Число Рэлея - Rayleigh number

В механика жидкости, то Число Рэлея (Ра) для жидкости является безразмерное число связанный с потоком, управляемым плавучестью, также известный как свободная или естественная конвекция.^[1][2][3] Он характеризует режим течения жидкости:^[4] значение в определенном нижнем диапазоне обозначает ламинарный поток; значение в более высоком диапазоне, турбулентный поток. Ниже определенного критического значения движение жидкости отсутствует, и передача тепла осуществляется за счет проводимость а не конвекция.

Число Рэлея определяется как произведение Число Грасгофа, который описывает взаимосвязь между плавучесть и вязкость внутри жидкости, и Число Прандтля, который описывает связь между коэффициентами диффузии по импульсу и температуропроводностью.^[3][2] Следовательно, его также можно рассматривать как отношение сил плавучести и вязкости, умноженное на отношение количества движения и температуропроводности. Это тесно связано с Число Нуссельта.^[4]

Для большинства инженерных целей число Рэлея велико, где-то около 10⁶ до 10⁸. Он назван в честь Лорд Рэйли, который описал связь свойства с поведением жидкости.^[5]

Вывод

Число Рэлея описывает поведение жидкостей (например, воды или воздуха), когда массовая плотность жидкости неоднородна. Разница в плотности обычно вызвана разницей температур. Обычно жидкость расширяется и становится менее плотной при нагревании. Гравитация заставляет более плотные части жидкости опускаться, что называется конвекция. Лорд Рэйли учился^[1] случай Конвекция Рэлея-Бенара.^[6] Когда число Рэлея Ra ниже критического значения для жидкости, потока нет и теплопередача осуществляется исключительно за счет проводимость; когда оно превышает это значение, тепло передается за счет естественной конвекции.^[2]

Когда разница в плотности массы вызвана разницей температур, Ra, по определению, является отношением шкалы времени для диффузионного переноса тепла к шкале времени для конвективного переноса тепла со скоростью ${ displaystyle u}$:^[3]

${ displaystyle mathrm {Ra} = { frac { mbox {шкала времени для переноса тепла посредством диффузии}} {{ mbox {шкала времени для переноса тепла посредством конвекции на скорости}} ~ u}}.}$

Это означает, что число Рэлея является типом^[3] из Число Пекле. Для объема жидкости размером ${ displaystyle l}$ во всех трех измерениях и разнице плотности массы ${ displaystyle Delta rho}$сила тяжести порядка ${ displaystyle Delta rho l ^ {3} g}$, где ${ displaystyle g}$ ускорение свободного падения. От Уравнение Стокса, при опускании объема жидкости вязкое сопротивление порядка ${ displaystyle eta lu}$, где ${ displaystyle eta}$ это динамическая вязкость жидкости. Когда эти две силы уравновешены, скорость ${ displaystyle u sim Delta rho l ^ {2} g / eta}$. Таким образом, масштаб времени для транспортировки по потоку составляет ${ displaystyle l / u sim eta / Delta rho lg}$. Шкала времени для термодиффузии на расстоянии ${ displaystyle l}$ является ${ displaystyle l ^ {2} / alpha}$, где ${ displaystyle alpha}$ это температуропроводность. Таким образом, число Рэлея Ra равно

${ displaystyle mathrm {Ra} = { frac {l ^ {2} / alpha} { eta / Delta rho lg}} = { frac { Delta rho l ^ {3} g} { eta alpha}} = { frac { rho beta Delta Tl ^ {3} g} { eta alpha}}}$

где мы аппроксимировали разность плотностей ${ Displaystyle Delta rho = rho beta Delta T}$ для жидкости средней массовой плотности ${ displaystyle rho}$, коэффициент теплового расширения ${ displaystyle beta}$ и разница температур ${ displaystyle Delta T}$ на расстоянии ${ displaystyle l}$.

Число Рэлея можно записать как произведение Число Грасгофа и Число Прандтля:^[3][2]

${ displaystyle mathrm {Ra} = mathrm {Gr} mathrm {Pr}.}$

Классическое определение

Для свободная конвекция возле вертикальной стены число Рэлея определяется как:

${ displaystyle mathrm {Ra} _ {x} = { frac {g beta} { nu alpha}} (T_ {s} -T _ { infty}) x ^ {3} = mathrm {Gr } _ {x} mathrm {Pr}}$

где:

Икс характерная длина

Ра_Икс - число Рэлея для характерной длины Икс

г ускорение свободного падения

β это коэффициент теплового расширения (равно 1 /Т, для идеальных газов, где Т абсолютная температура).

${ displaystyle nu}$ это кинематическая вязкость

α это температуропроводность

Т_s это температура поверхности

Т_∞ - температура покоя (температура жидкости вдали от поверхности объекта)

Gr_Икс это Число Грасгофа для характерной длины Икс

Pr - это Число Прандтля

Как указано выше, свойства жидкости Pr, ν, α и β оцениваются на температура пленки, который определяется как:

${ displaystyle T_ {f} = { frac {T_ {s} + T _ { infty}} {2}}.}$

Для равномерного потока нагрева стенки модифицированное число Рэлея определяется как:

${ displaystyle mathrm {Ra} _ {x} ^ {*} = { frac {g beta q '' _ {o}} { nu alpha k}} x ^ {4}}$

где:

q "_о - однородный поверхностный тепловой поток

k - теплопроводность.^[7]

Другие приложения

Затвердевающие сплавы

Число Рэлея также можно использовать в качестве критерия для прогнозирования конвективных нестабильностей, таких как А-сегрегирует, в мягкой зоне затвердевающего сплава. Число Рэлея мягкой зоны определяется как:

${ displaystyle mathrm {Ra} = { frac {{ frac { Delta rho} { rho _ {0}}} g { bar {K}} L} { alpha nu}} = { frac {{ frac { Delta rho} { rho _ {0}}} g { bar {K}}} {R nu}}}$

где:

K - средняя проницаемость (начальной порции кашицы)

L - характерный масштаб длины

α коэффициент температуропроводности

ν кинематическая вязкость

р - скорость затвердевания или изотермы.^[8]

Прогнозируется, что A-сегрегаты образуются, когда число Рэлея превышает определенное критическое значение. Это критическое значение не зависит от состава сплава, и это главное преимущество критерия числа Рэлея по сравнению с другими критериями для прогнозирования конвективной неустойчивости, такими как критерий Сузуки.

Torabi Rad et al. показал, что для стальных сплавов критическое число Рэлея равно 17.^[8] Пикеринг и др. исследовали критерий Тораби Рэда и дополнительно подтвердили его эффективность. Были также разработаны критические числа Рэлея для суперсплавов на основе свинца и олова и никеля.^[9]

Пористая среда

Приведенное выше число Рэлея предназначено для конвекции в объемной жидкости, такой как воздух или вода, но конвекция также может возникать, когда жидкость находится внутри и заполняет пористую среду, например пористую породу, насыщенную водой.^[10] Затем число Рэлея, иногда называемое Число Рэлея-Дарси, это отличается. В объемной жидкости, т.е. не в пористой среде, из Уравнение Стокса, скорость падения домена размером ${ displaystyle l}$ жидкости ${ displaystyle u sim Delta rho l ^ {2} g / eta}$. В пористой среде это выражение заменяется выражением из Закон Дарси ${ displaystyle u sim Delta rho кг / eta}$, с участием ${ displaystyle k}$ проницаемость пористой среды. Тогда число Рэлея или Рэлея-Дарси равно

${ displaystyle mathrm {Ra} = { frac { rho beta Delta Tklg} { eta alpha}}}$

Это также относится к А-сегрегирует, в мягкой зоне затвердевающего сплава.^[11]

Геофизические приложения

В геофизика, число Рэлея имеет фундаментальное значение: оно указывает на наличие и силу конвекции внутри жидкого тела, такого как Мантия земли. Мантия представляет собой твердое тело, которое в геологических масштабах времени ведет себя как жидкость. Число Рэлея для мантии Земли только за счет внутреннего нагрева Ra_ЧАС, дан кем-то:

${ displaystyle mathrm {Ra} _ {H} = { frac {g rho _ {0} ^ {2} beta HD ^ {5}} { eta alpha k}}}$

где:

ЧАС это скорость радиогенное тепло производство на единицу массы

η это динамическая вязкость

k это теплопроводность

D это глубина мантия.^[12]

Число Рэлея для придонного нагрева мантии от ядра, Ra_Т, также можно определить как:

${ displaystyle mathrm {Ra} _ {T} = { frac { rho _ {0} ^ {2} g beta Delta T_ {sa} D ^ {3} C_ {P}} { eta k }}}$

где:

ΔТ_са - суперадиабатическая разница температур между эталонной температурой мантии и граница ядро ​​– мантия

C_п это удельная теплоемкость при постоянном давлении.^[12]

Высокие значения для мантии Земли указывают на то, что конвекция внутри Земли сильна и изменяется во времени, и что конвекция ответственна за почти все тепло, переносимое из глубоких недр к поверхности.

Смотрите также

• Число Грасгофа
• Число Прандтля
• Число Рейнольдса
• Число Пекле
• Число Нуссельта
• Конвекция Рэлея-Бенара

Заметки

использованная литература

• Turcotte, D .; Шуберт, Г. (2002). Геодинамика (2-е изд.). Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-66186-7.

внешние ссылки

• Калькулятор числа Рэлея