Число Грасгофа - Grashof number

Эта статья может быть слишком техническим для большинства читателей, чтобы понять. Пожалуйста помогите улучшить это к сделать понятным для неспециалистов, не снимая технических деталей. (Август 2014 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В Число Грасгофа (Gr) это безразмерное число в динамика жидкостей и теплопередача что приблизительно соответствует соотношению плавучесть к вязкий сила, действующая на жидкость. Часто возникает при изучении ситуаций, связанных с естественная конвекция и аналогичен Число Рейнольдса.^[1] Считается, что он назван в честь Франц Грасхоф. Хотя эта группа терминов уже использовалась, она не была названа примерно до 1921 года, 28 лет спустя. Франц Грасхоф смерть. Не очень понятно, почему группировка была названа его именем. ^[2]

Определение

Теплопередача

Свободная конвекция вызывается изменением плотности жидкости из-за изменения температуры или градиента. Обычно плотность уменьшается из-за повышения температуры и вызывает подъем жидкости. Это движение вызвано плавучесть сила. Основная сила, сопротивляющаяся движению, - это вязкий сила. Число Грасгофа - это способ количественной оценки противостоящих сил.^[3]

Число Грасгофа:

${ displaystyle mathrm {Gr} _ {L} = { frac {g beta (T_ {s} -T _ { infty}) L ^ {3}} { nu ^ {2}}} ,}$ для вертикальных плоских пластин

${ displaystyle mathrm {Gr} _ {D} = { frac {g beta (T_ {s} -T _ { infty}) D ^ {3}} { nu ^ {2}}} ,}$ для труб

${ displaystyle mathrm {Gr} _ {D} = { frac {g beta (T_ {s} -T _ { infty}) D ^ {3}} { nu ^ {2}}} ,}$ для крутых тел

куда:

грамм является ускорение под действием силы тяжести Земли

β - коэффициент теплового расширения (примерно равен 1 /Т, для идеальных газов)

Т_s это температура поверхности

Т_∞ это основная температура

L это длина по вертикали

D это диаметр

ν это кинематическая вязкость.

В L и D нижние индексы указывают основу шкалы длины для числа Грасгофа.

Переход к турбулентному течению происходит в диапазоне 10⁸ L < 10⁹ для естественной конвекции от вертикальных плоских пластин. При более высоких числах Грасгофа пограничный слой становится турбулентным; при меньших числах Грасгофа пограничный слой является ламинарным и находится в диапазоне 10³ L < 10⁶.

Массообмен

Есть аналогичная форма Число Грасгофа используется в случаях естественной конвекции массообмен проблемы. В случае массопереноса естественная конвекция вызывается скорее градиентами концентрации, чем градиентами температуры.^[1]

${ displaystyle mathrm {Gr} _ {c} = { frac {g beta ^ {*} (C_ {a, s} -C_ {a, a}) L ^ {3}} { nu ^ { 2}}}}$

куда:

${ displaystyle beta ^ {*} = - { frac {1} { rho}} left ({ frac { partial rho} { partial C_ {a}}} right) _ {T, п}}$

и:

грамм является ускорение под действием силы тяжести Земли

C_{в качестве} это концентрация видов а на поверхности

C_{а, а} это концентрация видов а в окружающей среде

L характерная длина

ν кинематическая вязкость

ρ это жидкость плотность

C_а это концентрация видов а

Т это температура (постоянная)

п - давление (постоянное).

Связь с другими безразмерными числами

В Число Рэлея, показанное ниже, представляет собой безразмерное число, которое характеризует проблемы конвекции при теплопередаче. Существует критическое значение для Число Рэлея, выше которого происходит движение жидкости.^[3]

${ Displaystyle mathrm {Ra} _ {x} = mathrm {Gr} _ {x} mathrm {Pr}}$

Отношение числа Грасгофа к квадрату Число Рейнольдса может использоваться для определения яf принудительной или свободной конвекцией можно пренебречь для системы, или если есть их комбинация. Это характеристическое соотношение называется Число Ричардсона (Ri). Если соотношение намного меньше единицы, свободную конвекцию можно не учитывать. Если соотношение намного больше единицы, принудительную конвекцию можно игнорировать. В противном случае режим комбинированной принудительной и свободной конвекции.^[1]

${ Displaystyle mathrm {Ri} = { frac { mathrm {Gr}} { mathrm {Re} ^ {2}}} gg 1}$ принудительную конвекцию можно игнорировать

${ Displaystyle mathrm {Ri} = { frac { mathrm {Gr}} { mathrm {Re} ^ {2}}} приблизительно 1}$ комбинированная принудительная и свободная конвекция

${ Displaystyle mathrm {Ri} = { frac { mathrm {Gr}} { mathrm {Re} ^ {2}}} ll 1}$ свободной конвекцией можно пренебречь

Вывод

Первым шагом к вычислению числа Грасгофа является изменение коэффициента объемного расширения, ${ displaystyle mathrm { beta}}$ следующее.

${ displaystyle beta = { frac {1} {v}} left ({ frac { partial v} { partial T}} right) _ {p} = { frac {-1} { rho}} left ({ frac { partial rho} { partial T}} right) _ {p}}$

В ${ displaystyle v}$ в приведенном выше уравнении, которое представляет удельный объем, не то же самое, что ${ displaystyle v}$ в последующих разделах этого вывода, который будет представлять скорость. Это частное отношение коэффициента объемного расширения, ${ displaystyle mathrm { beta}}$, относительно плотности жидкости, ${ Displaystyle mathrm { rho}}$при постоянном давлении можно переписать как

${ Displaystyle rho = rho _ {0} (1- бета Delta T)}$

куда:

${ displaystyle rho _ {0}}$ объемная плотность жидкости

${ displaystyle rho}$ - плотность пограничного слоя

${ displaystyle Delta T = (T-T_ {0})}$, разница температур между пограничным слоем и объемной жидкостью.

Отсюда есть два разных способа найти число Грасгофа. Одно включает уравнение энергии, а другое включает выталкивающую силу из-за разницы в плотности между пограничным слоем и объемной жидкостью.

Уравнение энергии

Это обсуждение с участием уравнения энергии относится к вращательно-симметричному потоку. Этот анализ будет учитывать влияние ускорения свободного падения на поток и теплопередачу. Следующие математические уравнения применимы как к вращательно-симметричному потоку, так и к двумерному плоскому потоку.

${ displaystyle { frac { partial} { partial s}} ( rho ur_ {0} ^ {n}) + { frac { partial} { partial y}} ( rho vr_ {0} ^ {n}) = 0}$

куда:

${ displaystyle s}$ - направление вращения, т.е. направление параллельно поверхности

${ displaystyle u}$ тангенциальная скорость, т.е. скорость, параллельная поверхности

${ displaystyle y}$ - плоское направление, т.е. направление, нормальное к поверхности

${ displaystyle v}$ - нормальная скорость, т.е. скорость, нормальная к поверхности

${ displaystyle r_ {0}}$ это радиус.

В этом уравнении верхний индекс n позволяет отличить осесимметричный поток от плоского потока. Верны следующие характеристики этого уравнения.

${ displaystyle n}$ = 1: осесимметричный поток

${ displaystyle n}$ = 0: плоский, двумерный поток

${ displaystyle g}$ гравитационное ускорение

Это уравнение расширяется до следующего с добавлением физических свойств жидкости:

${ displaystyle rho left (u { frac { partial u} { partial s}} + v { frac { partial u} { partial y}} right) = { frac { partial} { partial y}} left ( mu { frac { partial u} { partial y}} right) - { frac {dp} {ds}} + rho g.}$

Отсюда мы можем еще больше упростить уравнение импульса, установив объемную скорость жидкости равной 0 (ты = 0).

${ displaystyle { frac {dp} {ds}} = rho _ {0} g}$

Это соотношение показывает, что градиент давления - это просто произведение объемной плотности жидкости и гравитационного ускорения. Следующим шагом является включение градиента давления в уравнение импульса.

${ displaystyle rho left (u { frac { partial u} { partial s}} + v { frac { partial u} { partial y}} right) = mu left ({ frac { partial ^ {2} u} { partial y ^ {2}}} right) + rho g beta (T-T_ {0})}$

Дальнейшее упрощение уравнения количества движения происходит путем замены коэффициента объемного расширения, соотношения плотности ${ Displaystyle rho _ {0} - rho = beta rho (Т-Т_ {0})}$, найденное выше, и кинематическая зависимость вязкости, ${ displaystyle nu = { frac { mu} { rho}}}$, в уравнение импульса.

${ displaystyle u left ({ frac { partial u} { partial s}} right) + v left ({ frac { partial v} { partial y}} right) = nu left ({ frac { partial ^ {2} u} { partial y ^ {2}}} right) + g beta (T-T_ {0})}$

Чтобы найти число Грасгофа из этой точки, предыдущее уравнение должно быть безразмерным. Это означает, что каждая переменная в уравнении не должна иметь размерности, а вместо этого должна быть характеристикой отношения к геометрии и постановке задачи. Это делается путем деления каждой переменной на соответствующие постоянные величины. Длины делятся на характерную длину, ${ displaystyle L_ {c}}$. Скорости делятся на соответствующие опорные скорости, ${ displaystyle V}$, что с учетом числа Рейнольдса дает ${ displaystyle V = { frac { mathrm {Re} _ {L} nu} {L_ {c}}}}$. Температуры делятся на соответствующую разницу температур, ${ displaystyle (T_ {s} -T_ {0})}$. Эти безразмерные параметры выглядят следующим образом:

${ displaystyle s ^ {*} = { frac {s} {L_ {c}}}}$,

${ displaystyle y ^ {*} = { frac {y} {L_ {c}}}}$,

${ displaystyle u ^ {*} = { frac {u} {V}}}$,

${ displaystyle v ^ {*} = { frac {v} {V}}}$,

${ displaystyle T ^ {*} = { frac {(T-T_ {0})} {(T_ {s} -T_ {0})}}}$.

Звездочки обозначают безразмерный параметр. Объединение этих безразмерных уравнений с уравнениями импульса дает следующее упрощенное уравнение.

${ displaystyle u ^ {*} { frac { partial u ^ {*}} { partial s ^ {*}}} + v ^ {*} { frac { partial u ^ {*}} { частичный y ^ {*}}} = left [{ frac {g beta (T_ {s} -T_ {0}) L_ {c} ^ {3}} { nu ^ {2}}}} right ] { frac {T ^ {*}} { mathrm {Re} _ {L} ^ {2}}} + { frac {1} { mathrm {Re} _ {L}}} { frac { partial ^ {2} u ^ {*}} { partial {y ^ {*}} ^ {2}}}}$

куда:

${ displaystyle T_ {s}}$ это температура поверхности

${ displaystyle T_ {0}}$ температура жидкости в объеме

${ displaystyle L_ {c}}$ - характерная длина.

Безразмерный параметр, заключенный в скобки в предыдущем уравнении, известен как число Грасгофа:

${ displaystyle mathrm {Gr} = { frac {g beta (T_ {s} -T_ {0}) L_ {c} ^ {3}} { nu ^ {2}}}.}$

Теорема Букингема π

Другая форма размерного анализа, которая приводит к числу Грасгофа, известна как Теорема Букингема π. Этот метод учитывает выталкивающую силу на единицу объема, ${ displaystyle F_ {b}}$ из-за разницы плотностей в пограничном слое и в объеме жидкости.

${ displaystyle F_ {b} = ( rho - rho _ {0}) g}$

Этим уравнением можно манипулировать, чтобы получить

${ displaystyle F_ {b} = beta g rho _ {0} Delta T.}$

Список переменных, используемых в π-методе Бакингема, вместе с их символами и размерами приведен ниже.

Переменная	Символ	Размеры
Значительная длина	${ displaystyle L}$	${ Displaystyle mathrm {L}}$
Вязкость жидкости	${ displaystyle mu}$	${ Displaystyle mathrm { frac {M} {Lt}}}$
Теплоемкость жидкости	${ displaystyle c_ {p}}$	${ displaystyle mathrm { frac {Q} {MT}}}$
Теплопроводность жидкости	${ displaystyle k}$	${ displaystyle mathrm { frac {Q} {LtT}}}$
Коэффициент объемного расширения	${ displaystyle beta}$	${ displaystyle mathrm { frac {1} {T}}}$
Гравитационное ускорение	${ displaystyle g}$	${ Displaystyle mathrm { frac {L} {т ^ {2}}}}$
Разница температур	${ displaystyle Delta T}$	${ Displaystyle mathrm {T}}$
Коэффициент теплопередачи	${ displaystyle h}$	${ displaystyle mathrm { frac {Q} {L ^ {2} tT}}}$

Что касается Теорема Букингема π имеется 9 - 5 = 4 безразмерные группы. выбирать L, ${ displaystyle mu,}$ k, грамм и ${ displaystyle beta}$ как ссылочные переменные. Таким образом ${ displaystyle pi}$ группы следующие:

${ displaystyle pi _ {1} = L ^ {a} mu ^ {b} k ^ {c} beta ^ {d} g ^ {e} c_ {p}}$,

${ displaystyle pi _ {2} = L ^ {f} mu ^ {g} k ^ {h} beta ^ {i} g ^ {j} rho}$,

${ displaystyle pi _ {3} = L ^ {k} mu ^ {l} k ^ {m} beta ^ {n} g ^ {o} Delta T}$,

${ displaystyle pi _ {4} = L ^ {q} mu ^ {r} k ^ {s} beta ^ {t} g ^ {u} h}$.

Решая эти ${ displaystyle pi}$ группы дает:

${ displaystyle pi _ {1} = { frac { mu (c_ {p})} {k}} = mathrm {Pr}}$,

${ displaystyle pi _ {2} = { frac {l ^ {3} g rho ^ {2}} { mu ^ {2}}}}$,

${ displaystyle pi _ {3} = beta Delta T}$,

${ displaystyle pi _ {4} = { frac {hL} {k}} = mathrm {Nu}}$

Из двух групп ${ displaystyle pi _ {2}}$ и ${ displaystyle pi _ {3},}$ продукт образует число Грасгофа:

${ displaystyle pi _ {2} pi _ {3} = { frac { beta g rho ^ {2} Delta TL ^ {3}} { mu ^ {2}}} = mathrm { Gr}.}$

Принимая ${ displaystyle nu = { frac { mu} { rho}}}$ и ${ displaystyle Delta T = (T_ {s} -T_ {0})}$ Предыдущее уравнение можно представить как тот же результат, получая число Грасгофа из уравнения энергии.

${ displaystyle mathrm {Gr} = { frac { beta g Delta TL ^ {3}} { nu ^ {2}}}}$

При принудительной конвекции Число Рейнольдса управляет потоком жидкости. Но при естественной конвекции число Грасгофа является безразмерным параметром, определяющим течение жидкости. Использование уравнения энергии и выталкивающей силы в сочетании с анализом размеров дает два разных способа получения числа Грасгофа.

Влияние числа Грасгофа на поток различных жидкостей

В недавнем исследовании, посвященном влиянию числа Грасгофа на поток различных жидкостей, вызванный конвекцией по различным поверхностям. ^[4] Используя наклон линии линейной регрессии через точки данных, можно сделать вывод, что увеличение значения числа Грасгофа или любого параметра, связанного с плавучестью, подразумевает повышение температуры стенки, и это делает связь (и) между жидкостью, чтобы стать слабее, прочность внутреннего трения, чтобы уменьшиться, сила тяжести становится достаточно сильной (т.е. делает удельный вес заметно различающимся между непосредственными слоями жидкости, примыкающими к стенке). Влияние параметра плавучести очень значимо в ламинарном потоке в пограничном слое, сформированном на вертикально движущемся цилиндре. Это возможно только при учете заданной температуры поверхности (PST) и заданного теплового потока через стенку (WHF). Можно сделать вывод, что параметр плавучести оказывает незначительное положительное влияние на местное число Нуссельта. Это верно только в том случае, если величина числа Прандтля мала или учитывается заданный поток тепла через стенку (WHF). Число Шервуда, число Беджана, образование энтропии, число Стентона и градиент давления увеличивают свойства параметра, связанного с плавучестью, в то время как профили концентрации, сила трения и подвижные микроорганизмы уменьшают свойства.

Рекомендации