Теорема Линделёфа - Википедия - Lindelöfs theorem

В математика, Теорема Линделёфа это результат комплексный анализ названный в честь Финский математик Эрнст Леонард Линделёф. В нем говорится, что голоморфная функция на полполосе в комплексная плоскость то есть ограниченный на граница полосы и не растет «слишком быстро» в неограниченном направлении. Полоса должна оставаться ограниченной по всей полосе. Результат полезен при изучении Дзета-функция Римана, и является частным случаем Принцип Фрагмена – Линделёфа. Также см Теорема Адамара о трех линиях.

Формулировка теоремы

Пусть Ω - полуполоса на комплексной плоскости:

${ displaystyle Omega = {z in mathbb {C} | x_ {1} leq mathrm {Re} (z) leq x_ {2} { text {and}} mathrm {Im} ( z) geq y_ {0} } subsetneq mathbb {C}. ,}$

Предположим, что ƒ является голоморфный (т.е. аналитический ) на Ω и существуют постоянные M, А и B такой, что

${ Displaystyle | е (г) | Leq M { текст {для всех}} г в частичном омега ,}$

и

${ displaystyle { frac {| f (x + iy) |} {y ^ {A}}} leq B { text {для всех}} x + iy in Omega. ,}$

потом ж ограничен M на всем Ω:

${ Displaystyle | е (г) | leq M { текст {для всех}} г в Omega. ,}$

Доказательство

Зафиксируйте точку ${ Displaystyle хи = сигма + я тау}$ внутри ${ displaystyle Omega}$. выбирать ${ displaystyle lambda> -y_ {0}}$, целое число ${ displaystyle N> A}$ и ${ displaystyle y_ {1}> tau}$ достаточно большой, чтобы${ displaystyle { frac {By_ {1} ^ {A}} {(y_ {1} + lambda) ^ {N}}} leq { frac {M} {(y_ {0} + lambda) ^ {N}}}}$. Применение принцип максимального модуля к функции ${ Displaystyle г (г) = { гидроразрыва {е (г)} {(г + я лямбда) ^ {N}}}}$ и прямоугольная область ${ displaystyle {z in mathbb {C} | x_ {1} leq mathrm {Re} (z) leq x_ {2} { text {и}} y_ {0} leq mathrm { Im} (z) leq y_ {1} }}$ мы получаем ${ Displaystyle | г ( xi) | leq { frac {M} {(y_ {0} + lambda) ^ {N}}}}$, то есть, ${ Displaystyle | е ( xi) | leq M left ({ frac {| xi + lambda |} {y_ {0} + lambda}} right) ^ {N}}$. Сдача ${ displaystyle lambda rightarrow + infty}$ дает ${ Displaystyle | е ( xi) | Leq M}$ как требуется.

Рекомендации

• Эдвардс, Х. (2001). Дзета-функция Римана. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Дувр. ISBN  0-486-41740-9.