Теорема Карно (термодинамика) - Википедия - Carnots theorem (thermodynamics)

Термодинамика
Классический Тепловой двигатель Карно
ветви Классический Статистический Химическая Квантовая термодинамика Равновесие  / Неравновесный
Законы Zeroth Первый Второй В третьих
Системы Состояние Уравнение состояния Идеальный газ Настоящий газ Состояние вопроса Равновесие Контрольный объем Инструменты Процессы Изобарический Изохорический Изотермический Адиабатический Изэнтропический Изентальпический Квазистатический Политропный Бесплатное расширение Обратимость Необратимость Необратимость Циклы Тепловые двигатели Тепловые насосы Тепловая эффективность
Свойства системы Примечание: Сопряженные переменные в курсив Диаграммы свойств Интенсивные и обширные свойства Функции процесса Работа Высокая температура Функции государства Температура  / Энтропия  (вступление ) Давление  / Объем Химический потенциал  / Номер частицы Качество пара Сниженные свойства
Свойства материала Базы данных недвижимости Удельная теплоемкость   ${ displaystyle c =}$ ${ displaystyle T}$ ${ displaystyle partial S}$ ${ displaystyle N}$ ${ displaystyle partial T}$ Сжимаемость   ${ displaystyle beta = -}$ ${ displaystyle 1}$ ${ displaystyle partial V}$ ${ displaystyle V}$ ${ displaystyle partial p}$ Тепловое расширение   ${ Displaystyle альфа =}$ ${ displaystyle 1}$ ${ displaystyle partial V}$ ${ displaystyle V}$ ${ displaystyle partial T}$
Уравнения Теорема Карно Теорема Клаузиуса Фундаментальное отношение Закон идеального газа Максвелл отношения Взаимные отношения Онзагера Уравнения Бриджмена Таблица термодинамических уравнений
Потенциал Свободная энергия Свободная энтропия Внутренняя энергия ${ Displaystyle U (S, V)}$ Энтальпия ${ Displaystyle H (S, p) = U + pV}$ Свободная энергия Гельмгольца ${ Displaystyle А (Т, В) = U-TS}$ Свободная энергия Гиббса ${ Displaystyle G (T, p) = H-TS}$
История Культура История Общий Энтропия Газовые законы Машины "вечный двигатель" Философия Энтропия и время Энтропия и жизнь Броуновская трещотка Демон Максвелла Парадокс тепловой смерти Парадокс лошмидта Синергетика Теории Теория калорийности Теория тепла Vis viva («живая сила») Механический эквивалент тепла Сила мотивации Ключевые публикации "Экспериментальное расследование Относительно ... тепла " "О равновесии Гетерогенные вещества " "Размышления о Движущая сила огня " Сроки Термодинамика Тепловые двигатели Изобразительное искусство Образование Термодинамическая поверхность Максвелла Энтропия как рассеивание энергии
Ученые Бернулли Больцман Карно Клапейрон Клаузиус Каратеодори Duhem Гиббс фон Гельмгольц Джоуль Максвелл фон Майер Онсагер Ренкин Смитон Шталь Томпсон Томсон ван дер Ваальс Waterston
Книга Категория

Теорема Карно, разработанный в 1824 г. Николя Леонар Сади Карно, также называемый Правило Карно, это принцип, определяющий пределы максимальной эффективности любого Тепловой двигатель можно получить. Эффективность двигателя Карно зависит исключительно от температуры горячего и холодного резервуаров.

Теорема Карно утверждает, что все тепловые двигатели между двумя тепловыми резервуарами менее эффективны, чем Тепловой двигатель Карно между одними и теми же резервуарами. Каждый тепловой двигатель Карно между парой тепловых резервуаров одинаково эффективен, независимо от используемого рабочего вещества или деталей работы.

Максимальный КПД - это соотношение разности температур между резервуарами и температуры горячего резервуара, выраженное уравнением ${ displaystyle eta _ { text {max}} = 1 - { frac {T _ { mathrm {C}}} {T _ { mathrm {H}}}}}$,куда Т_C и Т_ЧАС являются абсолютные температуры холодного и горячего резервуаров соответственно, а КПД ${ displaystyle eta}$ это отношение работы, проделанной двигателем, к теплу, отводимому из горячего резервуара.

Теорема Карно является следствием второй закон термодинамики. Исторически он был основан на современных теория калорий, и предшествовало установлению второго закона.^[1]

Доказательство

Невозможная ситуация: тепловая машина не может управлять менее эффективной (обратимой) тепловой машиной без нарушения второго закона термодинамики.

Доказательство теоремы Карно представляет собой доказательство от противного, или же сокращение до абсурда, как показано на рисунке, показывающем две тепловые машины, работающие между двумя резервуарами с разной температурой. Тепловой двигатель с большей эффективностью (${ displaystyle eta _ {M}}$) приводит в движение тепловую машину с меньшей эффективностью (${ displaystyle eta _ {L}}$), заставляя последний действовать как Тепловой насос. Эта пара двигателей не получает внешней энергии и работает исключительно за счет энергии, выделяемой при передаче тепла из горячего в холодный резервуар. Однако если ${ displaystyle eta _ {M}> eta _ {L}}$, то чистый тепловой поток будет направлен назад, т.е. в горячий резервуар:

${ displaystyle Q _ { text {hot}} ^ { text {out}} = Q <{ frac { eta _ {M}} { eta _ {L}}} Q = Q _ { text {hot }} ^ { text {in}}.}$

Принято считать, что это невозможно, потому что это нарушает второй закон термодинамики.

Начнем с проверки значений работы и теплового потока, изображенных на рисунке. Во-первых, мы должны указать на важный нюанс: двигатель с меньшей эффективностью (${ displaystyle eta _ {L}}$) приводится в действие как тепловой насос и, следовательно, должен быть обратимый двигатель.^{[нужна цитата ]} Если менее производительный двигатель (${ displaystyle eta _ {L}}$) не является обратимым, то устройство можно было бы построить, но выражения для работы и теплового потока, показанные на рисунке, были бы недействительными.

Ограничивая наше обсуждение случаями, когда engine (${ displaystyle eta _ {L}}$) имеет меньший КПД, чем двигатель (${ displaystyle eta _ {M}}$), мы можем упростить обозначения, приняв соглашение, что все символы, ${ displaystyle Q}$ и ${ displaystyle W}$ представлять неотрицательный величин (поскольку направление потока энергии никогда не меняет знак во всех случаях, когда ${ displaystyle eta _ {L} leqslant eta _ {M}}$). Для сохранения энергии необходимо, чтобы для каждого двигателя поступающая энергия ${ displaystyle E_ {in}}$, должна равняться выходящей энергии, ${ displaystyle E_ {out}}$:

${ displaystyle E _ { text {in}} ^ {M} = Q = (1- eta _ {M}) Q + eta _ {M} Q = E _ { text {out}} ^ {M}, }$

${ displaystyle E _ { text {in}} ^ {L} = eta _ {M} Q + eta _ {M} Q left ({ frac {1} { eta _ {L}}} - 1 right) = { frac { eta _ {M}} { eta _ {L}}} Q = E _ { text {out}} ^ {L},}$

Цифра также согласуется с определением эффективность в качестве ${ displaystyle eta = W / Q_ {h}}$ для обоих двигателей:

${ displaystyle eta _ {M} = { frac {W_ {M}} {Q_ {h} ^ {M}}} = { frac { eta _ {M} Q} {Q}} = eta _ {M},}$

${ displaystyle eta _ {L} = { frac {W_ {L}} {Q_ {h} ^ {L}}} = { frac { eta _ {M} Q} {{ frac { eta _ {M}} { eta _ {L}}} Q}} = eta _ {L}.}$

Может показаться странным, что гипотетический тепловой насос с низким КПД нарушает второй закон термодинамики, но добродетель для холодильных агрегатов не КПД, ${ displaystyle W / Q_ {h}}$, но коэффициент производительности (КС),^[2]который ${ displaystyle Q_ {c} / W}$. Реверсивный тепловой двигатель с низким термодинамическим КПД, ${ displaystyle W / Q_ {h}}$ доставляет больше тепла к горячему резервуару за определенный объем работы, когда он работает в качестве теплового насоса.

Установив, что значения теплового потока, показанные на рисунке, верны, теорема Карно может быть доказана для необратимых и обратимых тепловых двигателей.^[3]

Реверсивные двигатели

Чтобы убедиться, что каждый реверсивный двигатель, работающий между резервуарами ${ displaystyle T_ {1}}$ и ${ displaystyle T_ {2}}$ должны иметь одинаковый КПД, предположим, что два реверсивных тепловых двигателя имеют разные значения ${ displaystyle eta}$, и пусть более эффективный двигатель (M) управляет менее эффективным двигателем (L) в качестве теплового насоса. Как видно из рисунка, это приведет к тому, что тепло будет течь от холодного к горячему резервуару без какой-либо внешней работы или энергии, что нарушает второй закон термодинамики. Следовательно, оба (реверсивных) тепловых двигателя имеют одинаковый КПД, и мы заключаем, что:

Все реверсивные двигатели, работающие между одними и теми же двумя тепловыми резервуарами, имеют одинаковую эффективность.

Это важный результат, потому что он помогает установить Теорема Клаузиуса, откуда следует, что изменение энтропия уникален для всех обратимых процессов.,^[4]

${ displaystyle Delta S = int _ {a} ^ {b} { frac {dQ _ { text {rev}}} {T}},}$

по всем путям (от а к б в V-T Космос). Если бы этот интеграл не был независимым от пути, то энтропия S потеряла бы свой статус переменная состояния.^[5]

Необратимые двигатели

Если один из двигателей необратимый, это должен быть двигатель (M), расположенный так, чтобы он приводил в движение обратный ход менее эффективного, но реверсивного (L) двигателя. Но если этот необратимый двигатель более эффективен, чем реверсивный двигатель (т. Е. Если ${ displaystyle eta _ {M}> eta _ {L}}$), то нарушается второй закон термодинамики. А поскольку цикл Карно представляет собой реверсивный двигатель, у нас есть первая часть теоремы Карно:

Нет необратимого двигателя более эффективного, чем двигатель Карно, работающий между теми же двумя резервуарами.

Определение термодинамической температуры

КПД двигателя - это работа, разделенная на тепло, поступающее в систему или

${ displaystyle eta = { frac {w_ {cy}} {q_ {H}}} = { frac {q_ {H} -q_ {C}} {q_ {H}}} = 1 - { frac {q_ {C}} {q_ {H}}}}$

(1)

где w_Сай это работа, выполненная за цикл. Таким образом, эффективность зависит только от q_C/ q_ЧАС.

Поскольку все реверсивные двигатели, работающие между одними и теми же тепловыми резервуарами, одинаково эффективны, все реверсивные тепловые двигатели работают при разных температурах. Т₁ и Т₂ должен иметь одинаковую эффективность, то есть эффективность зависит только от двух температур:

${ displaystyle { frac {q_ {C}} {q_ {H}}} = f (T_ {H}, T_ {C})}$

(2)

Кроме того, реверсивный тепловой двигатель, работающий между температурами Т₁ и Т₃ должен иметь такую ​​же эффективность, как и цикл, состоящий из двух циклов, один между Т₁ и другая (промежуточная) температура Т₂, а второй между Т₂ и Т₃. Это может быть только в том случае, если

${ displaystyle f (T_ {1}, T_ {3}) = { frac {q_ {3}} {q_ {1}}} = { frac {q_ {2} q_ {3}} {q_ {1 } q_ {2}}} = f (T_ {1}, T_ {2}) f (T_ {2}, T_ {3}).}$

Специализируясь на случае, когда ${ displaystyle T_ {1}}$ фиксированная эталонная температура: температура тройной точки воды. Тогда для любого Т₂ и Т₃,

${ displaystyle f (T_ {2}, T_ {3}) = { frac {f (T_ {1}, T_ {3})} {f (T_ {1}, T_ {2})}} = { frac {273.16 cdot f (T_ {1}, T_ {3})} {273.16 cdot f (T_ {1}, T_ {2})}}.}.$

Следовательно, если термодинамическая температура определяется как

${ Displaystyle Т = 273,16 CDOT F (Т_ {1}, Т) ,}$

тогда функция, рассматриваемая как функция термодинамической температуры, имеет вид

${ displaystyle f (T_ {2}, T_ {3}) = { frac {T_ {3}} {T_ {2}}},}$

и эталонная температура Т₁ имеет значение 273,16. (Конечно, можно использовать любую эталонную температуру и любое положительное числовое значение - выбор здесь соответствует Кельвин шкала.)

Отсюда сразу следует, что

${ displaystyle { frac {q_ {C}} {q_ {H}}} = f (T_ {H}, T_ {C}) = { frac {T_ {C}} {T_ {H}}}}$

(3)

Подстановка уравнения 3 обратно в уравнение 1 дает соотношение для КПД по температуре:

${ displaystyle eta = 1 - { frac {q_ {C}} {q_ {H}}} = 1 - { frac {T_ {C}} {T_ {H}}}}$

(4)

Применимость к топливным элементам и батареям

С топливные элементы и батареи может генерировать полезную мощность, когда все компоненты системы имеют одинаковую температуру (${ displaystyle T = T_ {H} = T_ {C}}$), они явно не ограничиваются теоремой Карно, которая утверждает, что никакая мощность не может быть произведена, когда ${ displaystyle T_ {H} = T_ {C}}$. Это потому, что теорема Карно применима к двигателям, преобразующим тепловую энергию в работу, тогда как топливные элементы и батареи вместо этого преобразуют химическую энергию в работу.^[6] Тем не менее второй закон термодинамики по-прежнему предусматривает ограничения на преобразование энергии топливных элементов и батарей.^[7]

Рекомендации