр. 5.
  5. ^ Дьярмати, I. (1967/1970), стр. 8–12.
  6. ^ Каллен, Х. (1960/1985), § 4–2.
  7. ^ Глансдорф П., Пригожин И. (1971), гл. II,§ 2.
  8. ^ а б c d Дьярмати, И. (1967/1970).
  9. ^ а б Стратт, Дж. У. (1871). «Некоторые общие теоремы, касающиеся колебаний». Труды Лондонского математического общества. s1-4: 357–368. Дои:10.1112 / плмс / с1-4.1.357.
  10. ^ а б c d е Онсагер, Л. (1931). «Взаимоотношения в необратимых процессах, I». Физический обзор. 37 (4): 405–426. Bibcode:1931ПхРв ... 37..405О. Дои:10.1103 / PhysRev.37.405.
  11. ^ а б c d Лавенда, Б. (1978). Термодинамика необратимых процессов., Макмиллан, Лондон, ISBN  0-333-21616-4.
  12. ^ Дьярмати, И. (1967/1970), страницы 4-14.
  13. ^ Зиглер, Х. (1983). Введение в термомеханику, Северная Голландия, Амстердам, ISBN  0-444-86503-9.
  14. ^ Балеску, Р. (1975). Равновесная и неравновесная статистическая механика, Wiley-Interscience, Нью-Йорк, ISBN  0-471-04600-0, Раздел 3.2, страницы 64-72.
  15. ^ а б c Глансдорф П., Пригожин И. (1971). Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций, Wiley-Interscience, Лондон, 1971 г., ISBN  0-471-30280-5.
  16. ^ а б Джоу Д., Касас-Васкес Дж., Лебон Г. (1993). Расширенная необратимая термодинамика, Springer, Берлин, ISBN  3-540-55874-8, ISBN  0-387-55874-8.
  17. ^ Eu, B.C. (2002).
  18. ^ Вильдт Р. (1972). «Термодинамика серой атмосферы. IV. Перенос энтропии и производство». Астрофизический журнал. 174: 69–77. Bibcode:1972ApJ ... 174 ... 69 Вт. Дои:10.1086/151469.
  19. ^ Эссекс, К. (1984a). «Радиация и необратимая термодинамика климата». Журнал атмосферных наук. 41 (12): 1985–1991. Bibcode:1984JAtS ... 41.1985E. Дои:10.1175 / 1520-0469 (1984) 041 <1985: RATITO> 2.0.CO; 2..
  20. ^ Эссекс, К. (1984b). «Минимальное производство энтропии в установившемся режиме и перенос излучения». Астрофизический журнал. 285: 279–293. Bibcode:1984ApJ ... 285..279E. Дои:10.1086/162504.
  21. ^ Эссекс, К. (1984c). «Излучение и нарушение билинейности в необратимой термодинамике необратимых процессов». Планетарная и космическая наука. 32 (8): 1035–1043. Bibcode:1984P & SS ... 32.1035E. Дои:10.1016/0032-0633(84)90060-6.
  22. ^ Пригожин И., Дефай Р. (1950/1954). Химическая термодинамика, Longmans, Green & Co, Лондон, стр. 1.
  23. ^ а б Де Гроот, С.Р., Мазур, П. (1962). Неравновесная термодинамика, Северная Голландия, Амстердам.
  24. ^ а б Балеску, Р. (1975). Равновесная и неравновесная статистическая механика, John Wiley & Sons, Нью-Йорк, ISBN  0-471-04600-0.
  25. ^ а б Михалас Д., Вейбель-Михалас Б. (1984). Основы радиационной гидродинамики, Oxford University Press, Нью-Йорк ISBN  0-19-503437-6.
  26. ^ а б Schloegl, Ф. (1989). Вероятность и тепло: основы термостатистики, Фрейдр. Vieweg & Sohn, Брауншвейг, ISBN  3-528-06343-2.
  27. ^ а б Кейзер, Дж. (1987). Статистическая термодинамика неравновесных процессов., Спрингер-Верлаг, Нью-Йорк, ISBN  0-387-96501-7.
  28. ^ Кондепуди, Д. (2008). Введение в современную термодинамику, Уайли, Чичестер Великобритания, ISBN  978-0-470-01598-8, страницы 333-338.
  29. ^ Coleman, B.D .; Нолл, В. (1963). «Термодинамика упругих материалов с теплопроводностью и вязкостью». Arch. Рацион. Мах. Анализ. 13 (1): 167–178. Bibcode:1963ArRMA..13..167C. Дои:10.1007 / bf01262690. S2CID  189793830.
  30. ^ Кондепуди Д., Пригожин И. (1998). Современная термодинамика. От тепловых двигателей к диссипативным конструкциям, Уайли, Чичестер, 1998, ISBN  0-471-97394-7.
  31. ^ а б Зубарев Д. Н.,(1974). Неравновесная статистическая термодинамика, перевод с русского П.Дж. Шеперд, Нью-Йорк, Консультант Бюро. ISBN  0-306-10895-X; ISBN  978-0-306-10895-2.
  32. ^ Милн, Э.А. (1928). «Влияние столкновений на монохроматическое радиационное равновесие». Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества. 88 (6): 493–502. Bibcode:1928МНРАС..88..493М. Дои:10.1093 / минрас / 88.6.493.
  33. ^ Гранди, W.T., младший (2004). «Эволюция во времени в макроскопических системах. I. Уравнения движения». Основы физики. 34 (1): 1. arXiv:cond-mat / 0303290. Bibcode:2004ФоФ ... 34 .... 1Г. Дои:10.1023 / B: FOOP.0000012007.06843.ed.
  34. ^ Гранди, W.T., младший (2004). «Эволюция во времени в макроскопических системах. II. Энтропия». Основы физики. 34 (1): 21. arXiv:cond-mat / 0303291. Bibcode:2004ФоФ ... 34 ... 21Г. Дои:10.1023 / B: FOOP.0000012008.36856.c1. S2CID  18573684.
  35. ^ Гранди, В. Т. младший (2004). "Эволюция времени в макроскопических системах. III: Избранные приложения". Основы физики. 34 (5): 771. Bibcode:2004ФоФ ... 34..771Г. Дои:10.1023 / B: FOOP.0000022187.45866.81. S2CID  119406182.
  36. ^ Grandy 2004 см. Также [1].
  37. ^ Трусделл, Клиффорд (1984). Рациональная термодинамика (2-е изд.). Springer.
  38. ^ Maugin, Жерар А. (2002). Сплошная термомеханика. Kluwer.
  39. ^ Гуртин, Мортон Э. (2010). Механика и термодинамика сплошных сред. Издательство Кембриджского университета.
  40. ^ Амендола, Джовамбаттиста (2012). Термодинамика материалов с памятью: теория и приложения. Springer.
  41. ^ а б c Покровский В.Н. (2013) Вывод основных соотношений неравновесной термодинамики. Hindawi Publishing Corporation: ISRN Thermodynamics, vol. 2013, ID статьи 906136, 9 стр. https://dx.doi.org/10.1155/2013/906136.
  42. ^ Пригожин, И. (1955/1961/1967). Введение в термодинамику необратимых процессов.. 3-е издание, Wiley Interscience, Нью-Йорк.
  43. ^ Покровский В.Н. (2005) Расширенная термодинамика в дискретно-системном подходе, Eur. J. Phys. т. 26, 769-781.
  44. ^ W. Greiner, L. Neise и H. Stöcker (1997), Термодинамика и статистическая механика (классическая теоретическая физика) , Спрингер-Верлаг, Нью-Йорк, П85, 91, 101,108,116, ISBN  0-387-94299-8.
  45. ^ Николис, К. (1999). «Производство энтропии и динамическая сложность в модели атмосферы низкого порядка». Ежеквартальный журнал Королевского метеорологического общества. 125 (557): 1859–1878. Bibcode:1999QJRMS.125.1859N. Дои:10.1002 / qj.49712555718.
  46. ^ Аттард, П. (2012). «Принцип оптимизации неравновесных фазовых переходов и образования структуры с результатами для тепловой конвекции». arXiv:1208.5105 [cond-mat.stat-mech ].
  47. ^ Keizer, J .; Фокс Р. (январь 1974 г.). "Проблемы относительно диапазона применимости критерия Глансдорфа-Пригожина устойчивости неравновесных состояний". PNAS. 71: 192–196. Дои:10.1073 / пнас.71.1.192. PMID  16592132.
  48. ^ Кимидзука, Хидео; Кайбара, Кодзуэ (сентябрь 1975 г.). "Nonequilibrium thermodynamics of ion transport through membranes". Journal of Colloid and Interface Science. 52 (3): 516–525. Дои:10.1016/0021-9797(75)90276-3.
  49. ^ Baranowski, B. (April 1991). "Non-equilibrium thermodynamics as applied to membrane transport". Журнал мембрановедения. 57 (2–3): 119–159. Дои:10.1016/S0376-7388(00)80675-4.
  50. ^ Bazant, Martin Z. (22 March 2013). "Theory of Chemical Kinetics and Charge Transfer based on Nonequilibrium Thermodynamics". Отчеты о химических исследованиях. 46 (5): 1144–1160. arXiv:1208.1587. Дои:10.1021/ar300145c. PMID  23520980. S2CID  10827167.
  51. ^ Покровский, Владимир (2011). Экономическая динамика. Теория общественного производства. https://www.springer.com/physics/complexity/book/978-94-007-2095-4: Спрингер, Дордрехт-Гейдельберг-Лондон-Нью-Йорк.CS1 maint: location (связь)
  52. ^ Chen, Jing (2015). The Unity of Science and Economics: A New Foundation of Economic Theory. https://www.springer.com/us/book/9781493934645: Springer.CS1 maint: location (связь)

Источники

  • Callen, H.B. (1960/1985). Термодинамика и введение в термостатистику, (1st edition 1960) 2nd edition 1985, Wiley, New York, ISBN  0-471-86256-8.
  • Eu, B.C. (2002). Generalized Thermodynamics. The Thermodynamics of Irreversible Processes and Generalized Hydrodynamics, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, ISBN  1-4020-0788-4.
  • Glansdorff, P., Prigogine, I. (1971). Thermodynamic Theory of Structure, Stability, and Fluctuations, Wiley-Interscience, London, 1971, ISBN  0-471-30280-5.
  • Grandy, W.T., Jr (2008). Entropy and the Time Evolution of Macroscopic Systems. Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0-19-954617-6.
  • Gyarmati, I. (1967/1970). Non-equilibrium Thermodynamics. Field Theory and Variational Principles, translated from the Hungarian (1967) by E. Gyarmati and W.F. Heinz, Springer, Berlin.
  • Lieb, E.H., Yngvason, J. (1999). 'The physics and mathematics of the second law of thermodynamics', Отчеты по физике, 310: 1–96. См. Также это.

дальнейшее чтение

  • Ziegler, Hans (1977): An introduction to Thermomechanics. North Holland, Amsterdam. ISBN  0-444-11080-1. Second edition (1983) ISBN  0-444-86503-9.
  • Kleidon, A., Lorenz, R.D., editors (2005). Non-equilibrium Thermodynamics and the Production of Entropy, Springer, Berlin. ISBN  3-540-22495-5.
  • Prigogine, I. (1955/1961/1967). Введение в термодинамику необратимых процессов.. 3-е издание, Wiley Interscience, Нью-Йорк.
  • Zubarev D. N. (1974): Nonequilibrium Statistical Thermodynamics. New York, Consultants Bureau. ISBN  0-306-10895-X; ISBN  978-0-306-10895-2.
  • Keizer, J. (1987). Statistical Thermodynamics of Nonequilibrium Processes, Спрингер-Верлаг, Нью-Йорк, ISBN  0-387-96501-7.
  • Zubarev D. N., Morozov V., Ropke G. (1996): Statistical Mechanics of Nonequilibrium Processes: Basic Concepts, Kinetic Theory. Джон Вили и сыновья. ISBN  3-05-501708-0.
  • Zubarev D. N., Morozov V., Ropke G. (1997): Statistical Mechanics of Nonequilibrium Processes: Relaxation and Hydrodynamic Processes. Джон Вили и сыновья. ISBN  3-527-40084-2.
  • Tuck, Adrian F. (2008). Atmospheric turbulence : a molecular dynamics perspective. Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0-19-923653-4.
  • Grandy, W.T., Jr (2008). Entropy and the Time Evolution of Macroscopic Systems. Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0-19-954617-6.
  • Kondepudi, D., Prigogine, I. (1998). Modern Thermodynamics: From Heat Engines to Dissipative Structures. John Wiley & Sons, Chichester. ISBN  0-471-97393-9.
  • de Groot S.R., Mazur P. (1984). Non-Equilibrium Thermodynamics (Дувр). ISBN  0-486-64741-2
  • Ramiro Augusto Salazar La Rotta. (2011). The Non-Equilibrium Thermodynamics, Perpetual

внешняя ссылка