Гавайская серьга - Hawaiian earring

Гавайская серьга. Показаны только десять самых больших кругов.

В математика, то Гавайская серьга ${ Displaystyle mathbb {H}}$ это топологическое пространство определяется союз кругов в Евклидова плоскость ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$ с центром ${ displaystyle left ({ tfrac {1} {n}}, 0 right)}$ и радиус ${ displaystyle { tfrac {1} {n}}}$ за ${ Displaystyle п = 1,2,3, ldots}$ наделенный топология подпространства:

{ displaystyle mathbb {H} = bigcup _ {n = 1} ^ { infty} left {(x, y) in mathbb {R} ^ {2} mid left (x- { frac {1} {n}} right) ^ {2} + y ^ {2} = left ({ frac {1} {n}} right) ^ {2} right }}

Космос ${ Displaystyle mathbb {H}}$ является гомеоморфный к одноточечная компактификация объединения счетного семейства непересекающихся открытые интервалы.

Гавайская серьга - это одномерный, компактный, локально соединенный путём метризуемое пространство. Несмотря на то что ${ Displaystyle mathbb {H}}$ локально гомеоморфен ${ Displaystyle mathbb {R}}$ во всех не исходных точках, ${ Displaystyle mathbb {H}}$ не является полулокально односвязный в ${ displaystyle (0,0)}$ . Следовательно, ${ Displaystyle mathbb {H}}$ не имеет односвязного покрывающего пространства и обычно приводится как простейший пример пространства с таким усложнением.

Гавайская серьга очень похожа на сумма клина счетного бесконечного числа кругов; это Роза с бесконечно большим числом лепестков, но эти два пространства не гомеоморфны. Разница между их топологиями видна в том факте, что в гавайской серьге каждая открытая окрестность точки пересечения окружностей содержит все, кроме конечного числа окружностей ( $ε$ -бол вокруг $(0, 0)$ содержит каждый круг, радиус которого меньше, чем $ε /2$ ); в розе окрестность точки пересечения может не содержать полностью ни одной из окружностей. Вдобавок роза не компактна: дополнение выделенной точки представляет собой бесконечное объединение открытых интервалов; к ним добавить небольшую открытую окрестность выделенной точки, чтобы получить открытая крышка без конечного дополнительного покрытия.

Фундаментальная группа

Гавайская серьга не является ни односвязной, ни полулокально односвязной, поскольку для всех ${ Displaystyle п geq 1,}$ петля ${ displaystyle ell _ {n}}$ параметризация $п$ -й круг не гомотопен тривиальной петле. Таким образом, ${ Displaystyle mathbb {H}}$ имеет нетривиальный фундаментальная группа ${ Displaystyle G = pi _ {1} ( mathbb {H}, (0,0)),}$ иногда упоминается как Гавайская серьга группа. Группа гавайских серег ${ displaystyle G}$ бесчисленное множество, и это не свободная группа. Тем не мение, ${ displaystyle G}$ локально свободна в том смысле, что любая конечно порожденная подгруппа группы ${ displaystyle G}$ бесплатно.

Гомотопические классы индивидуальных петель ${ displaystyle ell _ {n}}$ генерировать свободная группа ${ displaystyle langle [ ell _ {n}] mid n geq 1 rangle}$ на счетно бесконечном числе образующих, образующем собственную подгруппу ${ displaystyle G}$ . Бесчисленное множество других элементов ${ displaystyle G}$ возникают из петель, изображение которых не содержится в конечном числе кругов гавайской серьги; на самом деле некоторые из них сюръективны. Например, путь, который на отрезке ${ displaystyle [2 ^ {- n}, 2 ^ {- n + 1}]}$ обходит $п$ -й круг. В более общем смысле можно образовать бесконечное количество произведений петель ${ displaystyle ell _ {n}}$ индексируется по любому счетному линейному порядку при условии, что для каждого ${ Displaystyle п geq 1}$ , петля ${ displaystyle ell _ {n}}$ и его обратная сторона появляется в произведении только конечное число раз.

Это результат Джон Морган и Ян Моррисон, что ${ displaystyle G}$ встраивает в обратный предел ${ displaystyle varprojlim F_ {n}}$ свободных групп с $п$ генераторы, ${ displaystyle F_ {n}}$ , где карта связи из ${ displaystyle F_ {n}}$ к ${ displaystyle F_ {n-1}}$ просто убивает последний генератор ${ displaystyle F_ {n}}$ . Тем не мение, ${ displaystyle G}$ является собственной подгруппой обратного предела, поскольку каждая петля в ${ Displaystyle mathbb {H}}$ может пересечь каждый круг ${ Displaystyle mathbb {H}}$ только конечное число раз. Пример элемента обратного предела, не соответствующего элементу ${ displaystyle G}$ является бесконечным произведением коммутаторов ${ displaystyle prod _ {n = 2} ^ { infty} [ ell _ {1} ell _ {n} ell _ {1} ^ {- 1} ell _ {n} ^ {- 1 }]}$ , которая формально выглядит как последовательность ${ displaystyle left (1, [ ell _ {1}] [ ell _ {2}] [ ell _ {1}] ^ {- 1} [ ell _ {2}] ^ {- 1} , [ ell _ {1}] [ ell _ {2}] [ ell _ {1}] ^ {- 1} [ ell _ {2}] ^ {- 1} [ ell _ {1} ] [ ell _ {3}] [ ell _ {1}] ^ {- 1} [ ell _ {3}] ^ {- 1}, dots right)}$ в обратном пределе ${ displaystyle varprojlim F_ {n}}$ .

Первые сингулярные гомологии

Кацуя Эда и Казухиро Кавамура доказали, что абелианизация из ${ displaystyle G,}$ и поэтому первый группа особых гомологий ${ Displaystyle H_ {1} ( mathbb {H})}$ изоморфна группе

${ displaystyle left ( prod _ {i = 1} ^ { infty} mathbb {Z} right) oplus left ( prod _ {i = 1} ^ { infty} mathbb {Z} { Big /} bigoplus _ {i = 1} ^ { infty} mathbb {Z} right)}$ .

Первое слагаемое ${ Displaystyle prod _ {я = 1} ^ { infty} mathbb {Z},}$ это прямой продукт бесконечно много копий бесконечная циклическая группа (в Группа Бэра – Спекера ). Этот множитель представляет особые классы гомологий петель, не имеющих числа витков ${ displaystyle 0}$ вокруг каждого круга ${ Displaystyle mathbb {H}}$ и именно первый Чех Сингулярная группа гомологий ${ displaystyle { check {H}} _ {1} ( mathbb {H})}$ . Кроме того, ${ Displaystyle prod _ {я = 1} ^ { infty} mathbb {Z},}$ можно рассматривать как бесконечная абелианизация из ${ displaystyle G}$ , поскольку каждый элемент ядра естественного гомоморфизма ${ Displaystyle G to prod _ {я = 1} ^ { infty} mathbb {Z}}$ представляет собой бесконечное произведение коммутаторов. Второе слагаемое ${ Displaystyle H_ {1} ( mathbb {H})}$ состоит из классов гомологии, представленных петлями, число витков которых вокруг каждого круга ${ Displaystyle mathbb {H}}$ равен нулю, т.е. ядро естественного гомоморфизма ${ Displaystyle Н_ {1} ( mathbb {H}) to prod _ {я = 1} ^ { infty} mathbb {Z}}$ . Существование изоморфизма с ${ Displaystyle prod _ {я = 1} ^ { infty} mathbb {Z} { Big /} bigoplus _ {я = 1} ^ { infty} mathbb {Z}}$ доказывается абстрактно с помощью теории бесконечных абелевых групп и не имеет геометрической интерпретации.

Высшие измерения

Известно, что ${ Displaystyle mathbb {H}}$ является асферическое пространство, т.е. все высшие гомотопические и гомологические группы ${ Displaystyle mathbb {H}}$ тривиальны.

Гавайские серьги можно обобщить на более высокие размеры. Такое обобщение было использовано Майклом Барраттом и Джон Милнор предоставить примеры компактных, конечномерный пространства с нетривиальными сингулярными группами гомологий большей размерности, чем пространство. В ${ displaystyle k}$ -размерная гавайская серьга определяется как

{ displaystyle mathbb {H} _ {k} = bigcup _ {n in mathbb {N}} left {(x_ {0}, x_ {1}, ldots, x_ {k}) в mathbb {R} ^ {k + 1}: left (x_ {0} - { frac {1} {n}} right) ^ {2} + x_ {1} ^ {2} + cdots + x_ {k} ^ {2} = { frac {1} {n ^ {2}}} right }.}

Следовательно, ${ displaystyle mathbb {H} _ {k}}$ это счетный союз $k$ -сферы, имеющие одну общую точку, и топология дается метрика в котором диаметры сферы сходятся]] к нулю при ${ displaystyle n to infty.}$ В качестве альтернативы, ${ displaystyle mathbb {H} _ {k}}$ может быть построен как Александрова компактификация счетного объединения непересекающихся ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {k}}$ с. Рекурсивно получается, что ${ displaystyle mathbb {H} _ {0}}$ состоит из сходящейся последовательности, ${ displaystyle mathbb {H} _ {1}}$ это настоящая гавайская серьга, а ${ displaystyle mathbb {H} _ {k + 1}}$ гомеоморфен уменьшенная подвеска ${ displaystyle Sigma mathbb {H} _ {k}}$ .

За ${ Displaystyle к geq 1}$ , то ${ displaystyle k}$ -размерная гавайская серьга - компактная, ${ Displaystyle (к-1)}$ -связаны и локально ${ Displaystyle (к-1)}$ -связаны. За ${ Displaystyle к geq 2}$ , известно, что ${ displaystyle pi _ {k} ( mathbb {H} _ {k})}$ изоморфна группе Бэра-Шпекера ${ displaystyle prod _ {i = 1} ^ { infty} mathbb {Z}.}$

За ${ Displaystyle д эквив 1 { bmod {(}} к-1)}$ и ${ displaystyle q> 1,}$ Баррат и Милнор показали, что группы особых гомологий ${ displaystyle H_ {q} ( mathbb {H} _ {k}; mathbb {Q})}$ нетривиальны - на самом деле, бесчисленный.^[1]